11-03任意项级数的绝对收敛与条件收敛-下13

n un n (2n 2)!
lim
1
n (2n绝对收敛
(3) lim un1 lim n x | x |
n un
n n 1
则当| x | 1时，级数收敛；当| x | 1时，级数发散，
而 x 1时，级数是否收敛取决于 为何值.
称为定义n在1 区间 I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
ln x ln2 x lnn x
对于每一个 x0 I ，函数项级数 un ( x0 ) 就是
一个常数项级数
n1
微积分十一 ④
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2.收敛点与收敛域
如果 x0 I，常数项级数 un ( x0 ) 收敛,
0, 级数 (1)n1
n1
1 np
收敛.
证明：
1)
lim
n
vn
lim
n
1 np
0
1
2)vn n p
1 (n 1) p
vn1
由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.
微积分十一 ④
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例5.证明
(1)n1
ln n
收敛
n1
n
条件(1),(2)均 不好检验
对导证交函错数vn级 的 数 单lnn使 调n ,令用 性莱 判f (布断x)尼级 茨数lnx判前x 别后由法项x时大lim，小 l可和nxx以 求借 极xli助 限m可 。1x 0
n0
在收敛域：(1,1) 其和函数为：S( x)
1
1 x
注意：级数的收敛域未必等于和函数的定义域
微积分十一 ④
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2.1、定义
⑴ (x-x0) 的幂级数: 形如 an( x x0 )n的级数。
n0
其中 an为幂级数系数.
⑵x的幂级数: x0 0时，幂级数 an xn
n0
例如级数 ( x 1)n 1 ( x 1) ( x 1)2 ,
3.1、任意项级数与其绝对值级数的关系
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 任 意 项 级 数 un各 项 绝 对 值 构 成 的 级 数 n1
un 收 敛,则 原 级 数 un必 收 敛.
n1
n1
证明 显然有: un un | un | (n 1,2,)
0 un un 2 | un | (n 1,2,),
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1.
若以前9项
的
和S
9近
似
表示收敛级数
1 n1
(1)n1
1 n
的和S,则由此产生的误差R9 ____1_0_______ .
(1)n1 1 1 1 1 1 1 1
n1
n
234
9 10
S9
也是交错级 数，其和：
1 SRn 10
微积分十一 ④
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2. 判断级数1 1 1 1 的敛散性,收 3 3! 5 5! 7 7!
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1.
若以前9项的和S9近似表示收敛级数 (1)n1
n1
1 n
的和S,则由此产生的误差R9 ____________ .
2. 判断级数1 1 1 1 的敛散性,收 3 3! 5 5! 7 7!
敛 时, 若 取 前 三 项 作 为 和 的 近似 值, 试 估 计 其 误 差.
微积分十一 ④
可知
lim
n
vn
ln n lim n n
0
又
f
(
x
)
1
ln x2
x
当x > e 时, f ( x) 0
从而当n>2时, 有 f(n)>f(n+1), 即 vn vn1
由莱布尼兹判别法可知：
(1)n1
ln n
收敛
n1
n
微积分十一 ④
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例6
判别级数
(1)n
n的敛散性.
n2 n 1
解:该级数为交错级数
而un (un un ) | un | (n 1,2,),
由级数的性质2知， un收敛.
由上述定理知：
n1
任意项级数
正项级数
微积分十一 ④
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思考: un 收敛 un收敛.
n1
n1
?
un 发散 un发散
n1
n1
反例： 1 发散,但 (1)n1 1收敛.
n1 n
n1
x2n
;
n1
(2n)!
(3)
( 1) ( n 1) x n
n1
n!
解
(1)
lim un1 n un
lim | x |n1 n (n 1)! |
n! x |n
lim | x | n n 1
0
则此级数对一切 x( x )绝对收敛
微积分十一 ④
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(2) lim un1 lim (2n)! x 2
发 散 ，p 0
综上可知：
n1
(1)n1
1 np
绝 对 收 敛 ，p
条 件 收 敛 ，0
1 p
1
微积分十一 ④
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例4.讨论级数
(1)n1
xn
的敛散性
n1
n
解：将级数的各项取绝对值得正项级数
| x |n
lim un1 lim n | x || x |
n n1
u n n
n n 1
1; 2(2,4,5,6)
微积分十一 ④
微 一、函数项级数的概念
积
分 二、幂级数及其收敛性
电
子 三、幂级数的性质
教
案 四、泰勒级数
五、函数展开成幂级数 y
y
1 xp
0 12 ... n 1 n x
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1.定义
设 u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在 I R 上的
函数,则 un( x) u1( x) u2 ( x) un( x)
n
有的级数自己收敛,加上绝对值也收敛;而有的级数 自己收敛,加上绝对值发散,因此,这两种收敛级数是 有区别的.
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3.2、绝对收敛与条件收敛
(Absolute interrogate and conditionally convergent)
设
un
为任意项级数,若
un
收敛,则称 un为绝
定的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
此时幂级数的收敛区间有以下四种可能：
(R, R), [R, R), (R, R], [R, R].
微积分十一 ④
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要求幂级数的收敛区间，关键求实数R 2.3、幂级数的收敛半径与收敛区间
1
收敛
又 (1)n
1
1
n1
n
发散, 故原级数条件收敛.
n1
n n n1
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例2
判别级数
n1
(1)n1
sin nx n2
的收敛性.
解
sinnx n2
1 n2 ,
而
n1
1 n2
收敛,
由比较判别法知:
n1
s in nx n2
收敛
故原级数绝对收敛.
微积分十一 ④
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(un | un |)为正项级数。 由于 2 | un | 收敛
n1
n1
微积分十一 ④
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定理 若 任 意 项 级 数 un各 项 绝 对 值 构 成 的 级 数 n1
un 收 敛,则 原 级 数 un必 收 敛.
n1
n1
证明 由比较判别法知： (un | un |)也收敛
n1
n1
ln( n 1)
n1
0 1
解:⑴
lim
n
vn
lim
n
ln(n 1)
vn
1 ln(n 1)
1 ln(n 2) vn1 原级数收敛.
⑵
lim
n
vn
lim(
n
vn
1 n1
n1
n
n) lim n 1
n 2
1 0
n1 n n 1 vn1
原级数收敛.
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例4
证明: 对于所有的p
敛 时, 若 取 前 三 项 作 为 和 的 近似 值, 试 估 计 其 误 差.
1
1
1
1
(1)n1
1
3 3! 5 5! 7 7!
n1
(2n 1)(2n 1)!
lim
n
vn
lim
n
(2n
1 1) (2n
1)!
0
vn
1
1
vn (2n 1) (2n 1)! (2n 1) (2n 1)! vn1
n0
称为x1的幂级数
当x 1 1时,收敛; 当x 1 1时, 发散;
收敛域(0,2); 发散域(,0][2,);
由于收敛域与发散域互补,下面只研究收敛域. 微积分十一 ④
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2.2、幂级数的敛散性 特点
定理2 如果幂级数 an x n 不是仅在 x 0 一点收敛,
n0
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确
例解3：.当讨论p 级0数时n,1l(nim1)unn1n1lnpim的 (敛n1散)pn性1 . 0 级数发散
又
un
1 1
n
p
,
n n1
p
为P 级数
p>1 时,原级数绝对收敛
当 0 p 1 时，原级数为交错级数，由于
vn
1 np
, vn1
1 (n 1) p
vn
vn1
lim
n
vn
0
原级数条件收敛
n1
则称 x0 为级数 un ( x) 的收敛点，否则称为发散点.
n1
函数项级数 un ( x) 的所有收敛点的全体称为收敛
域，所有发散n点1 的全体称为发散域.
例如：1 x x2 xn 是公比为x的等比级数
当 x 1 时，收敛； 收敛域：(1,1) 当 x 1 时，发散； 发散域：( ,1][1, )
微积分十一 ④
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四、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
判 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
别 3.按基本性质;
法 4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨判别法)
微积分十一 ④
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作业：
习题11-3 （P456）
(1)n1
1
n1
n
由lim n
vn
lim
n
1 n
0,
vn
1 n
1 n 1 vn1
(1)n1
n1
1收敛 n
及
|
(1)n1
1
|
发散，可知原级数条件收敛.
n1
n
绝 对 收 敛 1 x 1
综上可知
(1)n1
n1
xn n
发散
条 件 收 敛
x 1, x 1 x 1
微积分十一 ④
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定理 3 如果任意项级数
un u1 u2 un
n1
满足条件 lim un1 （其中 可以为 ）
n un
则当 1时，级数 un 收敛，且绝对收敛；
n1
当 1时，级数 un 发散
n1
微积分十一 ④
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例 5 判别下列级数的收敛性:
(1)
xn
;
n0 n!
(2)
(1)n
原交错级数收敛.
若S3
S , 则 误 差R3
S S3
1 7 7!
1 0.0001 35280
微积分十一 ④
微 Interrogate of any term series
积
分
电
子 一、任意项级数的定义
教
案
二、交错级数敛散性判别法
y
三、绝对收敛与条件收敛
y
1 xp
四、小结
0 12 ... n 1 n x
n1
对收敛；若
un
发散,
但
n1
un
收敛,
则称n1 un 为
n1
n1
n1
条件收敛.
今后对任意项级数，必须注明绝对收敛还是条件收敛.
微积分十一 ④
任意项级数敛散性判断思考过程：
任意项级数 un n1
？ un 0
否
是
un 收敛否?
n1
是
绝对收敛
否
否
un收敛否?
n1
是
条件收敛
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2)设f ( x) x
1)
lim
n
v
n
lim
n
n n1
0
x1
f ( x) ( x ) (1 x) 0 ( x 1) x 1 2 x ( x 1)2
故函数 x 单调递减, f (n) f (n 1)
x 1
即 vn vn1
由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.
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2.2、交错级数判别法 (莱布尼兹判别法)
定理
若交错级数
(1)n1vn
满足:
n1
(1)
lim
n
vn
0
(2) vn vn1 (n 1,2,...)
则该交错级数收敛，且其和 S v1
微积分十一 ④
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例3 判别下列级数的敛散性
(1) (1)n1
1
(2) (1)n( n 1 n)
发散
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例1. 判别下列级数的敛散性
(1)
(1)n
n1
1 n2
,
( 2)
(1)n
1
n1
n
解：
n1
(1)n
1 n2
1
n1
n2
是 p=2>1 的 p-级数, 收敛.
故级数
(1)n
n1
1 n2
绝对收敛
(2)
lim
n
vn
lim
n
1 0 n
11
vn
n
n 1 vn1
由莱布尼茨判别法可知：级数 (1)n
微积分十一 ④
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3.和函数 在收敛域上，函数项级数的和是 x 的函数 s( x)，
称 s( x)为函数项级数的和函数。
若函数项级数的部分和 sn ( x), 则lim sn ( x) s( x)
n
余项 Rn( x) s( x) sn( x)
lim
n
Rn
(
x)
0
例如：级数 xn 1 x x2 ,
由比值判别法可知:
①当 |x| < 1 时,
|
x
|n
收敛,从而原级数绝对收敛;
n n1
②当 |x|>1 时,
| x |n 发散