2019年中考数与圆的有关计算专题复习及答案

一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，
则图中阴影部分的面积为
（A ）π4125+ （B ）π
4123-
（C ）π2125- （D ）π
4125-
答案D
2．如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是 A ．π B ．3π
2
C ．2π
D ．3π 答案D
3、）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为 (A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π
答案：B
4． -在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为
A. ︒10
B. ︒60
C. ︒90
D. ︒120 答案：B
5. A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是
1
π3
，则∠AOB 的度数是 A ．30 B ． 60° C ．90° D ．120° 答案：B
6.已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（ ） A ．
6π B ．π C ．3
π
D ． 32π
答案：D
7.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.
A. 48π B .24π C .4π D .2π 答案：B
8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交 AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差S 1-S 2 为
B
（A ）41312π
-
（B ）4
912π
-
（C ）4
136π
+ （D ）6 答案:A
二、填空题 9. 如图，
AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，6OA =，30B ∠=︒，则图
中阴影部分的面积为 ． 答案：6π
10.如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AB 的长为 ．
答案：π
11．圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是 cm 2
．
答案：36 π .
12.如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形．若开口∠1=60°，半径为 6 ，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．
答案：5π
13.半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 .
F
C
B
A
答案：
2π3
14.若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．
答案：6
15.在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.
草皮种植面积为 米2.
答案：
16.扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为___________________. 答案：60︒
17.圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是 cm （结果不取近似值）．
答案：4π
18.如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 弧AB 的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．
答案：
2
π
19.如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影
部分的面积等于 ． 答案：
43
π
三、解答题
20. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF
的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果半径的长为3，tan D=3
4
，求AE 的长.
答案：（1）证明：连接OC ，
∵点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．
∴BAC FAC ∠=∠．…………… 1分
∵OA OC =， ∴OCA OAC ∠=∠．
∴OCA FAC ∠=∠．……………………2分
∵AE ⊥DE ，
∴90CAE ACE ︒
∠+∠=．
∴90OCA ACE ︒∠+∠=． ∴OC ⊥DE ．
∴DE 是⊙O 的切线． …………………… 3分 （2）解：∵tan D=
OC CD =3
4
，OC =3， ∴CD =4．…………………………… 4分 ∴OD
．
∴AD= OD+ AO=8．…………………………… 5分
∵sin D=
OC OD =AE AD =3
5， ∴AE=24
5
．……………………………6分
21.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中
直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ， ∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．
答案：20． 901000
500180180
n r l πππ⨯=
==…………………………….…….……….3分 中心虚线的长度为
30005002
300010ππ+⨯=+…………………4分
=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分
22．如图，在△ABC 中,AB=AC ,AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 的直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线 （2）当BE =3，cosC=5
2
时，求⊙O 的半径．
解： (1)连结OM. ∵BM 平分∠ABC
∴∠1 = ∠2 又OM=OB ∴∠2 = ∠3
∴ OM ∥ BC …………………………………2′ AE 是BC 边上的高线
∴AE ⊥BC,
∴AM ⊥OM
∴AM 是⊙O 的切
线…………………………………3′
（2）∵AB=AC
∴∠ABC = ∠C AE ⊥BC, ∴E 是BC 中点 ∴EC=BE=3
∵cosC=
52=AC EC ∴AC=25EC= 2
15
…………………………………4′
∵OM ∥ BC ，∠AOM =∠ABE ∴△AOM ∽△ABE ∴
AB
AO
BE OM = 又∠ABC = ∠C ∴∠AOM =∠C 在Rt △AOM 中cos ∠AOM = cosC=52
5
2
=AO OM ∴AO=
OM 25
AB=OM 25+OB=OM 2
7
而AB= AC= 2
15
∴OM 27=215
OM=7
15
∴⊙O 的半径是7
15
…………………………………6′
23.
答案
24．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是AD的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE 并延长交BF于点C．
（1）求证：AB BC
=；
（2）如果AB=5，
1
tan
2
FAC
∠=，求FC的长．
证明：（1）连接BE．
A
∵AB 是直径， ∴∠AEB =90°．
∴∠CBE +∠ECB =90°∠EBA +∠EAB =90°． ∵点E 是AD 的中点， ∴∠CBE =∠EBA ．
∴∠ECB =∠EAB ． ……1分 ∴AB =BC ． ……2分 （2）∵FA 作⊙O 的切线， ∴FA ⊥AB ． ∴∠FAC +∠EAB =90°． ∵∠EBA +∠EAB =90°， ∴∠FAC =∠EBA ．
∵1
tan 2
FAC ∠=
AB =5，
∴AE
BE =． ……4分
过C 点作CH ⊥AF 于点H ， ∵AB =BC ∠AEB =90°， ∴AC =2AE=25． ∵1tan 2
FAC ∠=
， ∴CH =2． ……5分 ∵CH ∥AB AB =BC=5， ∴
255FC
FC =
+． ∴FC=3
10．…6分
25．如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ． （1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）． （2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及
CB
CD
的值． H
A
A
B C
解：（1）如图4，作BE ⊥OC 于点E ．
∵ 在⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=15︒，
∴ =230BOC BAC ∠∠=︒．
在Rt △BOE 中，∠OEB=90︒，∠BOE=30︒，OB=r ，
∴ 22
OB r
BE =
=． ∴ 点B 到半径OC 的距离为
2
r
．……………………………………………2分 （2）如图4，连接OA ．
由BE ⊥OC ，DH ⊥OC ，可得BE ∥DH ． ∵ AD 与⊙ O 相切，切点为A ，
∴ AD ⊥OA ．………………………………3分 ∴ 90OAD ∠=︒． ∵ DH ⊥OC 于点H ， ∴ 90OHD ∠=︒．
∵ 在△OBC 中，OB=OC ，∠BOC=30︒，
∴ 180752
BOC
OCB ︒-∠∠=
=︒．
∵ ∠ACB=30︒，
∴ 45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=︒． ∵ OA=OC ，
∴ 45OAC OCA ∠=∠=︒．
∴ 180290AOC OCA ∠=︒-∠=︒．
∴ 四边形AOHD 为矩形，∠ADH=90︒．…………………………………… 4分 ∴ DH =AO=r ．
∵ 2r BE =
， ∴ 2
D B
E H
=．
∵ BE ∥DH ，
∴ △CBE ∽△CDH ． ∴
1
2
CB BE D DH C ==．
(5)
分
图4
26．如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ． （1）求证：∠AEB =2∠C ； （2）若AB =6，3
cos 5
B =
，求DE 的长．
（1）证明：∵AC 是⊙O 的切线， ∴∠BAC =90°．..................................................................... 1 ∵点E 是BC 边的中点， ∴AE=EC ． ∴∠C =∠EAC ， ...................................................................... 2 ∵∠AEB =∠C +∠EAC ， ∴∠AEB =2∠C ． .. (3)
（2）解：连结AD ．
∵AB 为直径作⊙O ， ∴∠ABD =90°． ∵AB = 6，3cos 5
B =
， ∴BD =18
5
． (4)
在Rt △ABC 中，AB =6，3
cos 5
B =，
∴BC =10．
∵点E 是BC 边的中点， ∴BE =5． ····························· 5 ∴7
5
DE =
． ························ 6 27．如图，等腰△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =AC ，过点A
作BC 的平行线AD 交BO 的延长线于点D ． （1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为15，sin ∠D ＝3
5
，求AB 的长．
（1）证明：连接AO ，并延长交⊙O 于点E ，交BC 于点F ．
∵AB =AC ，
∴=
AB AC．
∴AE⊥BC．
∵AD∥BC，
∴AE⊥AD．
∴AD是⊙O的切线．……………2分（2）解法1：∵AD∥BC，∴∠D=∠1．
∵sin∠D=3
5
，∴sin∠1=
3
5
．
∵AE⊥BC，
∴OF
OB
=
3
5
．
∵⊙O的半径OB=15，∴OF=9，BF=12．
∴AF=24．
∴AB
=5分
3
解法2：过B作BH⊥DA交DA延长线于H．
∵AE⊥AD，sin∠D=3
5
，
∴OA
OD
=
3
5
．
∵⊙O的半径OA=15，∴OD=25，AD=20．
∴BD=40．
∴BH=24，DH=32．
∴AH=12．
∴AB
=5分
28.如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交⊙O于点
C，连接BC，过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F．
（1）求证：
1
2
CBE F
∠=∠；
（2）若⊙O
的半径是D是OC中点，15
CBE
∠=°，求线段EF的长．
（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，
∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径， ∴OE ⊥EF . ∴190F ∠+∠=°. ∵FD ⊥OC ， ∴3290∠+∠=︒. ∵12∠=∠，
∴3F ∠=∠. ………………1分 ∵132CBE ∠=∠，
∴12
CBE F ∠=
∠. ………………2分
（2）解：∵15CBE ∠=°，
∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.
∵⊙O
的半径是D 是OC 中点，
∴OD = 在Rt ODH ∆中，cos 3OD
OH
∠=
， ∴2OH =. ………………3分
∴2HE =. 在Rt FEH ∆中，tan EH F EF
∠=
. ………………4分
∴6EF ==- ………………5分
29．
如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）连接BD ，若BD =m ，tan ∠CBD =n ，写出求直径AB 的思路．
解（1）证明：∵AB =BC ，∠A =45°，
∴∠ACB =∠A =45°．
∴∠ABC =90°． …………………………………………………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径，
∴BC 是⊙O 的切线． …………………………………………………2分 （2）求解思路如下：
①连接AD ，由AB 为直径可知，∠ADB =90°，进而可知∠BAD =∠CBD ；……3分
②由BD =m ，tan ∠CBD =n ，在Rt △ABD 中，可求AD =
m
n
；………………………4分 ③在Rt △ABD 中，由勾股定理可求AB 的长． ……………………………………5分 30.如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的 切线于点E ．
（1）求证：AE ⊥CE ． （2）若AE =
，sin ∠ADE =
3
1
，求⊙O 半径的长．
（1）证明：连接OA ，
∵OA 是⊙O 的切线，
∴∠OAE ＝90º. ………………………………1分 ∵ C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点， ∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD ∥OA ． ∴∠E ＝90º.
∴AE ⊥CE . …………………………………2分
（2）解：连接OD ，
∴∠ODB ＝90º. ………………………………………………3分
∵AE =
，sin ∠ADE =
3
1， 在Rt △AED 中，23sin =∠=ADE
AE
AD .
∵CD ∥OA ， ∴∠1＝∠ADE .
在Rt △OAD 中，3
1
1sin ==∠OA OD .………………………4分 设OD ＝x ，则OA ＝3x ， ∵2
22OA AD OD =+，
∴()
()2
2
2
32
3x x =+.
解得 231=
x ，2
3
2-=x （舍）.
∴2
9
3=
=x OA . ………………………………………5分 即⊙O 的半径长为2
9
.
31.如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、
交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ． （1）求证：∠D =2∠A ；
（2）若HB =2，cos D =3
5
，请求出AC 的长．
（1）证明：连接OC ，
∵射线DC 切⊙O 于点C ， ∴∠OCP =90° ∵DE ⊥AP ，∴∠DEP =90°
∴∠P +∠D =90°，∠P +∠COB =90°
∴∠COB =∠D …………………1分 ∵OA =OC , ∴∠A =∠OCA
∵∠COB=∠A +∠OCA ∴∠COB =2∠A
∴∠D =2∠A …………………2分 （2）解：由（1）可知：∠OCP =90°，∠COP =∠D ，
∴cos ∠COP =cos ∠D =35
， …………………3分 ∵CH ⊥OP ，∴∠CHO =90°， 设⊙O 的半径为r ，则OH =r ﹣2． 在Rt △CHO 中，cos ∠HOC =
OH OC =2r r -=3
5
， ∴r =5， …………………4分 ∴OH =5﹣2=3，
∴由勾股定理可知：CH =4，∴AH =AB ﹣HB =10﹣2=8．
在Rt △AHC 中，∠CHA =90°，∴由勾股定理可知：AC =…………………5分
32． 如图，AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，且点
C 是B
D 的中点.过点C 作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点
E . （1）求证：E
F 是O 的切线；
（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.
（1）证明：连接OC . ∵CD CB = ∴∠1=∠3. ∵OA OC =， ∴∠1=∠2. ∴∠3=∠2. ∴AE OC ∥. ∵AE EF ⊥， ∴OC EF ⊥.
∵ OC 是O 的半径，
∴EF 是O 的切线. ----------------------2分 （2）∵AB 为O 的直径， ∴∠ACB =90°.
根据勾股定理，由AB =5,BC =3,可求得AC =4. ∵AE EF ⊥ ， ∴∠AEC =90°. ∴△AEC ∽△ACB . ∴
AE AC
AC AB =. ∴
4
45
AE =. ∴16
5
AE =
. ----------------------5分 33.如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA=BC ，连结BO 并延长线交⊙O 于点D ，
A
过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠DBE. (1)求证：BE=CE ；
(2)若⊙O 的直径长8，sin ∠BCE=4
5
，求BE 的长. 23.
解：(1)∵BA=BC ，AO=CO, ∴BD ⊥AC.
∵CE 是⊙O 的切线, ∴CE ⊥AC.
∴CE ∥BD. ……………………………………1分 ∴∠ECB=∠CBD. ∵BC 平分∠DBE, ∴∠CBE=∠CBD. ∴∠ECB=∠CBE.
∴BE=CE. …………………………………………2分 (2)解：作EF ⊥BC 于F. …………………………3分 ∵⊙O 的直径长8， ∴CO=4.
∴sin ∠CBD= sin ∠BCE= 45=OC BC
. …………………………………………………………4分 ∴BC=5，OB=3. ∵BE=CE, ∴BF=
1522
BC =. ∵∠BOC=∠BFE =90°，∠CBO=∠EBF, ∴△CBO ∽△EBF.
∴
BE BF BC OB =. ∴BE=256
. ……………………………………………………………………………………5分
34．如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG .
（1）求证：AB ⊥CD ；
（2）若sin ∠HGF ＝4
3
，BF ＝3，求⊙O 的半径长.
E
解：（1）连接OF . ∵OF =OB ∴∠OFB =∠B ∵HF 是⊙O 的切线
∴∠OFH =90°…………………………………………………………………1分 ∴∠HFB +∠OFB =90° ∴∠B +∠HFB =90° ∵HF =HG ∴∠HFG =∠HGF 又∵∠HGF =∠BGE ∴∠BGE =∠HFG ∴∠BGE +∠B =90° ∴∠GEB =90°
∴AB ⊥CD ………………………………………………………………………2分 （2）连接AF ∵AB 为⊙O 直径
∴∠AFB =90°…………………………………………………………………3分 ∴∠A +∠B =90° ∴∠A =∠BGE 又∵∠BGE =∠HGF
∴∠A =∠HGF …………………………………………………………………4分
∵sin ∠HGF =3
4
∴sin A =3
4
∵∠AFB =90°，BF =3 ∴ AB =4
∴ OA =OB =2…………………………………………………………………5分 即⊙O 的半径为2
35．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC
于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ． （1）求证：EF =ED ；
（2）如果半径为5，cos ∠ABC =3
5
，求DF 的长．
（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.
∵DE ∥AB ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3. ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠BDF ＝90°. ∴∠1+∠F ＝90°，∠3+∠EDF ＝90°. ∴∠F ＝∠EDF .∴
EF =DE . …….…….……………2分
（2）解：连接CD .
∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°. ∵DE ∥AB ，∴∠DEF ＝∠ABC .
∵cos ∠ABC =
35，∴在Rt △ECD 中，cos ∠DEC =CE DE =35
. 设CE =3x ，则DE =5x .
由（1）可知，BE = EF =5x .∴BF =10x ，CF =2x .
在Rt △CFD 中，由勾股定理得DF =． ∵半径为5，∴BD =10. ∵BF ×DC = FD ×BD ，
∴1041025x x
x =，解得
x =
∴DF ==5. …….…….……………5分 （其他证法或解法相应给分.）
36．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作
⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G .
（1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.
（1）证明：如图6，连接OC ，AC .
∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点
E ，
∴ CE=DE ，AD=AC .
∵ DC=AD ，
∴ DC=AD= AC .
∴ △ACD 为等边三角形．
∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒． ∴ ．
∵ FG ∥DA ，
∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ ．
图
6
∴ ．
∴ FG ⊥OC ．
∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分
（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．
设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，
∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．
∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．
由（1）得∠DCG= 60︒
，sin 60EH CE =⋅︒=，1
cos602
CH CE a =⋅︒=． ∴ 5
2
FH CH CF a =+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，
∴
2tan 52
EH EFC FH a ∠=== …………………………………… 5分。