高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练一)三角函数与解三角形

(一)三角函数与解三角形
1．(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x
轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q .已知点P 的横坐标为277
，点Q 的纵坐标为3314
. (1)求cos 2α的值；
(2)求2α－β的值．
解 (1)因为点P 的横坐标为
277
，P 在单位圆上，α为锐角， 所以cos α＝277
， 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17
. (2)因为点Q 的纵坐标为3314
， 所以sin β＝3314
. 又因为β为锐角，所以cos β＝1314
. 因为cos α＝277
，且α为锐角， 所以sin α＝217， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437
， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β
＝ 437×1314－17×3314＝32
. 因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<π2
， 又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2
， 所以2α－β＝π3
.
2．已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；
(2)若x ＝x 0⎝
⎛⎭⎪⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值． 解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12
(sin 2x －cos 2x ) ＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －cos 2x 2
＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝－14<0， 又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6
， 所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝154， 此时sin 2x 0＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x 0－π6sin π6 ＝－14×32＋154×12＝15－38
. 3．(2018·江苏省泰州中学月考)已知f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－cos x . (1)求f (x )在[]0，π上的最小值；
(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，b ＝53，cos A ＝35
，且f (B )＝1，求a 的长．
解 (1)f (x )＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin x ＋32cos x －cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6. ∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤7π6
，
∴当x ＝π时，f (x )min ＝－12
. (2)∵当x ＋π6＝2k π＋π2
，k ∈Z 时，f (x )有最大值1， 又f (B )＝1，B 是三角形的内角，∴B ＝π3
， ∵cos A ＝35，A 是三角形的内角，∴sin A ＝45
. 由a sin A ＝b
sin B ，得a ＝8. 4．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin ⎝
⎛⎭⎪⎫C ＋π6－cos C ＝12. (1)求角C 的大小；
(2)若c ＝23，求当△ABC 的周长最大时三角形的面积．
解 (1)sin ⎝
⎛⎭⎪⎫C ＋π6－cos C ＝32sin C ＋12cos C －cos C ＝32sin C －12cos C ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫C －π6， 所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫C －π6＝12， 因为C ∈(0，π)，所以C －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6
，5π6， 所以C －π6＝π6，即C ＝π3
. (2)因为C ＝π3
，c ＝23，由余弦定理得， (23)2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即12＝(a ＋b )2－3ab ，
因为ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22，所以(a ＋b )2≤48,0<a ＋b ≤43， 当且仅当a ＝b ＝23时，△ABC 的周长取得最大值， 此时三角形的面积为12ab sin C ＝12×23×23×sin π3＝3 3.。