必修四3.2简单的三角恒等变换演示文稿 (3)
简单的三角恒等变换 课件(经典公开课)
.
2.在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
提示:θ所在的象限由a和b的符号确定.
3.辅助角公式 asin x+bcos x= + sin(x+φ)= + cos
(x-θ).其中 cos φ=
+
+1,
-
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
-
+1
(2)当 f(x)取得最大值时,sin -
=1.
故 2x- =2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z).
因此,所求 x 的取值集合为
= +
,∈ .
探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用
【例4】 如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样
截取,才能使△OAB的周长最大?
解:设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α.
∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R= Rsin + +R.
∵0<α<,∴<α+ <
∴当 α+ = ,
.
即 α=时,l 取得最大值 R+R=( +1)R.
公式,若用α替换2α,则结果怎样?
提示:结果是 cos
2
α=2cos -1
2
2
3.2简单的三角恒等变换教学设计
3.2简单的三角恒等变换教学设计-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN3.2 简单的三角恒等变换高一备课组一、教学内容及其解析（1）教学内容：简单的三角恒等变换（2）解析：本节课选自人教版.必修四第三章第二节，是学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式后的内容，本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.二、教学目标及其解析（一）教学目标：1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.（二）解析：1、通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.三、学生学习况情分析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.所以学生对三角变换与代数变换的区分理解会比较困难，在教学中教师应加强对这二者的内在联系和区别加以分析。
2014年人教A版必修四课件 3.2 简单的三角恒等变换
(三) 构造变换 补充例1. 已知 sina sin b 1 , cosa cos b 1 , 3 2 求 cos(a b) 的值.
解: 将已知两式分别平方得 sin 2 a sin 2 b 2sina sin b 1 , 9 cos2 a cos2 b 2cosa cos b 1 , 4 将两式相加得 , 22(sina sinbcosa cosb) 13 36 即 22cos(a b) 13 ,
于是可以根据第 (1) 题求证.
(二) 和差角公式的变换使用 例2. 求证: (1) sina cos b 1 [sin(a b ) sin(a b )]; 2 (2) sin sin 2sin cos . 2 2 a , b, (2) 证明: 令 2 2 则 a b , a b , 2sin cos 2sina cos b 2 2 sin(a b ) sin(a b ) ( (1)结论 ) sin s知 sina sin b 1 , cosa cos b 1 , 3 2 求 cos(a b) 的值. 分析: ∵cos(a b) sina sinbcosa cosb, 考虑需要的sina sinb 和cosa cosb从哪里来, 将已知中的两式分别平方就有了.
. 得 cos (a b) 59 72
36
(构造和 (差) 角形式)
(三) 构造变换 补充例2. 求证: cos 2a 1 tana . 1 sin2a 1 tana 分析: 等式的左边是二倍角, 右边是单角, 思想: 用二倍角公式化为单角,
问题: cos2a 化成哪一个? 不妨把右边切化弦观察, 1 sina 右边 cosa cosa sina , 1 sina cosa sina cosa 若分子乘以cosa sina 就得cos2a sin2a,
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
简单的三角恒等变换说课稿
简单的三角恒等变换说课稿一、说教材（一）作用与地位本文《简单的三角恒等变换》是高中数学课程中的重要组成部分，属于三角函数章节。
它不仅承担着巩固学生对三角函数基础知识的掌握，而且肩负着培养学生逻辑思维能力和数学变换技巧的重任。
在数学教育中，三角恒等变换是联系实际应用与理论推导的桥梁，通过学习，学生能够更好地理解数学在自然科学和社会科学中的应用。
（二）主要内容本文主要围绕以下三个方面的内容展开：1. 三角恒等变换的基本概念：包括正弦、余弦、正切的和差公式、倍角公式、半角公式等。
2. 三角恒等变换的基本方法：运用上述公式进行三角函数式的化简、求值等。
3. 三角恒等变换在实际问题中的应用：结合实际案例，让学生体验三角恒等变换在解决具体问题时的作用。
二、说教学目标（一）知识与技能目标1. 理解并掌握三角恒等变换的基本概念和基本方法。
2. 能够熟练运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学变换技巧。
（二）过程与方法目标1. 通过自主探究、合作交流，培养学生主动学习的习惯。
2. 通过问题解决，提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标1. 培养学生对数学的兴趣和热爱，提高学生的数学素养。
2. 引导学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
三、说教学重难点（一）重点1. 三角恒等变换的基本概念和基本方法。
2. 三角恒等变换在实际问题中的应用。
（二）难点1. 理解并熟练运用三角恒等变换公式。
2. 解决实际问题时，能够灵活运用三角恒等变换。
四、说教法（一）启发法在教学过程中，我将以启发式教学为主，引导学生通过观察、思考、总结等环节，自主发现三角恒等变换的规律。
具体操作如下：1. 以实际问题导入，激发学生的好奇心和求知欲。
2. 引导学生回顾已学的三角函数知识，为新知识的学习做好铺垫。
3. 设计一系列具有启发性的问题，让学生在思考问题的过程中，自然地发现三角恒等变换的规律。
高中数学必修四 第三章三角恒等变换 3.2.1三角恒等变换
<
0.
∴tan
������ 2
=
−
1-cos������ 1+cos������
=
−
1-
3 3
1+
3 3
=
−
2-
3
=−
1 2
8-4
3
=
−
1 2
( 6- 2)2 =
22
6.
解法二:
用
tan
������ 2
=
1-cos������ sin������
来处理
∵α 为第四象限角,∴sin α<0.
∴sin α=−
(2)y=sin
x(cos
x-sin
x)+
1 2
=sin
xcos
x-sin2x+
1 2
=
1 2
sin
2x−
1-cos2������ 2
+
1 2
=
1 2
sin
2x+
1 2
cos
2x−
1 2
+
1 2
22
2
= 2 2 sin2������ + 2 cos2������
2
π
= 2 sin 2������ + 4 .
������ 2
的值为
()
A.
6 3
B.
−
6 3
C.
±
6 3
D.
±
3 3
解析:∵α∈(0,π),∴
������ 2
∈
0,
π 2
,
∴cos
������ 2
人教a版必修四第三章3.2简单的三角恒等变换(函数综合)(共18张PPT)
Q
设矩形ABCD的面积为S，则
D
C
S AB BC (cos 3 sin )sin
3
sin cos 3 sin2
O αA B P
3
1 sin 2 3 (1 cos 2 ) 1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
2
6
6
1 ( 3 sin 2 1 cos 2 ) 3 1 sin(2 ) 3
于是OA 3 DA 3 BC 3 sin O α A
BP
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
一、例题分析
例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的
扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。
∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？
并求出这个最大面积.
分析：考虑式子中是关于cosx和sinx的二次式，故可 考虑降幂升角，容易得
f ( x) sin 2x cos 2x 2
2 sin(2x ) 2
4
结合三角函数的图像和性质可求得结果
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
所以函数f ( x)的最小正周期是T
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
b
2
b
5sin(2x ) 7
62
(2)当 x 时，求函数f ( x)的值域。
6
2
解：(2)当 x 时， 2x ( , 7 )
函sin数(26f x( x)的6 )值2域(为12(,11,)1，7)故。6f
高中数学必修四课件§3-2 简单的三角恒等变换课件
号决定，φ 与点(a，b)同象限.( √ )
3.sin x＋ 3cos x＝2sinx＋π6.( × )
提示
sin x＋
3cos
x＝212sin
x＋
3 2 cos
x＝2sinx＋π3.
2 题型探究
PART TWO
题型一 应用半角公式求值
例1
已知 sin θ＝45，52π<θ<3π，求 cos
2θ和 tan
要证原式，可以证明11＋ ＋ssiinn
4θ－cos 4θ＋cos
44θθ＝1－2tatnanθ2θ.
∵左边＝sin sin
4θ＋1－cos 4θ＋1＋cos
4θ＝ 2sin 4θ 2sin
2θcos 2θcos
2θ＋2sin22θ 2θ＋2cos22θ
＝ 2sin 2cos
2θcos 2θsin
2θ＋sin 2θ＋cos
知识点二 辅助角公式
辅助角公式：
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ).其中tan
θ＝ba
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若 α≠kπ，k∈Z，则 tan
α2＝1＋sicnoαs
1－cos α
＝ α
sin α
恒成立.(
√
)
2.辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 φ 所在的象限由 a，b 的符
跟踪训练 2
1－sin 化简：
α－cos
αsin
α2＋cos
α 2(－π<α<0).
2－2cos α
解
3.2简单的三角恒等变换
= 3sin2x - cos2x
3 1 = 2( sin2x - cos2x) 2 2
π π = 2(sin2xcos - cos2xsin ) 6 6 π = 2sin(2x - ) 6
故该函数的最小正周期是π，最小值是－2，在 0，π π 5π 上的单调增区间是 0， ， ，π。 3 6
1 5 sin（ ＋ ）＋ 2x 2 6 4
y取得最大值必须且只需
2x＋ ＋2k，k Z， 6 2
即x＝ ＋k，k Z。 6 所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 ｛x |x ＝＋k π，k ∈Z｝。
（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：
①把函数y＝sinx的图象向左平移 ，得到函数y＝sin（x＋ ）的图象； 6 6
α 1 + cosα cos = 2 2
α 1- cosα sinα 1- cosα tan = = = 2 1 + cosα 1 + cosα sinα
注意：
α α α α （1）sin 、cos 、tan 的符号有 所在的象限决定。 2 2 2 2
(2)正切半角公式的推导：
α α α α α α sin sin 2sin sin sin 2cos α α 2 = 2 2 2 = 2 2 tan = tan = 2 cos α cos α 2sin α 2 cos α cos α 2cos α 2 2 2 2 2 2
新课导入
学习了简单的和（差）角公式，倍 角公式后，对于一些稍微复杂的三角恒 等变化，比如已知2α求α，已知
y=sin2xcos2x,求最小正周期、最大最小
值、单调区间是否能求呢?
通过复习前面所学过的公式，以已
高中数学人教A版必修4课件：3-2简单的三角恒等变换
所以 cos θ=- 1-sin2 ������=-25. 于是
5π 4
7
<
������ 2
<
3π , 2
故 sin 2=-
������
1-cos������ =2
1- -25 2
7
=-5,
4
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
答案:(1)× (2)× (3)× (4)
.
(
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
探究一
5π
用半角公式解决求值问题
24 ������ ������ ������ ������
【例 1】 已知 2 <θ<3π,且 sin θ=25,求 sin 2,cos 2,tan 2,cos 4的 值.
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
3.做一做:已知 cos
������ = 2
1 α= ,且 5
α 为锐角,则 sin
������ = 2
,cos
.
解析:∵α∈ 0,
������ ∴2
∈
������ 2
π 0, 4
π 2
,
,
1-cos������ 2
∴sin
cos
������ 2
3.2 简单的三角恒等变换
-1-
首页
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
简单的三角恒等变换
3.2简单的三角恒等变换（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重难点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学过程：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-；()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．（二）新课讲解：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。
高中数学人教版必修4课件3-2简单的三角恒等变换1
α ＝cos
α.
[类题通法] 化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联 系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系 它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的 名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变 形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
(3)由于tan
α 2
＝
sin α 1＋cos
α
及tan
α 2
＝
1－cos sin α
α
不含被开方
数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方
便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用
sin2α2＝1－c2os
α，cos2α2＝1＋c2os
α .
常考题型
(10分)
采用换元法实现了sin θ＋ cos θ与sin θcos θ间的转 化，从而将问题转化为熟 知的一元二次函数，但要 注意换元后的定义域．此 处易忽视t的取值范围而导 致答案错误.
故当t＝190时，S矩形PQCR有最小值950 m2；
当t＝ 2时，S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000 2)m2.(12分)
原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα2 2·2cos2α2
＝2cosα2cosα2＋sinα2αsinα2－cosα2 2cos2
cosα2－cos α α . cos2
又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，
∴cosα2<0，
∴原式＝cosα2－·－coscα2os
简单的三角恒等变换
规 律
1.三角变换时三角化简、求值、证明的基础.
2.三角公式（包括同角三角函数基本关系式，诱导公
方 法
式，两角和差的三角函数公式及倍角公式等）构成了 三角部分的公式体系，应用时注意灵活综合.
总 结
3.三角变换中，有时把三角函数式化为“1”；有时把
“1” 化为三角函数式；还有加减“1”或乘除“1”.
S2
C2
T2
要求
1. 化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名 称尽量少，次数尽量低，分母尽量不含三角函数，根 号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来.
2. 求值，要注意角的范围，三角函数值的符号之间的联 系与影响，较难的问题需要根据三角函数进一步缩小 角的范围.
3. 证明，证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同与 右边，或右边变同与左边，或都将左右进行变换使其 左右相等.
即2
sin
2
x
6
2
sin
2
x
6
恒成立.
sin
2x
2
6
sin
2
x
2
6
恒成立.
即sin
2x
2
6
sin
2x
2
6
左边 (sin sin2 cos2 cos )(sin sin2 cos2 cos ) (sin cos 1)(sin cos 1) (sin cos )2 1 2sin cos sin 2 右边.
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1 cos tan 2 1 cos 称为半角公式, 符号 由
2
所在象限决定.
例2 求证 1 1sin cos sin sin ;
2
2sin sin 2 sin
2
cos
2
.
解 (1) sin(+) ＝ sincos+cossin sin(-) ＝ sincos-cossin 两式相加,得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
1 3 。 f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 ，最小值为 4 4
cos 40 cos 60 cos80 cos160 的值是(
0 0 0 0
)
A．0
1 3.设 (0, ), ( , ), 且 cos , 2 2 3 7 sin( ) 则 sin ( ) 9
1 sin cos sin sin 2
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos 设 +=, -=
①
2
,
2
cos
把,的值代入①,即得
sin sin 2sin
sin x 2sin x cos x cos x sin x cos x f ( x) 2 2sin x cos x
4 2 2 4 2 2
1 sin xcox x 1 (1 sin x cos x) 2(1 sin x cos x) 2
2 2
1 1 sin 2 x 4 2
通过三角变换把 形如 y=asinx+bcosx的 1 3 1 3 函数转化为形如 sin 2 cos 2 6 2 3 2 通过三角变换把 形如 1 3 sin 2 y=asinx+bcosx的 6 6 3 函数转化为形如 y=Asin(+)的 由于0 ,所以当 2 , 函数,从而使问题 3 6 2 1 3 3 得到简化 即 时, S最大 6 6 3 6
2、两角和、差角的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
3、两角和、差的正切公式
tan tan tan( ) 1 tan tan
tan tan tan( ) 1 tan tan
2
cos
2
课前热身:
求函数 y 2 sin(3 x ) 的周期,最大值 4 及单调区间.
例题讲解
例4 求函数 y sin x 3 cos x 的周期,最 大值和最小值. 变式训练: (1)求此函数的单调区间.
例题讲解
例5 求函数 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 的周期,最大值和最小值.
3.2 简单的三角恒等变换
例1 试用cos表示 sin 解 是
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
2
的二倍角
2
在公式 cos 2 1 2sin 中,以 代替2 ,以
2
代替 ,
cos 1 2sin
2
2
2
1 cos sin ① 2 2
2
2
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式； 在后面的练习当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
例3.求函数y sin x 3 cos x的周期， 最大值和最小值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式 化简，再求相应的值.
例4
如图，已知 OPQ是半径为1 圆心角为 ，
cos ＝ 2 tan
2
＝
1 sin cos＝ [sin( + )+ sin( )] 2 cos sin ＝ 1 [sin( + ) sin( )] 2
1 coscos＝ [ cos( + ) cos( )] 2 sin sin ＝ 1 [ cos( + ) cos( )] 2
和差化积公式:
sin + sin ＝ 2sin
+
2 2 + sin sin ＝ 2cos sin 2 2 + cos + cos ＝ 2cos 2 cos 2
cos
cos cos ＝ 2sin 2 sin 2 .
2 2
巩固练习 试一试：求下列函数的最大值和最小值:
(1) y 3 sin x 4 cos x; (2) y a sin x b cos x(a, b R, a b 0)
2 2 2
3 y 3 sin x cos x 4 cos x单调增区间和最值
三角函数在生活中的应用
4.倍角公式
sin2 2 sin cos cos 2 cos 2 sin2 2 cos2 1 1 2 sin2
2 tan tan 2 1 tan 2
新课
例题讲解
例1 试以 cos表示 sin
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 tan 1 cos 2
1 A． 27 5 B． 27
B． 3 2
C．1
2
D．－1
1 C． 3
23 D． 27
4.若f ( x)
, 则f ( ) ( 12 2sin cos 2 2
2sin
2
2
1
)
4 A． 3 3
B． 4 3
C． 3 4
D． 3 6
2 1 5.已知 tan( ) , tan( ) , 5 4 4 3 则 tan( ) 22 4
y A sin(x )
(2)通过换元转化为代数问题(初等函数) 2 来解决. 如 y A sin x B sin x c
3.2简单的三角恒等变换(2)
半角公式: sin
2
＝
1 cos 2 1+cos (其中 号由 所在象限的函数符号而定) 2 2 1 cos sin 1 cos ＝ ＝ 1+cos 1+cos sin
4 解： y 3sin x 4cos x＝5sin(x+ )(其中是满足tan = 的锐角) 3
一个三角函数式.
+， 当x+＝ 时， 2 2 2 y max 5sin(x+ )＝5sin ＝5, 2 4 3 3 而sin = , sin( + )＝cos＝ , ymin 5 . 0 x
1 3 sin 2 1 cos 2 2 6
sin x cos x sin x cos x 1.函数f ( x) 2 sin 2 x 3 4 的最小正周期为____最大值_______
4 4 2 2
练习
1 4 最小值________
分析：欲求最小正周期主最大最小值，首 先要将函数式化为单一函数．
例6 已知OPQ是半径为1,圆心角为 3 的扇
形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接 矩形.记∠COP= ,求当角 取何值时,矩形 ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.
Q D C
O A B P
小结
求三角函数式有关问题(最值,单调性及奇偶性 等)的方法与思路: (1)通过三角恒等变换转化为 的形式来解决;
1 sin 2 6．化简： 2 1 3 cos cos 2 2
1 sin 2
小结 对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识，学会灵活运用
第三章
三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
1、两角和、差角的余弦公式
知识回顾:
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
4 4
2
(2) cos sin (3) sin x cos x cos 2 x
例题讲解
例2 求证: 1 (1) sin cos [sin( ) sin( )] 2 (2) sin sin 2sin 巩固练习
1 1 1.已知 sin( ) , sin( ) , 2 3 求证 : sin cos 5 cos sin
2
2
2
,
2
cos
2
2
, tan
2
2
.
1 cos 2 sin 2
降次公式:
1 cos sin 2 2
1 cos cos 2 2
1 cos tan 2 1 cos
半角公式:
符号由
2
所在的象限决定.
巩固练习 化简
(1)(sin cos )
+
上述公式间的联系如下：
和差化积
积化和差
升降幂公式
以 代 2
S( )
C( )
相 除
以- 代
S( + )
C( + )