2020年北京市海淀区初三上册数学期末试题有答案

北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研
数
学
本试卷共8页，共三道大题，
28道小题，满分
100分。

考试时间
120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1．抛物线
2
1
2y x 的对称轴是
A ．
1
x B ．
1
x C ．
2
x D ．
2
x 2．在△ABC 中，∠C90°．若AB 3，BC1，则sin A 的值为
A ．
13
B ．22
C ．
223
D ．3
3．如图，线段
BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB4，AD 2，DE 1.5，
则BC 的长为A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
4．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B 的大小为
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
5．如图，△OAB ∽△OCD ，OAOC 32，∠A α，∠C β，△OAB 与△OCD 的面积分别是
1S 和2S ，△OAB 与
△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是A ．
32OB CD
B ．
32
C ．
12
32
S S D ．
12
32
C C 6．如图，在平面直角坐标系
Oy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点
A 不．经过
A ．点M
B ．点N
C ．点P
D ．点Q
E
B C D
A
D
E
C
B
A
x
y
–１–２–３–４–５–６1
234
5
6
–１
–２–３
–４–５
1
2345P
Q
N
M
A
O D
O
A B
C
7．如图，反比例函数
k y
x
的图象经过点A （4，1），当1y 时，的取值
范围是A ．0x 或4
x B ．04
x C ．4x D ．4x
8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点
A 出发沿线段A
B 运动到点B ，小兰从点
C 出发，以相同的速度沿⊙
O 逆时针运动一周回到点
C ，两人的运
动路线如图1所示，其中ACDB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点
C 的距离y 与时间（单位：秒）的对应关系如
图2所示．则下列说法正确的是
y
x
9.68
7.49
1.09
O C
O
D
A B
17.12
图1
图2
A ．小红的运动路程比小兰的长
B ．两人分别在
1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C ．当小红运动到点
D 的时候，小兰已经经过了点
D
D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙
O 的半径
二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．方程2
20x
x 的根为．
10．已知∠A 为锐角，且tan 3A
，那么∠A 的大小是
°．
11．若一个反比例函数图象的每一支上，
y 随的增大而减小，则此反比例函数表
达式可以是．（写出一个即可）
12．如图，抛物线2
y ax
bx c 的对称轴为1x
，点P ，点Q 是抛物线与
轴的两个交点，若点
P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为
．
x
y
P
x=1
O
x
y
4
1A
O
C
D
A O
B
13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．
14．如图，AB 是⊙O 的直径，P A ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P60°，
P A
3，则AB 的长为
．
15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全
距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小
张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾
m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线
0.8m ，
红灯下沿高于小张的水平视线
3.2m ，若小张能看到整个红灯，则的最小值为
．
绿
黄红
停止线
交通信号灯
0.8m
x m
3.2m
10m
20m
16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点A ．
求作：∠A ，使得∠A30°．作法：如图，
（1）作射线AB ；
（2）在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，
与射线
AB 相交于点C ；
（3）以C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙
O 交于点D ，作射线AD ．
∠DAB 即为所求的角．
请回答：该尺规作图的依据是
．
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题
6分；第27~28小题，每
小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：2sin 30°2cos 45°
8．
18．已知
1x 是关于的方程2
2
20x
mx m
的一个根，求(2)1m m 的值．
O
C
B
A P
D
C B
O
A
19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角，AB 32，AC5，sin 35
C
，求BC 的长．
C
B A
20．码头工人每天往一艘轮船上装载
30吨货物，装载完毕恰好用了
8天时间．轮船到达目的地后开始卸
货，记平均卸货速度为
v （单位：吨/天），卸货天数为
t ．
（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围）
（2）如果船上的货物
5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？
21．如图，在△ABC 中，∠B90°，AB4，BC2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，
使CD5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．
22．古代阿拉伯数学家泰比特
·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC 为锐角，图2
中
BAC 为直角，图3中
BAC 为钝角）．
A
B B' C' C
A
B B'(C')
C B C' B' C
A
在△ABC 的边BC 上取B ，C 两点，使
AB B
AC C
BAC ，则ABC △∽B BA △∽C AC △，
AB B B
AB
，
AC C C
AC
，进而可得2
2
AB
AC
；（用BB CC BC ，，表示）
若AB=4，AC=3，BC=6，则B C
．
图1
图2 图3
E
B C D
A
23．如图，函数
k y
x
（
0x ）与y
ax b 的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）
．（1）求，a ，b 的值；（2）直线x
m 与k y
x
（
0x ）的图象交于点P ，与1y
x 的图象交于点Q ，当
90PAQ
时，
直接写出m 的取值范围．
24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的
延长线上取一点
F ，使得EFDE ．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）连接AF 交DE 于点M ，若AD 4，DE 5，求DM 的长．
D
B E
C F
O
A
25．如图，在△ABC 中，
90ABC
，
40C
°，点D 是线段BC 上的动点，将线段
AD 绕点A 顺时针
旋转50°至AD ，连接BD ．已知AB2cm ，设BD 为cm ，B D 为y cm ．
小明根据学习函数的经验，对函数
y 随自变量的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，
请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了与
y 的几组值，如下表：
y
x
B
A
O
D'
B D C
A
/cm x 00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3/cm
y 1.7
1.3
1.1
0.7
0.9
1.1
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
x
y
O
123
1
2
（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD 的长度的最小值约为__________；
若BD
BD ，则BD 的长度的取值范围是
_____________．
26．已知二次函数
2
43y ax
ax a ．
（1）该二次函数图象的对称轴是；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1
4x
时，y 的最大值是2，求当1
4x
时，y 的最小值；
（3）若对于该抛物线上的两点
11() P x y ，，22() Q x y ，，当1+1t x t ，25x 时，均满足12y y ，请
结合图象，直接写出
t 的最大值．
27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点
P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q
（点Q 可以与点P 重合），且1
2PA QA
，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．
已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．
（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；
（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2
BAO
，求点B 的纵坐标t 的取值范围；
（3）直线
3y x b 与轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，
直接写出b 的取值范围是_____________________________．
x
y
A
–１–２–３1
2
3
4
5
–１
–２–３–４–５–６
1
2345O x
y
A
–１–２–３12345
–１
–２–３–４–５–６
1
2345O
28．在△ABC 中，∠A90°，ABAC ．
（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“2QB
QA ”是否正确：________（填“是”
或“否”）；
（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接
PA ，PB ，且PB 2PA ．
①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP30°，求∠PAB 的大小；
②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC α，∠BPC β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明
你的结论．
P
P
E
D
Q
B C
A
B C
A
B C
A
图1 图2 图3
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1 2 3 4 5 6 7 8 B
A
C
B
D
C
A
D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．0或210．60 11．1y x
（答案不唯一）12．（2，0）
13．6
14．2
15．10
16．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是
60°，一条弧所对的圆周角是它
所对圆心角的一半；
或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，
1sin 2
A
，
A 为锐角，30A .
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题
6分；第27~28小题，
每小题7分）
17．解：原式= 1222
222
2
………………3分
= 1222= 1
2
………………5分
18．解：∵
1x 是关于的方程2
2
20x
mx
m
的一个根，
∴2
1
20m
m .
∴2
21m m
. ………………3分
∴2
(2)211m m
m m .
………………5分
19．解：作AD ⊥BC 于点D ，
∴∠ADB=∠ADC =90°. ∵AC=5，3sin 5
C
，
C
D
B
A
∴sin 3AD AC C .
………………2分
∴在Rt △ACD 中，2
2
4CD AC
AD
.
………………3分
∵AB32，
∴在Rt △ABD 中，2
2
3BD AB
AD
. ………………4分∴7BC
BD CD .
………………5分
20．解：
（1）
240t
. ………………3分
（2）由题意，当5t 时，24048v
t
.
………………5分
答：平均每天要卸载
48吨.
21．证明：∵
∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴2
2
25AC AB
BC
.
∵CE=AC ，∴25CE
.
∵CD=5，∴
AB AC CE
CD
. ………………3分
∵∠B=90°，∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°. ∴∠BAC=∠DCE. ∴△ABC ∽△CED.
………………5分22．BC ，BC ，BC BB
CC
………………3分116
………………5分
23．解：
（1）∵函数k y
x
（0x ）的图象经过点B （-2，1）
，∴
12
k ，得2k . ………………1分
∵函数k y
x
（0x
）的图象还经过点
A （-1，n ），
∴221
n
，点A 的坐标为（-1，2）.
………………2分
E
B C D
A
∵函数y ax b 的图象经过点A 和点B ，∴2,
2 1.a b a b 解得
1,3.
a b
………………4分（2）
20m 且1m
.
………………6分
24．（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD. ∵DE ∥AB ，∴∠ABD=∠BDE. ∴∠CBD=∠BDE. ………………1分
∵ED=EF ，∴∠EDF =∠EFD.
∵∠EDF +∠EFD +∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF =∠BDE+∠EDF =90°. ∴OD ⊥DF. ………………2分
∵OD 是半径，∴DF 是⊙O 的切线.
………………3分
（2）解：连接DC ，
∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°. ∵∠ABD=∠CBD ，BD=BD ，
∴△ABD ≌△CBD. ∴CD=AD=4，AB=BC.∵DE=5，∴2
2
3CE
DE
DC
，EF=DE=5.
∵∠CBD=∠BDE ，∴BE=DE=5. ∴10BF BE EF ，8BC BE EC .
∴AB=8. ………………5分
∵DE ∥AB ，∴△ABF ∽△MEF. ∴
AB BF ME
EF
.
∴ME=4. ∴1DM
DE EM .
………………6分
M
A
O B
F
D
E
C
25．（1）0.9.
………………1分（2）如右图所示. ………………3分（3）0.7，
………………4分
00.9
x . ………………6分
26．解：
（1）2．
………………1分
（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线
2x ，
∴当2x
时，y 取到在14x 上的最大值为 2.
∴4832a a a
.
∴2a ，2
286y x
x . ………………3分
∵当12x
时，y 随的增大而增大，
∴当1x 时，y 取到在12x 上的最小值0.
∵当24x
时，y 随的增大而减小，
∴当4x 时，y 取到在24x
上的最小值6.
∴当14x
时，y 的最小值为
6.
………………4分（3）4.
………………6分
27．解：
（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分
（2）如图，在轴上方作射线
AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan
2
OAM
，并在AM 上取点N ，使
AM=MN ，并由对称性，将MN 关于轴对称，得M N ，则由题意，线段
MN 和M N 上的点是
满足条件的点 B.
作MH ⊥轴于H ，连接MC ，
∴∠MHA =90°，即∠OAM+∠AMH =90°. ∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴∠OAM =∠HMC. ∴1tan
tan 2
HMC OAM
. ∴
12
MH HC HA
MH
.
y
x
1
2
123
O
y
x
C
H N'
M'
N
M
A
O
设MH y ，则2AH y ，12
CH
y ，
∴522
AC AH CH
y ，解得45
y
，即点M 的纵坐标为45
.
又由2AN AM ，A 为（-1，0）
，可得点N 的纵坐标为85
，
故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：
485
5
t
. ……………3分
由对称性，在线段
M N 上，点B 的纵坐标t 满足：
8455
t .……………4分
∴点B 的纵坐标t 的取值范围是845
5
t
或
485
5
t
.
（3）
431b 或143b .
………………7分
28．解：
（1）否.
………………1分
（2）①作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA=90°，
∵∠ABP=30°，
∴12
PD BP .
………………2分
∵2PB PA ，
∴22PD
PA . ∴2sin
2
PD PAB
PA
.
由∠P AB 是锐角，得∠P AB=45°.
………………3分
另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',',B P P A P P ，则
',',','P B A
P B A P A B
P A B
B P
B P
A P
A P
. ∵∠ABP=30°，∴
'60P BP .
∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP . ∵2PB PA ，
∴
'2P P PA .
………………2分
D
P
A
B
C
P'
B
C
A
P
∴2
2
2
''P P PA
P A .
∴'90PAP . ∴45PAB
.
………………3分②
45，证明如下：
………………4分
作AD ⊥AP ，并取AD=AP ，连接DC ，DP. ∴∠DAP=90°. ∵∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP, 即∠BAP=∠CAD. ∵AB=AC ，AD=AP ，
∴△BAP ≌△CAD. ∴∠1=∠2，PB=CD. ………………5分
∵∠DAP=90°，AD=AP ，∴2PD PA ，∠ADP =∠APD=45°
. ∵2PB
PA ，
∴PD=PB=CD. ∴∠DCP=∠DPC. ∵∠APC α，∠BPC β，∴45DPC ，12
.
∴3180
2902DPC
.
∴1
3
90
45ADP
.
∴
45.
………………7分
3
2
1
E
D
A
C
B
P。