。2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高二(下)期末数学试卷

2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高二（下）期末数学试卷
一.填空题
1．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z=5，则z的虚部为．
2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C和B1D1所成角的大小为3．（3分）正四面体S﹣ABC的所有棱长都为2，则它的体积为．
4．（3分）7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有
种不同的排法．
5．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、
10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、
b、c从小到大的关系依次是．
6．（3分）正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为
7．（3分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，若AC1与底面ABCD所成角为60°，则A1C1和底面ABCD的距离是．
8．（3分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．9．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是
10．（3分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=（i为虚数单位），z=．11．（3分）把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的，
则没有一个空盒子的概率为
12．（3分）在xOy平面上，将双曲线的一支﹣=1（x＞0）及其渐近线y=
x和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积为．
二.选择题
13．（3分）已知l，m，n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，l∥n，则m∥n
B．若l⊥m，l⊥n，则m∥n
C．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l
D．若三条直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面
14．（3分）一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其水平躺倒，并在其
中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）立方米．
A．24B．36C．36D．48
15．（3分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志
愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）
A．6 B．8 C．12 D．18
16．（3分）已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7．则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=（）A．﹣1 B．1 C．2187 D．﹣2187
17．（3分）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）
A．B．
C． D．
18．（3分）已知复数z满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）
A．双曲线的一支B．双曲线C．一条射线D．两条射线
三.解答题
19．求（+）8的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数．
20．已知关于x的方程x2+4x+p=0（p∈R）的两个根是x1，x2．
（1）若x1为虚数且|x1|=5，求实数p的值；
（2）若|x1﹣x2|=2，求实数p的值．
21．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连
接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆
锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．
（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精
确到1秒）？
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥
形沙堆的高度（精确到0.1cm）．
22．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
（3）求点N到平面ACM的距离．
23．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1=p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2=p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．
（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；
（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并
且及格的概率最大？
2017-2018学年上海市徐汇区南模中学高二（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z=5，则z的虚部为．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：∵（3﹣4i）z=5，
∴（3+4i）（3﹣4i）z=5（3+4i），
∴25z=5（3+4i），
∴z=．
则z的虚部为．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
2．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C和B1D1所成角的大小为90°【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1C和B1D1所成角的大小．
【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A1（0，0，1），C（1，1，0），B1（1，0，1），D1（0，1，1），
=（1，1，﹣1），=（﹣1，1，0），
设异面直线A1C和B1D1所成角为θ，
则cosθ＝==0，
∴θ=90°．
∴异面直线A1C和B1D1所成角的大小为90°．
故答案为：90°．
【点评】考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置等
基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（3分）正四面体S﹣ABC的所有棱长都为2，则它的体积为．【分析】由正四面体的棱长为1，所以此四面体一定可以放在棱长为的正方体中，由此能求出此四面体的体积．
【解答】解：∵正四面体的棱长为2，
∴此四面体一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此四面体．
如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=2，
∴正方体的棱长为，
∴此四面体的体积为﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查四面体的体积问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是在正方体中寻找此四面体．
4．（3分）7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有
240种不同的排法．
【分析】本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，相乘得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，
甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，
∵乙和丙必须相邻，
∴把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，
根据乘法原理知共有A55A22=240种结果，
故答案为：240
【点评】站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，
把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果，本题的甲不影响排列．
5．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、
10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、
b、c从小到大的关系依次是a＜b＜c．
【分析】根据题意求出这组数据的平均数a、中位数b和众数c，再比较大小．【解答】解：计算这组数据的平均数为
a=×（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7，
求出中位数为b=15，众数为c=17，
则有a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c．
【点评】本题考查了平均数、中位数和众数的计算问题，是基础题．
6．（3分）正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为
【分析】设正三棱锥为S﹣ABC，作正棱锥S﹣ABC的高SO，作AO垂直于BC于D，连接SD，则角SDA为45°，求出斜高，然后求解全面积．
【解答】解：设正三棱锥为S﹣ABC，作正棱锥S﹣ABC的高SO，
作AO垂直于BC于D，连接SD，则角SDA为45°，AB=BC=AC=1，
SO=OD，O为底面的中心，AO==，OD=，SD=，
它的全面积为：+3×=．
故答案为：．
【点评】本题考查二面角的平面角及其求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题，
7．（3分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，若AC1与底面ABCD所成角为60°，则A1C1和底面ABCD的距离是．
【分析】确定A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高，即可求得结论．
【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，
∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
∵A1C1?平面A1B1C1D1，
∴A1C1∥平面ABCD
∴A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高
∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，AC1与底面ABCD成60°角，
∴A1A=2tan60°=
故答案为：．
【点评】本题考查线面距离，确定A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高是解题的关键．
8．（3分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．
【分析】直线EF被球O截得的线段就是延长EF与球的两个交点间的这一段，利用垂径定理，可得结论．
【解答】解：作过EF和球心O的平面，则平面所截得的过EF的弦长GH为所求线段．
则∵E，F分别是棱AA1，DD1的中点，
∴EF=1，
∵球O的半径R=，球心到EF距离为，
∴MN=2=
故答案为：
第11页（共23页）【点评】本题考查球内接多面体，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
9．（3分）已知正整数n ，二项式（x 3+
）n 的展开式中含有x 7
的项，则n 的最小值是4【分析】确定展开式的通项，令x 的指数为7，即可求得结论．
【解答】解：二项式（x 3+
）n 的展开式的通项为=
．
令3n ﹣5r=7，可得n=，当r=1时，n 有最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二项展开式，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．（3分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=
（i 为虚数单位），z=﹣±
i
．。