高考数学一轮复习知识点与练习导数的概念和运算

1． 导数与导函数的概念
(1) 设函数 y ＝ f(x)在区间 (a ，b)上有定义， x 0∈ (a ，b)，假设
x 无限趋近于 0 时，比值
y ＝ f x 0 ＋ x － f x 0 x x
无限趋近于一个常数 A ，那么称 f( x)在 x ＝ x 0 处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x ＝ x 0 处的导数 (derivative) ，记作 f ′ (x 0)．
(2) 假设 f(x)对于区间 (a ， b)内任一点都可导，那么
f(x)在各点的导数也随着自变
量 x 的变化而变化，因而也
是自变量 x 的函数，该函数称为 f( x)的导函数，记作 f ′( x)．
2． 导数的几何意义
函数 y ＝ f(x) 在点 x 0 处的导数的几何意义，就是曲线 y ＝ f(x)在点 P(x 0， f(x 0)) 处的切线的斜率 k ，即 k ＝
f ′ (x 0)
3． 根本初等函数的导数公式
根本初等函数 导函数
f(x)＝C(C 为常数 )
f ′ (x)＝ 0
α
α 1 f(x)＝ x (α为常数 )
－
f ′ (x) ＝ αx f(x)＝ sin x f ′ (x)＝ cos_x f(x)＝ cos x
f ′ (x)＝－ sin_x
x
x
f(x)＝ e
f ′ (x)＝ e f(x)＝ a x (a>0， a ≠ 1)
f ′ (x) ＝a x ln_a
1
f(x)＝ ln x
f ′ (x)＝ x
1 f(x)＝ log a x(a>0 ，a ≠ 1)
f ′ (x)＝ xln a
专注·专业·口碑·极致
- 1 -
4.导数的运算法那么
若f′ (x)， g′ (x)存在，那么有
(1)[ f(x) ±g( x)] ＝′f ′(x)±g′(x)；
(2)[ f(x) ·g(x)] ＝′f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)；
f x f′ x
g x － f x g′ x
(3)[ g x ] ′＝g2 x(g(x)≠ 0)．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确 (请在括号中打“√〞或“×〞)
(1) f′ (x0)与( f(x0)) ′表示的意义相同． ()
(2)求 f′ (x0)时，可先求 f(x0)再求 f′ (x0)． ()
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()
(5)函数 f(x)＝ sin( －x)的导数是 f′ (x)＝ cos x． ()
1． (教材改编 ) f′ (x)是函数 f(x)＝1x3＋ 2x＋ 1 的导函数，那
么f′ (－ 1)的值为 ________ ．
3
2．如下图为函数y＝ f(x)， y＝g( x)的导函数的图象，那么y＝ f( x)， y＝ g(x)的图象可能是 ________．
ππ
3．设函数f(x)的导数为f′ (x) ，且 f(x)＝ f′ (2)sin x＋cos x，那么 f′ (4)＝ ________.
4
4．点P 在曲线 y＝e x＋1上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，那么α的取值范围是
__________ ．x在点 (0,1)处的切线与曲线1P 的坐标为
5． (2021 陕·西 )设曲线 y＝ e y＝(x＞ 0)上点 P 处的切线垂直，那么
x
________．
专注·专业·口碑·极致- 2 -
题型一导数的运算
例 1求以下函数的导数：
2
(1) y＝ (3x － 4x)(2x＋ 1)；
(2) y＝ x2sin x；
(3) y＝ 3x e x－ 2x＋ e；
思维升华求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少过失；遇到函数的商的形式时，如能化简那么化简，这样可防止使用商的求导法那么，减少运算量．
(1)f(x)＝ x(2 016＋ ln x)，假设 f′ (x0) ＝ 2 017，那么 x0＝________.
(2)假设函数 f( x)＝ ax4＋bx2＋c 满足 f′ (1)＝ 2，那么 f′(－ 1)＝ ________.
题型二导数的几何意义
命题点 1切点的切线方程问题
例 2 (1)函数 f(x) ＝ln x－2x
的图象在点 (1，－ 2)处的切线方程为 __________．x
(2) 函数y＝ f(x) 及其导函数y＝ f′ (x) 的图象如下图，那么曲线y＝ f(x)在点 P 处的切线方程是
_______________ ．
命题点 2未知切点的切线方程问题
专注·专业·口碑·极致- 3 -
例 3 (1)与直线 2x － y ＋ 4＝ 0 平行的抛物线 y ＝ x 2 的切线方程是 __________ ．
(2) 函数 f(x) ＝xln x ，假设直线 l 过点 (0，－ 1)，并且与曲线 y ＝ f(x)相切，那么直线 l 的方程为 ____________ ．
命题点 3 和切线有关的参数问题
例 4
f(x)＝ ln x ，g(x) ＝12x 2 ＋mx ＋7
2(m<0) ，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与
f(x)图象的
切点为 (1， f(1)) ，那么 m ＝ ________.
命题点 4 导数与函数图象的关系
例 5 如图，点 A(2,1) ，B(3,0)， E(x,0)(x ≥ 0)，过点 E 作 OB 的垂线 l.记△ AOB 在直线 l 左侧局部的面积为 S ，那么函数 S ＝ f(x)的图象为以下图中的 ________． (填序号 )
思维升华
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要表达在以下几个方面：
(1) 切点 A(x 0， f(x 0)) 求斜率 k ，即求该点处的导数值： k ＝ f ′ ( x 0)．
(2) 斜率 k ，求切点 A( x 1， f(x 1)) ，即解方程 f ′ (x 1)＝ k.
(3) 假设求过点 P(x 0， y 0)的切线方程，可设切点为
(x 1， y 1)，由
y 1＝ f x 1 ，
求解即可．
y 0－ y 1＝ f ′ x 1 x 0－ x 1
(4) 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程
度可以判断出函数图象升降的快慢．
(1) 函数 f(x)＝ x 3－ 3x ，假设过点 A(0,16) 且与曲线 y ＝ f(x)相切的直线方程为 y ＝ax ＋ 16，
那么实数 a 的值是 ________．
(2) 假设直线 y ＝ 2x ＋m 是曲线 y ＝ xln x 的切线，那么实数 m 的值为 ________．
专注·专业·口碑·极致
- 4 -
4．求曲线的切线方程条件审视不准致误
典例假设存在过点O(0,0)的直线 l 与曲线 y ＝ x3－ 3x2＋2x 和 y＝ x2＋ a 都相切，求 a 的值．
易错分析由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线 y＝ x3－ 3x2＋ 2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况．
温馨提醒对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；假设所过
点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论．
[方法与技巧 ]
1．f ′(x0)代表函数 f(x)在 x＝ x0处的导数值； (f(x0))′是函数值 f( x0)的导数，而函数值 f( x0)是一个常数，其导数一定为 0，即 (f(x0)) ′＝ 0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的根本原那么．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，防止不必要的运算失误．
3．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程．
[失误与防范 ]
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前
者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差异．
A 组专项根底训练
( 时间： 40 分钟 )
1．函数f(x)的导函数为f′ (x)，且满足f(x)＝ 2xf′ (1)＋ ln x，那么 f′ (1)＝ ________.
2．曲线y＝ ln x 的切线过原点，那么此切线的斜率为________．
专注·专业·口碑·极致- 5 -
3．函数f(x)的导数为f′( x)，且满足关系式f(x)＝ x2＋ 3xf′ (2) ＋ln x，那么 f′ (2) 的值等于 ________．
4．设曲线y＝ ax－ ln x 在点 (1,1) 处的切线方程为y＝ 2x，那么 a＝________.
5． a 为常数，假设曲线 y＝ax2＋3x－ ln x 存在与直线x＋y－ 1＝ 0 垂直的切线，那么实数 a 的取值范围是__________ ．
6．设函数f(x)＝ x(x＋ k)(x＋ 2k)(x－3k)，假设 f′ (0)＝ 6，那么 k＝ ________.
2b
7．在平面直角坐标系xOy 中，假设曲线y＝ ax ＋
x(a，b 为常数 )过点 P(2，－ 5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x＋ 2y＋ 3＝ 0 平行，那么a＋ b 的值是 ______．
8． (2021 课·标全国Ⅱ )曲线 y＝ x＋ ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线y＝ ax2＋ (a＋2)x＋1 相切，那么 a ＝
________.
9．曲线y＝ x3＋ x－ 2 在点 P0处的切线 l 1平行于直线4x－ y－ 1＝0，且点 P0在第三象限．
(1)求 P0的坐标；
(2)假设直线 l⊥ l 1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程．
10．设函数 f( x)＝ ax－b
，曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2)) 处的切线方程为7x－4y－ 12＝0. x
(1)求 f(x)的解析式；
(2)证明：曲线 y＝ f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝ x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
B 组专项能力提升
( 时间： 20 分钟 )
专注·专业·口碑·极致- 6 -
11．函数 f(x)＝x＋1，g( x)＝ aln x，假设在 x
＝
1
函数 f(x)与 g(x)的象的切平行，数 a 的
4
________．
12．曲梯形由曲y＝ x2＋ 1，y＝ 0，x＝ 1，x＝ 2 所成，曲 y＝ x2＋ 1 (x∈ [1,2] )上一点 P 作切，使得此切从曲梯形上切出一个面最大的普通梯形，一点的坐____________ ．
13．假设函数12
a 的取范是 ________．
f( x)＝ x － ax＋ln x 存在垂直于 y 的切，数
2
14．曲f(x)＝ x n＋1(n∈N* )与直 x＝ 1 交于点 P，曲y＝f(x)在点 P 的切与x 交点的横
坐 x n， log 2 016x1＋ log 2 016x2＋⋯＋ log2 016x2 015的 ________．
15．函数f( x)＝ ax3＋3x2－ 6ax－ 11， g(x)＝ 3x2＋ 6x＋12 和直 m： y＝ kx＋ 9，且 f′ (－1) ＝0.
(1)求 a 的；
(2) 是否存在k，使直 m 既是曲 y＝ f(x) 的切，又是曲y＝g( x)的切？如果存在，求出k 的；
如果不存在，明理由．
专注·专业·口碑·极致- 7 -。