高中数学选修4-4课时跟踪检测(一)平面直角坐标系Word版含解析

课时跟踪检测(一) 平面直角坐标系
一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )
A ．椭圆
B ．比原来大的圆
C ．比原来小的圆
D ．双曲线
解析：选D 由伸缩变换的意义可得．
2．已知线段BC 长为8，点A 到B ，C 两点距离之和为10，则动点A 的轨迹为( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A 的轨迹为一椭圆．
3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ―→|·|MP ―→ |＋MN ―→·NP
―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝－4x
解析：选B 由题意，得MN ―→＝(4,0)，MP ―→＝(x ＋2，y )，NP ―→＝(x －2，y )，由|MN ―→|·|MP
―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，
得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0，整理，得y 2＝－8x .
4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝13
y ′ B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x y ′＝13y C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝3y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x y ′＝3y 解析：选B 设⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，则μy ＝sin λx ， 即y ＝1μsin λx .
比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，则有1μ＝3，λ＝2.
∴μ＝13，λ＝2.∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝13y . 二、填空题
5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧ x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，
得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos 12
x ′. 答案：y ＝3cos x ′2
6．把圆X 2＋Y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x 2
＋y 216＝1，则坐标变换公式是________． 解析：设⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝λX (λ>0)，y ＝μY (μ>0)， 则⎩⎨⎧ X ＝x λ，
Y ＝y μ.代入X 2＋Y 2
＝16得 x 216λ2＋y 216μ2＝1. ∴16λ2＝1,16μ2＝16.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝X 4，y ＝Y .
答案：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝X 4，y ＝Y
7．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC 的周长为10，
∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，
即有|AB |＋|AC |＝6＞4.
∴点A 轨迹为椭圆除去B ，C 两点，且2a ＝6,2c ＝4.
∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.
∴点A 的轨迹方程为x 29＋y 25
＝1(y ≠0)． 答案：x 29＋y 25
＝1(y ≠0) 三、解答题
8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为⎝⎛⎭
⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②
比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x 2，y ′＝3y . 所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12
，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．
9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证
明：|AM |＝12
|BC |. 证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立
如图所示的平面直角坐标系．
设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c )．
则M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2.
由于|BC |＝b 2＋c 2，
|AM |＝ b 24＋c 24＝12b 2＋c 2， 故|AM |＝12
|BC |.
10．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，动圆
C 1与椭圆C 0相交于A ，B ，C ，
D 四点．求直线AA 1与直线A 2B
交点M 的轨迹方程．
解：设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，
则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a
(x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝
－y 1x 1－a (x －a )．② 由①②，得y 2＝－y 21x 21－a
2(x 2－a 2)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b
2＝1.
从而y 21＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 2
1a 2，代入③，得 x 2a 2－y 2
b 2
＝1(x <－a ，y <0)，此方程即为点M 的轨迹方程．。