我们在做怎样章节例研究

回顾原教学行为
欧几里德方法
(等积变形推导) 技巧难度太高
设置动手情境
“量一量、算一算” 得不出a2+b2=c2
“剪一剪、拼一拼” 学生不会剪拼
提供勾股数组:
32+42=52
62+82=102 特殊情境成 了直接暗示, 无异于告诉
简化为铺地砖: 事实
在不满中寻找出路
优秀教师不满足于以往的教学行为。尝试新的教学设计， 要点是：
（1）L∙舒尔曼 教师专业知识分析框架： ① 学科知识 ② 一般教学知识 ③ 课程知识 ④ 学科教学知识(又译作为教学任务的内容知识,Pedagogical Content Knowledge,简称PCK) ⑤ 学习者及其特点的知识 ⑥ 教育情境知识 ⑦ 关于教育的目标、目的和价值以及它们的哲学和历史背 景的知识
现在的教学方式：学生自主观察
① 观察与分类——爬高不爬高
老师让学生将玻璃棒、粉笔、细沙 柱、玻璃细管和宣纸插入装有红色液 体的水槽中。
学生观察发现：这些物品可分为两 类，一类能“吸水” ，另一类则不能。
老师告诉学生,这种水能爬高的现 象就是“毛细现象”。
必要的知识与经验准备
② 寻找共同特征——有孔没孔
课例1 水能爬高吗？
以往的教学方式：教师演示实验
教师设计精致的演示实验，在演示中引导学生一步步 归纳：什么是毛细现象？导致毛细现象发生的原因？
在这样的教学中，虽然也强调培养学生的基本能力如 观察能力、归纳能力等，但目标主要盯在科学基本事实和 基础知识上，缺乏对科学研究过程与方法的重视。
过分注重科学知识(结果)而忽视科学方法(过程)的教学， 也突出地表现在“相当普遍地忽视了学生的实验，极大地 忽视了‘想’和‘做”。
代数项 图Ⅰ 图Ⅱ 图Ⅲ 图Ⅳ …
a2
1
4
9 16
b2
4
9 16 25
2ab 4 12 24 40
c2
5 13 25 41
学生的发现出乎意料： c2=2ab+1 a2+b2=c2
a+b+a2=b2 2ab+c2=(a+b)2等!
反驳与证明的师生对话
[生1 ] 根据数据表,我得出c2=2ab+1的结论。 [ 师] [很惊讶]怎么会,不可能吧? [生2 ] 我做过a=2,b=4的例子,这时2ab=16,c2=20,c2≠2ab+1。 [ 师] 生2用举例来“反驳”,有说服力,c2=2ab+1这一结论不能成立。 [生3 ] 老师,当a与b相差1的时候,这个结论还是成立的。 [ 师] [心中想 c2=(a-b)2+2ab,b-a=1时,c2=2ab+1]这个意见也是对的,这
是一个有条件的结论。好,下面我们来看看另外一个结论a2+b2=c2。 [生4] 这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的,但是我想,即使100个例
子都正确,101个例子不成立了呢?所有例子都成立才是定理,只要有1个例 子不成立还是个有条件的结论。 [ 师] a2+b2=c2是否是个定理,举例再多也说明不了,怎么办? [生众] 看来必须证明。
(2) 作为教学任务的内容知识（又译学科教学知识PCK）解 析为四部分
① 一门学科的统领性观念——关于学科性质的知识和最有学习价值 的知识
② 学生对某一学习内容理解和误解的知识 ③ 特定学习内容在横向和纵向上组织和结构的知识 ④ 将特定学习内容呈示给学生的策略的知识
教师知识基础框架，尤其是其中的核心成分PCK明晰化之后，利用 PCK解决问题的教学技能也渐渐被开掘，这大大厘清了世界各国对教师 资格的认证以及对教师专业知识和技能培养的向度。
③ 收集、编拟勾股 定理的应用题
如
如
v s
R
如
地球
R=6400km S=0.005km
格点多边形面积
S=N+L -1 2
(N为内点数,L为边点数)
中国古代文明 c2=2ab+(ab)2
学生活动做扩充 =a2+b2
第一宇宙速度
v2=(R+s)2-R2 ≈2RS =64
v =8km
百分比
60
51.2 50
③ 发现规律——小洞高 大洞低
在做中发展假设检验的技能
④ 解释现象—— 鲜花和酒精灯
老师请学生思考，酒 精灯能燃烧，白色花朵插 入红色液体中，花瓣会变 成红色的原因。
⑤ 意外发现 ——美丽的曲线
老师问学生：玻璃片能爬 高吗？学生回答不可以。因为 玻璃片上没有小孔。
老师接着问：有没有办法 使水能在玻璃片上爬高？
（中国校本研修网）
谢谢大家！
把图中的小方格背景撤去，并且隐去a、b的具体 数值，在一般的直角三角形中，a2+b2=c2是否同样 成立？学生利用前面计算直角三角形斜边上正方形 面积的方法，顺利地证明了这一结论的正确性。
ac b
拆除铺垫引导
② 上网学习勾股定理 的史料与多种证明
老师提供学生放大镜，请学生以 小组为单位，观察能吸水物品有什么 特点。学生用放大镜逐个观察，发现 凡是水能爬高的物品都有一个共同的 特点：有小孔；有缝隙。
老师然后问：那么水爬的高度和孔 的大小有关吗？
主动要求提供更多的材料
教师为学生提供粗细不 同的管子。
学生将它们插入装有红色 液体的水槽中，按管子的粗 细排列，发现：管子越细， 水爬得越高。
改进前 改进后
46.6
40
30
26.7
23.5
20
16.8
28.2
10
3.8
3.2
0 教师讲授 师生问答 学生探究 学生练习
•教师讲授时间减少，学生探索时间明显增加，课堂价 值观正向能力取向移动 •由于探索时间增加，学生课堂练习时间有所减少，但 课外思考的空间扩大了
课堂价值取向与行为类型的变化
【资料】 教师专业知识技能的基础框架
老师组织学生讨论，得出结论：两片玻璃片合拢时产生细缝， 水能爬高。漂亮曲线的产生是由于缝隙大，水爬得低；缝隙小，水 爬得高。
知识的储备限制了进一步的探索
课例2 勾股定理 a2+b2=c2
勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代 数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一 算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的 探究式等。数学教学要培养学生的数学计算、数学论证 乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正是一个恰当 的例子。
老师给学生充分时间思考， 试着设计实验。
学生索要更多材料，教师 有意识地提供材料。
意外结果。学生报告老师，水能在玻璃片上爬高，老师“诧 异”，请学生介绍。学生将两片玻璃片并在一起；请学生解释为什 么玻璃片并在一起，水能爬高。学生停顿议论。
这时，有学生在两个玻璃片中插入老师有意识提供的一个小棒， 结果让他们感到惊讶，他们报告说做出了一条优美的曲线。
我们在做怎样章节例研究
背景
最近，上海一个地区的大样本调查，两轮课程改 革之后，教师的理念有显著提高，从课堂观察的视 角来看，教师关注的重心发生了深刻的变化。从数 千学生参与的教学目标测试看，课堂教学实效有提 高，尤其是操作、概念、领会部分的学习质量大幅 度地提升；但是分析解决问题的能力，风景依旧， 理应成为今后课堂教学改革的重点内容。
①目标在于体现“猜想—证明”这种数学思想方法的 本原性意义。
②探究需要“铺垫”（有层次推进的策略）。就像学游 泳，不能让所有学生都直接跳到海里，要有一定的背景 知识和带关键性的技能、策略作铺垫。铺垫也称“脚手 架”，为学生提供一种教学协助，帮助学生完成在现有 能力下向高认知学习任务的难度攀升。
① 问题: 直角三角形两条直角边和斜边之间有什么关系?
a、b＜c＜a+b （已有知识） 两边平方怎么样? a2、b2＜c2＜
(a+b)2 a2+2ab+b2
② 铺垫: 在方格纸内斜放一个正方形ABCD，每个小方格的边长为单 位1，怎样计算正方形ABCD的面积？
情境铺垫出猜想
③ 数据表：用前面的方法分别计算下列四个图形中的a2、 b2 、2ab及c2的值，并填表。