2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题十一《立体几何》

2019衡水名师原创理科数学专题卷
专题十一 立体几何
考点33：空间几何体的结构特征、三视图、直观图表面积和体积(1-8题,13-15题，17-19题) 考点34：空间点、线、面的位置关系（9,10题） 考点35：直线、平面平行的判定与性质(16,20题）
考点36：直线、平面垂直的判定与性质（17-19,21,22题） 考点37：与空间角和距离有关的计算（11,12题，20-22题）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.如图,三棱锥V ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形, AB BC =,侧面VAC 与底面垂直,已知其正视图的面积为3,则其侧视图的面积为( )
A.
B. 32
C. 34
D. 2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.4
B.6
C.20 3
D.22 3
3某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )
A.10
B.12
C.14
D.16
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.7
B.15 2
C.23 3
D.47 6
5某几何体三视图如图1示,则此几何体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )
A. 1
B.
C.
D. 2
7.如图,正方体1111ABCD A B C D -以顶点A 为球心, 2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于( )
A.
56π B. 23
π
C. π
D.
76
π 8.如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为( )
A.
14π B. 3π C. 4π
D. 43
π
9.已知m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若m α⊥,m β⊥,则αβ⊥ B.若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ C.若//m α,//m β,则//αβ
D.若m α⊥,//n α,则m n ⊥
10.如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折,将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.点A 与点C 在某一位置可能重合
B.点A 与点C
C.直线AB 与直线CD 可能垂直
D.直线AF 与直线CE 可能垂直
11.已知三棱柱111ABC A B C -,侧棱与底面垂直,
11
12
AA AB BC ===,AB BC ⊥,点,,?
P M N 分别是棱1111,,BB CC AC 的中点,则异面直线AP 与MN 所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
3
12.已知直二面角,,,l A AC l C αβα--∈⊥为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足.若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
3
二、填空题
13.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为__________3m 。

14.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, E 为1AB 的中点,在面ABCD 中取一点F ,使1EF FC +最小,则最小值为__________.
15用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包好,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是 .
16.正方体1111ABCD A B C D -中, E 是棱1CC 的中点, F 是侧面11BCC B 内的动点,且1//A F 平面1D AE ,若正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2,则F 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段长是________.
三、解答题
17.已知等腰梯形PDCB 中(如图1), ,3,1,DC
PB PB DC PD BC ====A 为PB 边上一点,且
PA AD ⊥,将PAD ∆沿AD 折起,使面PAD ⊥面ABCD (如图2)
1.证明: PA BC ⊥
2.若M 为PB 上一点,且PD 平面AMC ,求BM 的长
3.在M 满足2的情况下,求多面体PADCM 的体积
18.如图,点C 是以AB 为直径的圆上一点,直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直,且
//,DE BC DC BC ⊥,1
2,32
DE BC AC CD =
===.
1.证明: //EO 平面ACD ;
2.证明:平面ACD ⊥平面BCDE ;
3.求三棱锥E ABD -的体积.
19.如图,已知BCD ∆中, 90BCD ∠=︒,1BC CD ==,AB ⊥平面BCD ,60ADB ∠=︒,E 、F 分别是AC 、
AD 上的动点,且
AE AF
AC AD
λ== (01λ<<).
1.判断EF 与平面ABC 的位置关系并证明;
2.若1
2
λ=
,求三棱锥A BEF -的体积. 20.如图1,在矩形ABCD 中, 2,4AB BC ==,E 为AD AD 中点,把ABE ∆沿BE 翻折到'A BE 的位置,使得
'A C =如图2
1.若P 为A C '的中点,求证: DP 平面'A BE ;
2. 求二面角C A B E -'-的余弦值
21.如图,在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥底面
ABCD ,AD AB ⊥,DC AB ,1PA =,2,AB PD BC ===
1.求证:平面PAD ⊥平面PCD ;
2.棱PB 上是否存在一点E ,使得二面角E AC P --若存在,请说明点E 的位置;若不存在,请说明理由
22.如图,四面体ABCD 中, ABC ∆是正三角形, ACD ∆是直角三角形, ABD CBD ∠=∠,AB BD =.
1.证明:平面ACD⊥平面ABC;
--的2.过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D AE C
余弦值。

参考答案
一、选择题 1.答案：B
解析：设AB 的长为a ,侧面VAC 的边AC 上的高为h ,则ah =其侧视图是由底面三角形ABC 的边AC 上的高与侧面三角形VAC 的边AC 上的高组成的直角三角形, 其面积为
3
2
【考点】三视图、空间几何体特点. 2.答案：B 解析： 答案： B
解析： 由三视图可画出立体图如图所示,该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
,
,
故选B.
4.答案：D 解析： 答案： B
解析： 由三视图知,该几何体是一棱长为的正方体和一底面半径为 、高为的圆柱的组合体
其表面积
表
6.答案：C
解析：由三视图可知,四棱锥P ABCD -底面是边长为1的正方形,棱PA ⊥平面ABCD ,且1PA =,如图.
∴PC 是该四棱锥的最长棱,
∴PC =
==7.答案：A
解析：如图,球面于正方体的两个面都相交,所得的交线分别为两类,一类在顶点A 所在的是三个面上,
即11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上,另一类在不过顶点A 的三个面上, 即11BB C C 、面11CC D D 、和面1111A B C D 上,在面11AA B B 上,
交线为弧EF 且过球心A 的大圆上,因为2AE =,1AA 则16
A AE π
∠=,
同理6
BAE π
∠=
,所以6
EAF π
∠=
,所以弧EF 的长为26
3
π
π
⨯
=
,而这样的弧共有三条,
在面11BB C C 上,交线为弧FG 且在距离球心为1的平面上与球面相交所得的小圆上, 此时,小圆的圆心为B ,半径为1,所以2
FBG π
∠=,所以弧FG 的长为12
2
π
π
⨯
=
,
于是所得曲线的长为
56
π
,故选A.
8.答案：C 解析： 9.答案：D
解析：A 不正确,因为垂直于同一条直线的两个平面平行;B 不正确,垂直于同一个平面的两个平面平行或相交;C 平行于同一条直线的两个平面平行或相交;D 正确. 10.答案：D
解析：A 不正确,点A ,C 恒不重合;B 不成立,点A 和点C 的最大距离是正方形ABCD 的对角线AC =;
C 不正确,不可能垂直,
D 选项,当平面ABF ⊥平面 BEDF 时, 平面DC
E ⊥平面 BED
F ,直线AF 与直线CE 垂直, 故选D. 11.答案：B 解析： 12.答案：C 解析：
选C.如图,作DE BC ⊥于点E,由l αβ--为直二面角,,AC l ⊥得,AC β⊥进而,AC DE ⊥ 又,,BC DE BC AC C ⊥⋂=于是DE ⊥平面,ABC 故DE 为D 到平面ABC 的距离.
在Rt BCD ∆中,利用等面积法得
BD DC DE BC ⋅=
==
二、填空题
13.答案：6π+ 解析：
此几何体是由一个长为3,宽为2,高为1的长方体与底面直径为2,高为3的圆锥组合而成的,
故
()231
3211363
m ππ=⨯⨯+⨯⨯=+.
14.答案：
2
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则()1,0,0A ,()11,1,1B ,()10,1,1C ,111,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,(),,0F x y , 因为1C 关于平面ABCD 的对称点为()10,1,1C -,由题设可知当E ,F ,1C 三点共线时,
1EF FC +最小,其最小值为1C E ==
答案： 8 解析：
如图①为棱长为的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图知正方形的边长为
,其面积为.
16.
解析：如下图所示,设平面1AD E 与直线BC 交与点G ,连接AG ,EG , 则G 为BC 的中点,分别取1B B ,11B C 的中点M ,N ,
连接1A M ,MN ,1A N ,因为11//A M D E ,则1//A M 平面1D AE , 同理可得//MN 平面1D AE ,所以平面1//A MN 平面1D AE , 由于1//A F 平面1D AE ,所以1A F ⊂平面1A MN ,
所以点F 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段是MN ,.
三、解答题
17.答案：1.证明:因为,PA AD ⊥PA ⊂平面PAD ,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,面PAD ⊥面,ABCD 所以AP ⊥平面,ABCD 又因为BC ⊂平面ABCD ,所以PA BC ⊥ 2.连结DB 交AC 于点O ,由平几知识得1,2PA AB ==, 因为PD 平面AMC ,
PD ⊂平面PDB ,平面AMC ⋂平面PDB OM =,所以OM PD ,
因为3,1PB DC ==,所以22AB DC ==, 又因为DC AB ,所以:2:1BO DO =,又OM PD ,
所以::2:1BM MP BO DO ==,
又Rt PBA ∆中, PB =
所以BM =
3.由2知, ::2:1BM MP BO DO ==,所以2
3
BM BP =
,
所以M 到平面ABCD 的距离是P 到平面ABCD 距离的
23
, 112333P ABCD M ABC ABCD ABC V V V S PA S PA --∆⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
()111125
1211213232318
⎡⎤⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 解析：
18.答案：1.如图,取BC 的中点M ,连接OM 、ME . 在三角形ABC 中, O 是AB 的中点, M 是BC 的中点,
∴//OM AC ,在直角梯形BCDE 中, //DE BC ,且DE CM =,
∴四边形MCDE 是平行四边形,∴//EM CD ,∴面//EMO 面ACD , 又∵EO ⊆面EMO ,∴//EO 平面ACD .
2.∵AB 是圆的直径, C 点在圆上,∴AC BC ⊥,
又∵平面BDCE ⊥平面ABC ,平面BDCE ⋂平面ABC BC =, ∴AC ⊥平面BCDE ,∵AC ⊆平面ACD , ∴平面ACD ⊥平面BCDE .
3.由2知AC ⊥平面ABDE ,可得AC 是三棱锥A BDE -的高线,
∵Rt BDE ∆中, 11
23322
BDE S DE CD ∆=⨯=⨯⨯=.
因此三棱锥E ABD -的体积=三棱锥A BDE -的体积11
33333
BDE S AC ∆=⨯=⨯⨯=.
解析：
19.答案：1. EF ⊥平面ABC .
证明:因为AB ⊥平面BCD ,所以AB CD ⊥,又在BCD ∆中, 90BCD ∠=︒, 所以BC CD ⊥,又AB BC B ⋂=,所以CD ⊥平面ABC ,又在ACD ∆中,
E 、
F 分别是AC 、AD 上的动点,且
AE AF
AC AD
λ== (01λ<<), 所以//EF CD ,
因为CD ⊥平面ABC ,所以EF ⊥平面ABC , 所以,不论λ为何值,总有EF ⊥平面ABC .
2. 在BCD ∆中, 90BCD ∠=︒,1BC CD ==,所以BD =又AB ⊥平面BCD ,所以AB BC ⊥,AB BD ⊥, 又在Rt ABD ∆中, 60ABD ∠=︒,
所以tan 60AB BD =︒=
由1知EF⊥平面ABE,
所以
11111
1
32622
ABC
S EF
∆
=⨯⋅=⨯⨯=所以,三棱锥A BEF
-
的体积是
24
.
解析：
20.答案：1.证明:取'A B的中点M,连接,
PM EM
由','
A P PC A M MB
==,
,2
MP BC BC MP
∴=,又,2
DE BC BC DE
=,
,
MP ED MP ED
∴=,
∴四边形MEDP为平行四边形,
DP EM
∴,
∵PD ⊂平面'A BE,EM⊂平面'A BE,
PD
∴平面'A BE
2.取BC中点N,连接ON,以OB为x轴,ON为y轴,'
OA为z轴,
如图建系(
)()
',,
A B C,
平面EA B'
的法向量为()
ON =,
设平面'A BC的法向量为(,,)
m x y z
=
,
=
∴
-=
⎪⎩
设1
x=,则1
y z
==,
∴平面'A BC的法向量为(1,1,1)
m =,
3
cos
m ON
m ON
θ
⋅
∴==
解析：
21.答案：1.证明:∵,AD AB CD AB ⊥ ∴DC AD ⊥
∵PA ⊥平面ABCD ,DC ⊂平面ABCD ∴DC PA ⊥ ∵AD PA A ⋂= ∴DC ⊥平面PAD ∵DC ⊂平面PCD
∴平面PAD ⊥平面PCD
2.以A 为坐标原点,以,,AD AB AP 所在射线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -
如图所示
1AD ==,由点C 向AB 作垂线CH ,
则1BH ==,所以
1DC AH AB BH ==-=
所以(0,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0)A P B C 设(,,)E x y z ,因为E 在棱PB 上,
所以PE PB λ= (01λ<<), 所以(0,2,1)E λλ- 设平面PAC 的法向量111(,,)u x y z =, ∴0{
u AP u AC ⋅=⋅=,111111111(,,)(0,0,1)00
{
,{
(,,)(1,1,0)00
x y z z x y z x y ⋅==⋅=+= 则(1,1,0)u =-
设平面EAC 的法向量222(,,)v x y z =, ∴00
v AE v AC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩,2222222222(,,)(0,2,1)02(1)0
{
,{
(,,)(1,1,0)00
x y z y z x y z x y λλλλ⋅-=+-=⋅=+= 取21x =,则22221,(0)11y z λλλλ=-=
>--,所以2(1,1,)1v λ
λ
=--
所以cos u v u v θ⋅==
,2(1,1,0)(1,1,
)
λ
-⋅-=解得12λ=
,所以存在1(0,1,)2
E 即E 为PB 中点时,使得二面角
E AC P --的余弦值为
3
解析：
22.答案：1.∵正ABC ∆,∴AB BC AC ==,设AB a =. ∵AB BD =,,ABD CBD ∠=∠∴,ABD BCD ∠≅∠ ∴CD AD =
在Rt ACD ∆
中.∴CD AD ==
,取AC 中点M ,连,DM BM ,则DM AC ⊥,BM AC ⊥ 在BDM ∆
,∵1,,2DM AC BM BD a =
==. ∴222BM DM BD +=,∴DM BM ⊥.
∴AC BM M ⋂=,,AC BM ⊂面ABC ,∴DM ⊥面ABC . ∵DM ⊂面ACD ,∴面ACD ⊥面ABC .
2.∵DM AC ⊥,DM BM ⊥,AC BM ⊥, ∴以M 为原点, MA ,MB ,MD 分别为x ,y ,z 轴 ∵平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分, ∴A BCE A DCE V V --=,∴BCE DCE S S ∆∆=. ∴BE DE =即E 为BD 中点, ∵,0,02a A ⎛⎫
⎪⎝⎭
,0,,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,0,02a C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,0,0,2a D ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
,10,,4
4E a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.
∵,244a a AE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
,,0,22a
a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(),0,0AC a =-. 设面ADE 向量为()111,,m x y z =,
0{
m AE m AD ⋅=⋅
=1111z 024{z 024
a a
x a a -+=⇒-+
=11111z z 0{z x x ++=⇒=, 令11y =
,11x z =
(
3,1,m =
,
设面ACE 的向量()222,,n x y z =,
0{0
n AE n AC ⋅=⇒⋅
=2222z 0
{24
a a x ax -+=-=,令21y =
,∴2z =,20x =
,∴(0,1,n =
. 13cos ,77m n
m n m n ⋅-〈〉=
==⋅
⋅, ∵二面角D AE C --的平面角是锐角, ∴二面角D AE C --. 解析：。