2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级（下）期末数学
试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．+x2＝0B．3x2﹣2xy＝0C．x2+x﹣1＝0D．ax2﹣bx＝0 2．（3分）由下列三条线段组成的三角形是直角三角形的是（）
A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，14 3．（3分）一次函数y＝2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（）
A．（﹣3，0）B．（0，﹣3）C．（，0）D．（0，）4．（3分）在▱ABCD中，∠A＝2∠D，则∠C的度数为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
5．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≥﹣1B．k＞﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k≠0
6．（3分）下列命题中，假命题的是（）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
7．（3分）三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则第三边的长为（）
A．2B．5C．7D．5或7
8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC⊥BC，若AB＝10，AC ＝6，S△AOD＝（）
A．48B．24C．12D．8
9．（3分）对于一次函数y＝x+2，下列结论中正确的是（）
A．函数的图象与x轴交点坐标是（0，﹣2）
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数的图象向上平移2个单位长度得到函数y＝x的图象
D．函数的图象不经过第四象限
10．（3分）甲、乙两车间同时开始加工一批零件，从开始加工到加工完这批零件，甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，修好后马上按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批零件的加工任务为止，设甲、乙两车间各自加工零件的数量为y（个），甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，下列说法其中正确的个数为（）
①这批零件的总个数为1260个；
②甲车间每小时加工零件个数为80个；
③乙车间维修设备后，乙车间加工零件数量y与x之间的函数关系式y＝60x﹣120；
④乙车间维修设备用了2个小时
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．
12．（3分）已知一元二次方程kx2﹣9x+8＝0的一个根为1，则k的值为．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，点A（2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是．
14．（3分）若a是方程x2﹣x﹣2017＝0的根，则代数式a+（1﹣a）2＝．
15．（3分）两边长分别为3和4的直角三角形，则直角三角形斜边上中线的长是．16．（3分）在“低碳生活，绿色出行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，运动商城自2018年起自行车的销售量逐月增加．据统计，商城一月份销售自行车64辆，三月份销售了100辆，则运动商城的自行车销量的月平均增长率为．
17．（3分）一个菱形两条对角线长的和是10，菱形的面积是12，则菱形的边长为．18．（3分）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10厘米、6厘米，且AC与BD互相垂直，顺次连接四边形ABCD四边的中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH 的面积为平方厘米．
19．（3分）已知：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点P是BC上的一点，若∠APD＝90°，则AP＝．
20．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，在AB上有一点E，连接CE，过点B作BC的垂线和CE的延长线交于点F，连接AF，∠ABF＝∠FCB，FC＝AB，若FB＝1，AF＝，则BD＝．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）（1）用公式法解方程：x2﹣5x+3＝0；
（2）用因式分解法解方程：3（x﹣3）2＝2x﹣6
22．（7分）图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；
（2）图2中所画的平行四边形的面积为．
23．（8分）一块矩形场地，场地的长是宽的2倍．计划在矩形场地上修建宽都为2米的两条互相垂直的小路，如图，余下的四块小矩形场地建成草坪．四块小矩形草坪的面积之和为364平方米，求这个矩形场地的长和宽各是多少米？
24．（8分）已知：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝90°，点P在BC边上，连接AP 和PD，点E在DC边上，连接BE与DP和AP分别交于点F和点G，若AB＝PC，BP ＝DC，∠DFE＝45°
（1）如图1，求证：四边形ABED为平行四边形；
（2）如图2，把△PFG沿FG翻折，得到△QFG（点P与点Q为对应点），点Q在AD上，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括平行四边形ABED，但包括特殊的平行四边形）．
25．（10分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值．
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？26．（10分）在菱形ABCD中，点Q为AB边上一点，点F为BC边上一点连接DQ、DF和QF．
（1）如图1，若∠ADQ＝∠FDQ，∠FQD＝90°，求证：AQ＝BQ；
（2）如图2，在（1）的条件下，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点P，以点P为顶点作∠MPN＝60°，PM与AB交于点M，PN与AD交于点N，求证：DN+QM＝AB；（3）如图3，在（1）（2）的条件下，延长NP交BC于点E，延长CN到点K，使CK＝CA，连接AK并延长和CD的延长线交于点T，若AM：DN＝1：5，S四边形MBEP＝12，求线段DT的长．
27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B和点C分别是x轴的正半轴和y 轴的正半轴上的两点，且OB：BC＝1：，直线BC的解析式为y＝﹣kx+6k（k≠0）．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，点D为OB中点，点E为OC中点，点F在y轴的负半轴上，点A是射线FD 上的第一象限的点，连接AE、ED，若FD＝DA，且S△AED＝，求点A的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点P在线段OB上，点Q在线段OC的延长线上，CQ＝BP，连接PQ与BC交于点M，连接AM并延长AM到点N，连接QN、AP、AB和NP，若∠QP A﹣∠NQO＝∠NQP﹣∠P AB，NP＝2，求直线PQ的解析式．
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市道里区八年级（下）期
末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．+x2＝0B．3x2﹣2xy＝0C．x2+x﹣1＝0D．ax2﹣bx＝0
【解答】解：A、+x2＝0是分式方程；
B、3x2﹣2xy＝0是二元二次方程；
C、x2+x﹣1＝0是一元二次方程；
D、ax2﹣bx＝0当a、b均为常数、且a≠0时，才是一元二次方程；
故选：C．
2．（3分）由下列三条线段组成的三角形是直角三角形的是（）
A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，14
【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+82≠112，不能构成直角三角形，故错误；
D、52+122≠142，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
3．（3分）一次函数y＝2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（）
A．（﹣3，0）B．（0，﹣3）C．（，0）D．（0，）
【解答】解：∵y＝2x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
∴一次函数y＝2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），
故选：B．
4．（3分）在▱ABCD中，∠A＝2∠D，则∠C的度数为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【解答】解：画出图形如下所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠D＝180°，
又∠A＝2∠D，
∴∠A＝120°，∠D＝60°，
∴∠C＝∠A＝120°，
故选：D．
5．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≥﹣1B．k＞﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k≠0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac≥0，
即：4+4k≥0，
解得：k≥﹣1，
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0中k≠0，
故选：C．
6．（3分）下列命题中，假命题的是（）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【解答】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，是真命题；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是真命题；
C、对角线平分、互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
故选：C．
7．（3分）三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则第三边的长为（）
A．2B．5C．7D．5或7
【解答】解：x2﹣12x+35＝0
（x﹣5）（x﹣7）＝0，
解得：x1＝5，x2＝7，
∵三角形两边的长是2和5，
∴第三边长小于7，
∴第三边的长为：5．
故选：B．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC⊥BC，若AB＝10，AC ＝6，S△AOD＝（）
A．48B．24C．12D．8
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，OA＝OC＝3，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA＝90°，
∴OA⊥AD，
∴S△AOD＝•AD•OA＝×8×3＝12，
故选：C．
9．（3分）对于一次函数y＝x+2，下列结论中正确的是（）
A．函数的图象与x轴交点坐标是（0，﹣2）
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数的图象向上平移2个单位长度得到函数y＝x的图象
D．函数的图象不经过第四象限
【解答】解：A、函数的图象与x轴交点坐标是（0，2），错误；
B、函数值随自变量的增大而增大，错误；
C、函数的图象向下平移2个单位长度得到函数y＝x的图象，错误；
D、函数的图象经过第一、二、三象限，所以不经过第四象限，正确；
故选：D．
10．（3分）甲、乙两车间同时开始加工一批零件，从开始加工到加工完这批零件，甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，修好后马上按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批零件的加工任务为止，设甲、乙两车间各自加工零件的数量为y（个），甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，下列说法其中正确的个数为（）
①这批零件的总个数为1260个；
②甲车间每小时加工零件个数为80个；
③乙车间维修设备后，乙车间加工零件数量y与x之间的函数关系式y＝60x﹣120；
④乙车间维修设备用了2个小时
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由题意总零件个数为720+420＝1140，则①错误；
由图象甲车间每小时加工零件个数为720÷9＝80个，则②正确；
乙车间生产速度为120÷2＝60个/时，则乙复工后生产时间为小时，则开始复工时间为第4小时，
则乙车间加工零件数量y与x之间的函数关系式y＝120+60（x﹣4）＝60x﹣120，则③正确；由③乙车间维修设备时间为4﹣2＝2小时，则④正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠．
【解答】解：由题意，得
4x﹣2≠0，
解得x≠，
故答案为：x≠．
12．（3分）已知一元二次方程kx2﹣9x+8＝0的一个根为1，则k的值为1．
【解答】解：把x＝1代入方程kx2﹣9x+8＝0得k﹣9+8＝0，
解得k＝1．
故答案为1．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，点A（2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜2．
【解答】解：由一次函数的图象可知，此函数是增函数，即y随x的增大而增大，
∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于A（2，0），
∴不等式组kx+b＜0的解集是x＜2．
故答案为x＜2
14．（3分）若a是方程x2﹣x﹣2017＝0的根，则代数式a+（1﹣a）2＝2018．
【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣x﹣2017＝0，得
a2﹣a﹣2017＝0，即a2﹣a＝2017，
则a+（1﹣a）2＝a2﹣a+1＝2017+1＝2018．
故答案为2018．
15．（3分）两边长分别为3和4的直角三角形，则直角三角形斜边上中线的长是 2.5或2．【解答】解：4是斜边时，此直角三角形斜边上的中线长＝×4＝2，
4是直角边时，斜边＝＝5，
此直角三角形斜边上的中线长＝×5＝2.5，
综上所述，此直角三角形斜边上的中线长为2.5或2．
故答案为：2.5或2．
16．（3分）在“低碳生活，绿色出行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，运动商城自2018年起自行车的销售量逐月增加．据统计，商城一月份销售自行车64辆，三月份销售了100辆，则运动商城的自行车销量的月平均增长率为25%．
【解答】解：设运动商城的自行车销量的月平均增长率为x，
根据题意得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）．
故答案为：25%．
17．（3分）一个菱形两条对角线长的和是10，菱形的面积是12，则菱形的边长为．【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BC，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴∠AOB＝90°，菱形ABCD的面积＝AC•BD＝12，
∴AC•BD＝24①，AB2＝OA2+OB2＝（AC2+BD2），
∵菱形两条对角线长的和是10，
∴AC+BD＝10②，
由②2﹣2×①得：AC2+BD2＝56，
∴（AC2+BD2）＝13，
∴AB2＝13，AB＝；
故答案为．
18．（3分）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10厘米、6厘米，且AC与BD互相垂直，顺次连接四边形ABCD四边的中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH 的面积为15平方厘米．
【解答】解：在△ABC中，F、G分别是AB、BC的中点，
故可得：FG＝AC，同理EH＝AC＝5，GH＝BD，EF＝BD＝3，
在四边形ABCD中，AC＝BD，
∴EF∥GH，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
在△ABD中，E、H分别是AD、CD的中点，
则EH∥AC，
同理GH∥BD，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积＝EH×EF＝3×5＝15平方厘米．
故答案为：15
19．（3分）已知：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点P是BC上的一点，若∠APD＝90°，则AP＝2或4．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵∠APD＝90°，
在直角△APD中，AD2＝AP2+DP2，
同理，AP2＝AB2+BP2，PD2＝PC2+CD2＝PC2+AB2，
∴AD2＝AP2+DP2＝AB2+BP2+PC2+DC2＝BP2+（BC﹣BP）2+2AB2＝BP2+（10﹣BP）2+32，即100＝2BP2﹣20BP+100+32，
解得BP＝2或8，
当BP＝2时，AP＝＝2，
当BP＝8时，AP＝＝4，
故答案为：2或4．
20．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，在AB上有一点E，连接CE，过点B作BC的垂线和CE的延长线交于点F，连接AF，∠ABF＝∠FCB，FC＝AB，若FB＝1，AF＝，则BD＝5．
【解答】解：延长BF、DA交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GAB＝∠ABC，
∵BF⊥BC，
∴∠FBC＝∠FBA+∠ABC＝90°，
∴∠FBA+∠GAB＝90°，
∴∠G＝90°，
在△AGB和△FBC中，
∵，
∴△AGB≌△FBC，
∴AG＝BF＝1，BC＝BG，
Rt△AGF中，∵AF＝，
∴FG＝＝2，
∴BC＝BG＝AD＝2+1＝3，
∴GD＝1+3＝4，
Rt△DGB中，BD＝＝＝5，
故答案为：5．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）（1）用公式法解方程：x2﹣5x+3＝0；
（2）用因式分解法解方程：3（x﹣3）2＝2x﹣6
【解答】解：（1）x2﹣5x+3＝0
这里a＝1，b＝﹣5，c＝3
△＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×3
＝13＞0
∴x＝＝
∴x1＝，x2＝
（2）3（x﹣3）2＝2x﹣6
移项，得3（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0
提公因式，得（x﹣3）[3（x﹣3）﹣2]＝0
即（x﹣3）（3x﹣11）＝0
∴x1＝3，x2＝
22．（7分）图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不
全等）；
（2）图2中所画的平行四边形的面积为6．
【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD和四边形EFGH均为平行四边形；
（2）图2中所画的平行四边形的面积＝×6×（1+1）＝6，
故答案为：6．
23．（8分）一块矩形场地，场地的长是宽的2倍．计划在矩形场地上修建宽都为2米的两条互相垂直的小路，如图，余下的四块小矩形场地建成草坪．四块小矩形草坪的面积之和为364平方米，求这个矩形场地的长和宽各是多少米？
【解答】解：设这个矩形场地的宽为x米，长为2x米，根据题意可得：
（2x﹣2）（x﹣2）＝364，
则x2﹣3x﹣180＝0，
（x﹣15）（x+12）＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣12（舍去），
2x＝30（m），
答：这个矩形场地的宽为15米，长为30米．
24．（8分）已知：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝90°，点P在BC边上，连接AP
和PD，点E在DC边上，连接BE与DP和AP分别交于点F和点G，若AB＝PC，BP ＝DC，∠DFE＝45°
（1）如图1，求证：四边形ABED为平行四边形；
（2）如图2，把△PFG沿FG翻折，得到△QFG（点P与点Q为对应点），点Q在AD上，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括平行四边形ABED，但包括特殊的平行四边形）．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴，∠ABC+∠DCB＝180°，
∴AB∥CD，
∵AB＝PC，BP＝DC，
∴△ABP≌△PCD，
∴P A＝PD，
∠APD＝∠PDC，
∵∠PDC+∠DPC＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠ADP＝45°，
∵∠DFE＝45°，
∴∠ADP＝∠DFE，
∴AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形．
（2）∵∠PGF＝∠P AD＝45°，∠PFG＝∠ADP＝45°，
∴△PFG，△FGQ都是等腰直角三角形，
∴四边形PFQG是正方形，
∵∠AGF＝135°，∠QFG＝∠PFG＝45°，
∴∠AGF+∠QFG＝180°，
∴AG∥QF，∵AQ∥FG，
∴四边形AGFQ是平行四边形，
同法可证，四边形QGFD是平行四边形，
25．（10分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值．
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：＝，
解得：a＝150，
经检验，a是原分式方程的解．
答：表中a的值为150．
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，
根据题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
设销售利润为y元，
根据题意得：y＝[500﹣150﹣4×（150﹣110）]×x+（270﹣150）×x+[70﹣（150﹣110）]
×（5x+20﹣4×x）＝245x+600．
∵k＝245＞0，
∴当x＝30时，y取最大值，最大值为7950．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．26．（10分）在菱形ABCD中，点Q为AB边上一点，点F为BC边上一点连接DQ、DF和QF．
（1）如图1，若∠ADQ＝∠FDQ，∠FQD＝90°，求证：AQ＝BQ；
（2）如图2，在（1）的条件下，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点P，以点P为顶点作∠MPN＝60°，PM与AB交于点M，PN与AD交于点N，求证：DN+QM＝AB；（3）如图3，在（1）（2）的条件下，延长NP交BC于点E，延长CN到点K，使CK＝CA，连接AK并延长和CD的延长线交于点T，若AM：DN＝1：5，S四边形MBEP＝12，求线段DT的长．
【解答】证明：（1）如图1，分别延长FQ、DA交于L，
∵∠ADQ＝∠FDQ，DQ＝DQ，∠FQD＝∠LQD＝90°，
∴△FQD≌△LQD（ASA），
∴FQ＝LQ，（1分）
∵菱形ABCD，
∴LD∥BF，
∴∠ALQ＝∠BFQ，∠LAQ＝∠FBQ，（2分）
∴△ALQ≌△BFQ，
∴AQ＝BQ；（3分）
（2）如图2，连接QP，
∵菱形ABCD，
∴∠BAP＝∠DAP，P A＝PC，AC⊥BD，（4分）
∴∠APB＝∠APD＝90°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAP＝∠DAP＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴P A＝AB，
∵AQ＝BQ，
∴PQ＝AB，
∴P A＝PQ，（5分）
∴△APQ是等边三角形，
∴∠APQ＝∠PQA＝60°，
∵∠MPN＝60°，
∴∠APQ＝∠MPN＝60°，
∴∠QPM＝∠APN，
∵∠PQM＝∠P AN＝60°，
∴△PQM≌△P AN（ASA），
∴QM＝AN，
∵AB＝AD＝DN+AN，
∴AB＝DN+QM；（6分）
（3）解：如图3，过点M作MG⊥AC于G，过点E作EH⊥AC于H，设AM＝a，∵AM：DN＝1：5，
∴DN＝5a，
由（2）知：AB＝DN+QM，
∵AQ＝AB，QM＝AQ﹣AM，
∴5a+AB﹣a＝AB，AB＝8a，
∵菱形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8a，
∴AN＝3a，
∵∠APN＝∠CPE，AP＝CP，∠DAC＝∠BCA＝60°，
∴△PCE≌△P AN（ASA），（7分）
∴CE＝AN＝3a，
Rt△BPC中，∠CBP＝30°，BC＝8a，
∴BP＝4a，
同理MG＝a，EH＝a，
∵S四边形MBEP＝S△ABC﹣S△APM﹣S△CPE，
∴﹣﹣＝12，∴a2＝1，a＝1（a＝﹣1舍去），
∴AM＝1，AN＝3，DN＝5，CD＝8，（8分）
过C作CI⊥AD于I，
∴ID＝＝，
∴NI＝ND﹣ID＝5﹣4＝1，
在Rt△CID中，CD2＝DI2+CI2，
∴CI2＝CD2﹣ID2＝82﹣42＝48，
在Rt△ICN中，CN2＝NI2+CI2，
∴CN2＝1+48＝49，
∴CN＝7，（9分）
在CD上截取CS，使CS＝DN＝5，连接AS，
∴AN＝SD＝3，
∵∠ACS＝∠CDN＝60°，AC＝CD，
∴△ACS≌△CDN（SAS），
∴∠CAS＝∠DCN，SA＝NC＝7，
∵CA＝CK，
∴∠CAK＝∠CKA，
∴∠SAK＝∠KTC，
∴SA＝ST＝7，
∴DT＝7﹣3＝4．（10分）
27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B和点C分别是x轴的正半轴和y 轴的正半轴上的两点，且OB：BC＝1：，直线BC的解析式为y＝﹣kx+6k（k≠0）．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，点D为OB中点，点E为OC中点，点F在y轴的负半轴上，点A是射线FD 上的第一象限的点，连接AE、ED，若FD＝DA，且S△AED＝，求点A的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点P在线段OB上，点Q在线段OC的延长线上，CQ＝
BP，连接PQ与BC交于点M，连接AM并延长AM到点N，连接QN、AP、AB和NP，若∠QP A﹣∠NQO＝∠NQP﹣∠P AB，NP＝2，求直线PQ的解析式．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣kx+6k＝0，
∵k≠0，
∴x＝6，
∴B（6，0），
∴OB＝6，
∵OB：BC＝1：，
∴BC＝6，
在Rt△BOC中，OB2+OC2＝BC2，
∴OC＝6，
∴C（0，6）；
（2）如图2，连接AB，过点A作AH⊥y轴于H，
∵FD＝DA，OD＝BD，∠ODF＝∠BDA，
∴△FDO≌△ADB，
∴∠FOD＝∠ABD＝90°，OF＝AB，
∴AB⊥x轴，
∴点A的横坐标为6，
∴S△AED＝S△AEF﹣S△DEF＝•AH﹣EF•OD＝EF（AH﹣OD）＝EF•BD，
∵S△AED＝，BD＝3，
∴EF＝9，
∵EO＝3，
∴OF＝6，
∴BA＝6，
∴A（6，6）；
（3）如图3，过点P作PT∥y轴，交BC于T，连接AQ，AC，
∴∠MPT＝∠MQC，
∵AB∥OC，AB＝OC，
∴四边形ACOB是平行四边形，
∵∠COB＝90°，OB＝OC，
∴平行四边形ACOB是正方形，
∴∠ACO＝90°，
∴∠ACQ＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠PBT＝∠PTB＝45°，
∴PT＝PB＝CQ，
∵∠PMT＝∠QMC，
∴△PTM≌△QCM，
∴PM＝QM，
∵BA∥y轴，PT∥y轴，
∴AB∥PT，
∴∠BAP＝∠TP A，
∵∠QP A﹣∠NQO＝∠NQP﹣∠P AB，
∴∠QPT+∠TP A﹣∠NQO＝∠NQO+∠OQP﹣∠P AB，∴∠TP A＝∠NQO，
∴∠NQP＝∠APQ，
∵∠NMQ＝∠AMP，
∴△NMQ≌△AMP，
∴NM＝AM，
∵MQ＝MP，
∴四边形QNP A是平行四边形，
∵AC＝AB，∠QCA＝∠PBA＝90°，CQ＝BP，
∴△QCA≌△PBA，
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P AB，
∴∠QAP＝∠CAB＝90°，
∴▱QNP A是正方形，
∴NP＝AP＝2，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+PB2，
∴PB＝2，
∴OP＝OB﹣PB＝4，OQ＝OC+QC＝8，∴P（4，0），Q（0，8），
∴直线PQ的解析式y＝﹣2x+8．。