07-08年.高三下.西城.数学.一模.卷答(2008-4,理科)

07-08年.高三下.西城.数学.一模.卷答（2008-4，理科）
一、选择题（共1小题；共5分）
1. 若集合，，则" "是" "的 ______
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
二、填空题（共3小题；共15分）
2. 在的展开式中，的系数是，则实数 ______．
3. 人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有______种．（用数字作答）
4. 已知两点，，若抛物线上存在点，使为等边三角形，则
______．
三、解答题（共4小题；共52分）
5. 盒内有大小相同的个球，其中个红色球，个白色球，个黑色球．规定取出个红色球得
分，取出个白色球得分，取出个黑色球得分．现从盒内任取个球．
（1）求取出的个球颜色互不相同的概率；
（2）求取出的个球得分之和恰为分的概率；
（3）设为取出的个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望．
6. 如图，在三棱锥中，，
，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求异面直线和所成角的大小．
7. 已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点．
（1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（2）在轴上是否存在点，使为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8. 数列中，，（为常数，），且
（1）求的值；
（2）①证明：；
②猜测数列是否有极限?如果有，写出极限的值（不必证明）；
（3）比较与的大小，并加以证明．
四、选择题（共6小题；共30分）
9. 在复平面内，复数对应的点与原点的距离是______
A. B. C. D.
10. 函数的反函数的定义域为______
A. B. C. D.
11. 若双曲线的离心率是，则实数的值是______
A. B. C. D.
12. 函数的最小正周期是______
A. B. C. D.
13. 设，函数的导函数是，且是奇函数．若曲线的一
条切线的斜率是，则切点的横坐标为______
A. B. C. D.
14. 关于的不等式组表示的平面区域是，若中的整点（即横、纵坐标
均为整数的点）共有个，则实数的取值范围是______
A. B. C. D.
五、填空题（共3小题；共15分）
15. 已知是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则 ______．
16. 已知、、三点在球心为、半径为的球面上，且几何体为正四面体，那么
、两点的球面距离为______；点到平面的距离为______．
17. 已知点是的重心，，那么 ______；若，
，则的最小值是______．
六、解答题（共2小题；共26分）
18. 已知函数．
（1）求的最小值；
（2）若对所有，都有，求实数的取值范围．
19. 在中，，．
（1）求角；
（2）设，求的面积．
答案
第一部分
1. A
第二部分
2.
3.
4. ，
第三部分
5. （1）记 "取出个红色球，个白色球，个黑色球"为事件，
则．
（2）记 "取出个红色球，个白色球"为事件，"取出个红色球，个黑色球"为事件，则．
（3）解：
可能的取值为．
，，
，．
的分布列为：
的数学期望．
6. （1）平面平面，平面平面，
且，
平面．
平面，．
又
平面．
（2）作于点，于点，连结．
平面平面，
平面，
根据三垂线定理得，
是二面角的平面角．
设，．
，
，
，
即二面角的大小是．
（3）内分别过、作、的平行线，交于点，
连结．
则是异面直线和所成的角或其补角．
，
，，
．
易知底面为矩形，从而，
在中，，
异面直线和所成角的大小为．
7. （1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
将代入，消去整理得
设则
由线段中点的横坐标是，得，
解得，适合．
所以直线的方程为，或．
（2）假设在轴上存在点，使为常数．
①当直线与轴不垂直时，由（1）知
所以
．
将代入，整理得
注意到是与无关的常数，从而有，此时．②当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为、，
当时，亦有．
综上，在轴上存在定点，使为常数．
8. （1）依题意，
由，得，
解得，或（舍去）．
（2）①证明：因为，
当且仅当时，．
因为，所以，即（）．
②数列有极限，且．
（3）由，可得，
从而．
因为，所以
所以
因为，由（2）①得（）．
下面证明：对于任意，有成立．
当时，由，显然结论成立．
假设结论对时成立，即
因为，且函数在时单调递增，
所以．
即当时，结论也成立．于是，当时，有成立．
根据、得．
由及，经计算可得
所以，当时，；当时，；
当时，由，得
第四部分
9. B 10. A
11. B 12. C 13. D 14. C
第五部分
15. 或
16. ；
17. ；
第六部分
18. （1）因为的定义域为，的导数．
令，解得；
令，解得．
从而在单调递减，在单调递增．
所以，当时，取得最小值．
（2）依题意，要使在上恒成立，即不等式对于恒成立．令，则．
当时，因为，故是上的增函数，所以的最小值是，从而的取值范围是．
19. （1）由，，得、，
所以，．
所以．
又，故．
（2）根据正弦定理得，得，
所以的面积为．。