惠州市2021-2022第一学期期末质量检测 高一数学试题 参考答案与评分细则

数学试题答案 第1页，共9页
惠州市2021-2022学年度第一学期期末质量检测
高一数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

1．【解析】由交集的概念可知{}01A B ⋂=
，．
2．【解析】要使()()lg 31f x x -有意义，则有10310
x x -≥⎧⎨
->⎩，解得113x <≤，
所以函数()()lg 31f x x =-的定义域为1,13⎛⎤
⎥⎝⎦
．
3．【解析】因为函数()()2
f x x
a =-在
()0,∞+内单调递增，所以0a
≤，因为(),0-∞是(],0-∞的真
子集，所以“0a <”是“函数()()2
f x x a =-在
()0,∞+内单调递增”的充分而不必要条件．
4．【解析】函数3log
y x =的定义域为（0，+∞），即A 错误；函数y =3x 的值域是（0，+∞），即B 错误；
函数y =3x 和3log y x =是非奇非偶函数，即D 错误，两个函数在定义域内都是增函数，只有C 正确． 5．【解析】由三角函数的定义易知sin α=
，所以221cos212sin 122αα=-=-⨯=-．
6．【解析】因为1a >，则10a ->，1
111131
1a a a a +=-+
+≥=--，当且仅当111a a -=
- 即2a =时取等号，所以11
a a +
-有最小值为3．
7．【解析】解：因为()()
22ln f x x x =-，定义域为
{}|0x x ≠，且
()()()
()()2
22ln 2ln f x x x x x f x -=---=-=，故函数为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故
排除A 、D ，当x →+∞时()
22x -→+∞，ln
x →+∞，所以()f x →+∞，故排除C ．
8．【解析】由散点图知，该人喝一瓶啤酒后2个小时内酒精含量大于或者等于20mg/100ml ， 所以所求2n ≥，由()0.590e 1420n f n -+=<，即0.51e 15
n -<
，
所以0.51lne ln
15
n -<，即
0.5ln15n -<-，所以2ln152 2.71 5.42n =≈>⨯，
因为*N n ∈，所以n 最小为6，所以至少经过6小时才可以驾车。

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。

9．【解析】因为(0,)θπ∈，所以sin 0θ>，又sin cos 05
θθ+=-
<，所以cos 0θ<，所以可得(,)2πθπ∈，
故A 正确；又()2
1sin cos 1+2sin cos 25θθθθ+==，可得12sin cos 25
θθ=-，则可得
()249
sin cos 12sin cos 25
θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=，故D 正确；由加减法联立解得，
34
sin ,cos 55
θθ==-，所以3tan 4θ=-，故C 正确；
10．【解析】A 选项，()3f x x =定义域为R ，在()0,∞+上显然单调递增，但()()3f x x f x -=-≠，
即
()3f x x = 不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，A 排除；
B 选项，()2f x x =定义域为R ，在()0,∞+上显然单调递增，且()()()22f x x x f x -=-==，
所以
()2f x x =是偶函数，图象关于y 轴对称，即B 正确；
C 选项，()1
2f x x
=图象不关于
y 轴对称，C 排除；
D 选项，()f x x =的定义域为R ，在()0,∞+上显然单调递增，且()()f x x x f x -=-==，所
以
()f x x =是偶函数，图象关于y 轴对称，即D 正确.
11．【解析】由不等式性质逐项分析：
A 选项：由c d >，故c d -<-，根据不等式同向相加的原则a d b c ->-，故A 正确
B 选项：若0a b >>，0c d >>则ac bd <，故B 错误；
C 选项：0ab >，0bc ad ->，则
0bc ad ab ->，化简得0c d
a b
->，故C 正确； D 选项：1a =-，2b =-，2c =，1d =则1a b d c
==-，故D 错误. 12．【解析】由10a ＝4，10b ＝25，可得a ＝lg 4，b ＝lg 25，所以a +b ＝lg 4+lg 25＝lg 100＝2，
b ﹣a ＝lg 25﹣lg 4＝lg
254
＞lg 6，ab ＝2lg 2×2lg 5＝4lg 2•lg 5＞4lg 2•lg 4=8lg 22．故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．2e 14．sin21y x =+（或2sin y x =，22sin y x =等）
（答案不唯一） 15．2 16．15，24000
13．【解析】依题意ln 2x =，故2
x e =．
14．【解析】周期函数且有最值，可选择正弦或余弦函数，对一般正弦函数()sin y A x b ωϕ=
++，当
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=2ω，1A b ==（ϕ可以任意取值）时，满足题目要求，所以解析式可以是sin21y x =+或
cos21y x =+．此外22sin y x =，22cos y x =，2sin y x =，2cos y x =，()31
sin 2+22
y x =
，……也符合要求。

本题为开放题，答案不唯一。

【注意】sin +cos y x x =，sin +cos y x x =不符合要求。

15．【解析】由
()0f x =可得2140x x ≤⎧⎨-=⎩或2
1
log (1)0x x >⎧⎨-=⎩，解得2x =-或2x =，
所以函数()y f x =
的不同零点的个数为2．
16．【解析】设把楼建成x 层，则由题意得每平方米的购地费用为
1440000001440001000x x
=
（元）
， 每平方米的建筑费用为8000640(5)x +-（元），所以每平方米的平均综合费用为
1440008000640(5)y x x =
++-1440006404800x x =+
+4800≥
19200480024000=+=，当且仅当
144000
640x x
=，即15x =时取等号， 所以公司应把楼层建成15层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为24000元。

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
【解析】（1）若集合A 中只有一个元素，
则方程2
120x px ++=的判别式2
4120p ∆=-⨯=， -----------------------1分
解得p =±. -------------------------------------3分【注：答案正负各1分】
（2）依题{3}A
B =，故方程2120x px ++=的一个根为3，
则2
33120p ++=，得
7p =-，-------------------------------------------------------4分
解方程27120x x -+=得=3x 或4x =. ---------------------------------------------5分 所以 {}3,4A =. --------------------------------------------------------------------------6分 由{3}A
B =，故方程250x x q -+=的一个根为3，
则2
3530q -⨯+=，得6q =，------------------------------------------------------------7分 解方程2560x x -+=得=3x 或2x =. -------------------------------------------------8分
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所以{}2,3B =----------------------------------------------------------------------------------9分
所以{}2,3,4A
B = ----------------------------------------------------------------------10分
【注：集合的表达形式错误扣1分，但不重复扣分】 18．
（本小题满分12分） 【解析】（1）【解法1】依题可知,αβ都是锐角，故(,),(0,)22
ππ
αβαβπ-∈-
+∈ -------1分
又1sin()0,cos()032
αβαβ-=
>+=>，故(0,),(0,)22ππαβαβ-∈+∈-----2分
由同角三角函数的基本关系式得
cos()3
αβ-=== -------------------------------------3分
1
sin()2
αβ+== -------------------------------------4分 sin2sin[()()]ααβαβ∴=-++ --------------------------------------------------------5分
sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=-++-+
11332=+⨯ ------------6分【注：两角和展开公式正确可得1分】
6
=
sin2α∴
=
6
---------------------------------------------------------------------------7分 【解法2】
由cos()2
αβ+=
，(0,)
αβπ+∈，则=6παβ+，即=6πβα--------1分
sin()sin sin 266ππαβααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ -------------------------2分
所以1
sin 2cos
cos2sin
=6
63
π
παα⋅-⋅-----------------3分【注：两角差展开公式正确可得1分】
11
2cos223
αα-= ① -----------------------------------------4分 且22
sin 2cos 21αα+= ②
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联立①②，可得25
4sin 22039
αα-
-=----------------------------5分
解得sin 26
α±=
-----------------------------------------------------------6分 又()20,απ∈
，所以sin 2α=
--------------------------------------7分 【注：无说明角的范围扣1分，但不重复扣分】
（2）【证法1】依题有1sin()sin cos cos sin 3
αβαβαβ-=-=
① -------------------8分
由（1）可知1sin()sin cos cos sin 2
αβαβαβ+=+= ② -------------------------9分 由①＋②可得 5sin cos 12
αβ=
------------------------------------------------------------10分 由①－②可得 1cos sin 12
αβ=
------------------------------------------------------------11分
即
sin cos 5cos sin αβαβ= ----------------------------------------------------------------12分
【证法2】依题有1sin()sin cos cos sin 3
αβαβαβ-=-=
---------------8分 3sin cos 3cos sin 1αβαβ⇒-= ① --------------------9分
由（1）可知1sin()sin cos cos sin 2
αβαβαβ+=+=
---------------10分 2sin cos 2cos sin 1αβαβ⇒+= ② --------------------11分
由①－②可得
sin cos 5cos sin 0αβαβ-=
即
sin cos 5cos sin αβαβ= --------------------12分
19．
（本小题满分12分） 【解析】（1）解法1：因为不等式2(1)460a x x --+>的解集是{}
31x x -<<，
则3-和1是方程2
(1)460a x x --+=的两个根 ---------------2分
所以10
4311a a -<⎧⎪-⎨-+=-⎪-⎩
-----------------------4分【注：一个表达式1分】
解得3a = -----------------------------------------------------------6分 （经检验，3a =满足题意要求。

）
解法2：因为不等式2
(1)460a x x --+>的解集是{}
31x x -<<，
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则3-和1是方程2
(1)460a x x --+=的两个根 ---------------2分 所以2
10(1)1416=0a a -<⎧
⎨
-⨯-⨯+⎩
-----------------------4分【注：一个表达式1分】 解得3a = -----------------------------------------------------------6分 （经检验，3a =满足题意要求。

）
（2）由（1）及题意可知不等式2330x mx ++≥的解集为R ， ---------------7分
因此，只需24330m ∆=-⨯⨯≤，---------------------------------------------9分 所以
()()660m m -+≤ -------------------------------------------------------10分
解得[]66m ∈-，
. -----------------------------------12分【注：若区间开闭错误，扣1分】 20. （本小题满分12分）
【解析】（1）【解法1】根据已知的图象，可得1A = ------------------------------------------------1分
124312
πππω⋅=-，所以2ω=，----------------------------------------------------------2分 ()sin(2)f x x ϕ=+，112f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
可得212
2
π
πϕ⨯
+=
，且2
πϕ≤，3
π
ϕ∴=， ------------------------------------3分
所以所求解析式为()sin(2)
3
f x x π=+
，-------------------------------------------------4分 【解法2】根据已知的图象，可得1A = ---------------------------------------------------------------1分
因为图象过点,1,0123ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， ，则sin =112sin =0
3
πωϕπωϕ⎧⎛⎫+ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩， 得=2122=23
m n π
πωϕππωϕππ⎧++⎪⎪⎨⎪++⎪⎩①②（其中,m n 为整数） 消去ω得2(4)+33m n ππϕ-=
且2
πϕ≤，取==0m n ，所以3
πϕ=--------------2分
则
1232
π
π
πω+
=
，所以
2ω=，------------------------------------------------------------3分
所以所求解析式为()sin(2)
3
f x x π=+
，-------------------------------------------------4分 公
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【注：若过程中解三角方程组得=12
2=3
ππωϕπωϕπ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，无体现周期性，则扣1分】 （2）【解法1】令3222232
k x k ππ
πππ+
+
+
，得
71212k x k ππππ++，k Z ∈，
故()f x 的单调递减区间为7[,]1212
k k ππππ++，
k Z ∈．------------------------------------5分
7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦[,2]ππ=1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
----------------------------------------------------6分
故
()f x 在区间1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减。

-----------------------------------------------------7分
令2222
3
2
k x k π
π
πππ-+
+
，求得
51212
k x k ππ
ππ-
+，k Z ∈，-----------------8分 故
()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈．------------------------------------9分
又 5,12
12k k ππππ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
[,2]ππ=13,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，------------------------------10分
故函数
()f x 在区间13,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增， --------------------------------12分
【注：单调增区间写成13,
12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦19,212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的形式，扣1分。

】 【解法2】2x ππ≤≤，所以
71323
3
3
x πππ+
---------------------------------------------------------5分
结合图象可知：当
752332x πππ+
或7132233
x π
ππ+时，()f x 单调递增---------6分 解得1312
x ππ≤≤或19212x ππ≤≤，-----------------------------------------------------------------7分
故函数
()f x 在区间13,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增， ----------------------------------9分
【注：单调增区间写成13,12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
19,212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的形式，扣1分。

】 当
572232x πππ+
时，
()f x 单调递减----------------------------------------------------------10分 解得13191212
x ππ≤≤
，----------------------------------------------------------------------------------11分
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故
()f x 在区间1319,1212ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
上单调递减。

----------------------------------------------------12分
21．
（本小题满分12分） 【解析】（1）依题
()f x 的图象关于原点对称，则(0)0f =， ----------------------------------------1分
00220a ⋅-=，所以1a =；------------------------------------------------------------------2分
所以3
()22
2x
x
g x -=-+ 令3()2202
x x
g x -=-+=，------------------------------------------------------------------3分
则()
()2
22
3220x x ⋅+⋅-=化简得()()222210x x +⋅⋅-=，又20x >，
故2210x ⋅-=，解得1x =-，--------------------------------------------------------------4分 所以3
()()2
g x f x =+的零点为－1 ----------------5分【注：若零点写成()1
0-，的形式，本得分点不得分】
（2）()2242x x x x h x a --=⋅-++42x x a =+⋅，[0,1]x ∈，----------------------------------------6分
令2[1,2]x t =∈，2()(),[1,2]h x H t t at t ==+∈， ------------------------------------------7分 该二次函数对称轴为02
a t =- ， ①当3
22
a -
≤，即3a ≥-时， ------------------------------------------------------------------8分 max ()(2)422H t H a ==+=-，所以3a =-； ----------------------------------------9分
②当3
22
a -
>，即3a <-时， ------------------------------------------------------------------10分 max ()(1)12H t H a ==+=-，则3a =-（舍）； ----------------------------------------11分
综上可知实数a 的值为3- -------------------------------------------------------------------------12分 22、
（本小题满分12分） 【解析】（1）①
()01f =表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；----------------------------1分
()213f =表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的1
3
. --------------2分
②函数2
2()2f x x =
+应该满足的条件或具有的性质可以是：
定义域为
[)0,+∞，值域为(]0,1，最大值为1，在区间[)0,+∞内单调递减，等------4分
【注】1、上述条件或性质任写一个得1分。

写出其它正确的性质也可得分。

2、注意函数不具有奇偶性和周期性，无最小值，无零点。

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（2）设清洗前衣服上的污渍为1，
用(0)a a >单位的水，清洗一次后残留的污渍为1W ，
则()12
212W f a a =⨯=+； --------------------------------------------------------------------------5分 把水平均分成2份后，用2
a 单位的水清洗1次，
则残留的污渍为2
8128a f a
⎛⎫⨯=
⎪+⎝⎭，---------------------------------------------------------------------6分 然后再用
2a 单位的水清洗1次，则残留的污渍为()
2222864828a W f a a ⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭+，-------7分
因为()12222264
28W W a a -=
-++ ----------------------------------------------------------------8分 ()
()()
222
2
221628a a a a -=
++， ----------------------------------------------------------------9分
所以当4a =时，12W W =，即两种清洗方法效果相同； -----------------------------------------10分
当04a <<时，12W W <，即用a 单位的水清洗一次后残留的污渍较少. -----------------11分 当4a >时，12W W >，即把a 单位的水平均分成2份后清洗两次，残留的污渍较少 ----12分。