高中数学2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选修2_3

ξ 服从超几何分布，分布列为
ξ
0
P
C06C34 C310
即
1 C16C24 C310
2 C26C14 C310
3 C36C04 C310
ξ
0 1 23
P
1 3 11 30 10 2 6
∴E(ξ)＝0×310＋1×130＋2×12＋3×16＝0.3＋1＋0.5＝1.8，
D(ξ)＝(0－1.8)2×310＋(1－1.8)2×130＋(2－1.8)2×12＋(3－1.8)2×16＝0.56.
2.3.2 离散型随机变量的方差
课前自主预习
知识点 方差、标准差的定义及方差的性质
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
□ 则称D(X)＝
01 ∑n i＝1
xi－EX2pi
DX为随机变量X的 □02 标准差 ．
为随机变量X的方差，其算术平方根
解析
探究 3 方差的实际应用 例 3 有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各 自的分数在 80 分，90 分，100 分的概率分布大致如下表所示：
试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．
[解] 在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为 E(X 甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， E(X 乙) ＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90. 方差分别为 D(X 甲)＝ (80 －90)2×0.2＋(90 －90)2×0.6＋(100－90)2×0.2 ＝40， D(X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100 －90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知 E(X 甲)＝E(X 乙)， D(X 甲)<D(X 乙)． 这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同， 甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．
＝32D(X)＝9D(X)．
解析
课堂互动探究
探究 1 方差及标准差的计算
例 1 已知随机变量 X 的分布列为
X
0 10 20 50 60
P
12 1 2 1 3 5 15 15 15
(1)求 X 的方差及标准差；
(2)设 Y＝2X－E(X)，求 D(Y)．
[解] (1)E(X)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×125＋60×115＝16， D(X)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×125＋(60 －16)2×115＝384. ∴ DX＝8 6. (2)∵Y＝2X－E(X)， ∴D(Y)＝D(2X－E(X))＝4D(X)＝4×384＝1536.
答案
拓展提升 求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义 求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量 aX＋b 的方差 可用 D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
[跟踪训练1] 已知随机变量 ξ 的分布列如下表：
ξ －1 0 1
P
1 2
(1)求 ξ 的均值、方差和标准差；
[解] (1)设一次罚球得分为 X，X 服从两点分布，即 X0 1 P 0.3 0.7
∴D(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21. (2)设正面向上的次数为 Y，则 Y～B5，12， D(Y)＝np(1－p)＝5×12×12＝1.25.
答案
(3)设抽到男同学的人数为 ξ.
答案
解析 (1)因为 X 服从两点分布，
所以 X 的概率分布为
X
0
1
P
0.5
0.5
所以 E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，
D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.
(2)因为随机变量 ξ～B6，12， 所以 D(ξ)＝6×12×1－12＝32. (3)由于 X 是离散型随机变量，Y＝3X＋2 呈线性关系，代入公式，则 D(Y)
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( × ) (2)若 a 是常数，则 D(a)＝0.( √ ) (3) 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 反 映 了 随 机 变 量 偏 离 于 期 望 的 平 均 程 度．( √ )
2．做一做 (1)若随机变量 X 服从两点分布，且成功的概率 p＝0.5，则 E(X)和 D(X) 分别为________． (2)设随机变量 ξ～B6，12，则 D(ξ)＝________. (3)如果 X 是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么 D(Y)＝________D(X)． 答案 (1)0.5 和 0.25 (2)32 (3)9
(2)若随机变量 X～B(3，p)，D(X)＝23，则 p＝________.
答案 (1)0.6 0.24 (2)13或23
答案
解析 (1)∵E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(X)＝0.6×(1－0.6)＝0.6×0.4 ＝0.24.
(2)∵X～B(3，p)， ∴D(X)＝3p(1－p)， 由 3p(1－p)＝23， 得 p＝13或 p＝23.
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的
□03 平均程度 ，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的 □04 平均程度 越
小．
知识点 两点分布与二项分布的方差
X
X服从两点分布
D(X) □01 p(1－p)(其中p为成功概率)
X～B(n，p)
□02 np(1－p)
方差的性质： D(aX＋b)＝a2D(X)， D(C)＝0(C 是常数)．
答案
探究 2 两点分布与二项分布的方差 例 2 (1)篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中得 0 分．已知某运动员 罚球命中的概率为 0.7，求他一次罚球得分的方差； (2)将一枚硬币连续抛掷 5 次，求正面向上的次数的方差； (3)老师要从 10 名同学中随机抽 3 名同学参加社会实践活动，其中男同 学有 6 名，求抽到男同学人数的方差．
答案Байду номын сангаас
拓展提升 解决此类问题的第一步是判断随机变量 ξ 服从什么分布，第二步代入相 应的公式求解．若 ξ 服从两点分布，则 D(ξ)＝p(1－p)；若 ξ 服从二项分布， 即 ξ～B(n，p)，则 D(ξ)＝np(1－p)．
[跟踪训练2] (1)若随机变量 X 的分布列如下表所示
X
0
1
P 0.4 0.6 则 E(X)＝________，D(X)＝________；
11 36
(2)设 η＝2ξ＋3，求 E(η)，D(η)．
解 (1)均值 E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；
方差 D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝59；标准差 Dξ
＝
5 3.
答案
(2)E(η)＝2E(ξ)＋3＝73；D(η)＝4D(ξ)＝290.