【金版新学案】高考数学总复习 课时作业37 简单的线性规划 理 北师大版

课时作业(三十七) 简单的线性规划
A 级
1．(2012·三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则
a 的取值范围为( )
A ．(－24,7)
B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
2．(2011·安徽卷)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤1x －y ≤1
x ≥0
，则x ＋2y 的最大值和最小值分别
为( )
A ．1，－1
B ．2，－2
C ．1，－2
D ．2，－1
3．设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥0，
y ≤x ，则|PA |的最小值是( )
A.
2
2
B.
32
C ．1 D. 2
4．(2011·湖南卷)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20
表示的平面区
域的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
5．(2012·福建卷)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，
则
实数m 的最大值为( )
A ．－1
B ．1 C.3
2
D ．2
6．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x －by ＋1＞0表示的平面区域内，则b 的取值范围是________．
7．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，y ＋2≥0，
x －y ＋1≥0
表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则
区域D 的面积为______；z 的最大值为________．
8．(2012·山西考前适应性训练)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，
y ≥0
表示的平面区域内到直
线y ＝2x －4的距离最远的点的坐标为________．
9．(2012·皖南八校联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0x ＋y －1≥0，
y ≥3x －3
则z ＝
y －1
x ＋1
的最大值为________．
10．已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，x －y ≤1，
x ＋2≥0.
求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大
值和最小值．
11．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，x ＞0，
y ≤2.
(1)若z ＝y
x
，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2
＋y 2
，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．
B 级
1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0y －x ＋1≤0
y －2x ＋4≥0
，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )
有无数个，则a 的值为( )
A ． 2
B ．1
C ．0
D ．－1
2．(2012·东北三校第二次联考)已知O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )
是平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2
内的一个动点，要使OA →·(OA →－MA →
)＋1m
≤0恒成立，则实数m 的
取值范围为________．
3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 详解答案
课时作业(三十七)
A 级
1．B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0， 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.
2．B x ＋y ＝1，x －y ＝1，x ＝0三条直线两两相交的交点分别为(0,1)，(0，－1)，(1,0)，画出可行域(图略)可知，分别在点(0,1)，(0，－1)得到最大值2，最小值－2.
3．A
作出可行域如右图，|PA |的最小值为点A 到直线x －y ＝0的距离，可求得为2
2
. 4．B 画出可行域如图阴影部分所示．
∵直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)．
5．B 首先作出约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m
对应的可行域及直线y ＝2x ，如图，
易知，直线x ＝m 过点A (1,2)时符合题意，即此时x ＝m ＝1为m 的最大值． 6．解析： P (1，－2)关于原点的对称点为(－1,2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2＋2b ＋1＞0
－2－2b ＋1＞0
，∴－32＜b ＜－1
2
.
答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
2
，－12
7．解析： 区域的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为
25
2
，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y ，得x ＝2，y ＝3时，有z max ＝5.
答案：
252
5 8．解析： 在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)及直线y ＝2x
－4，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，点(－1,0)到直线y ＝2x －4的距离最远．
答案： (－1,0)
9．解析： 作出实数x ，y 满足的可行域，易知在点(2,3)处，z 取得最大值．∴z max ＝
3－1
2＋1＝23
. 答案： 2
3
10．解析： 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，x －y ≤1，
x ＋2≥0
表示的平面区域，如图所示．
由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为1
2z －1，随z
变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距1
2
z －1最小，即z 最小，
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝1，
x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距1
2
z －1最大，
即z 最大，∴z max ＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.
11．解析： 由⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，x ＞0，
y ≤2.
作出可行域如图中阴影部分所示．
(1)z ＝y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x
的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 的斜率不存在)．
而由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋1＝0y ＝2得B (1,2)，
则k OB ＝2
1＝2.∴z max 不存在，z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．
(2)z ＝x 2
＋y 2
表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2
＋y 2
的范围最小为|OA |2
(取不到)，最大为|OB |2
. 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋1＝0x ＝0
得A (0,1)，
∴|OA |2
＝(02
＋12)2
＝1.|OB |2
＝(12
＋22)2
＝5.
∴z 的最大值为5，没有最小值．故z 的取值范围是(1,5]．
B 级
1．B
依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1，选B.
2．解析： 不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)，OA →·(OA →－MA →)＋1m
＝(－1，
－2)·[(－1，－2)－(－1－x ，－2－y )]＋1m ＝(－1，－2)·(x ，y )＋1m ＝－x －2y ＋1
m
≤0恒
成立，
即1m ≤x ＋2y 恒成立，等价于1
m
≤(x ＋2y )min .
令z ＝x ＋2y ，画参照线x ＋2y ＝0，当其平移到过D 点时，z min ＝1＋2×1＝3， ∴1m ≤3，解得m ＜0或m ≥13
. 答案： (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，＋∞
3．解析： (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.
(2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋7y ＋－x －y 100－x －y ≥0
x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z
整理得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ≤200x ＋y ≤100，
x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z
目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300， 如图所示，作出可行域．
初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋3y ＝200x ＋y ＝100，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝50，
y ＝50
最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．。