第四章 曲线运动万有引力与航天 章末质量检测

虾对市爱抚阳光实验学校第四章 曲线运动万有引力与
(时间60分钟，总分值100分)
一、选择题(此题共9小题，每题5分，共45分)
1．(2021·高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．太阳质量约为月球质量的×107
倍，地球绕太
阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和
月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的选项是
( )
A ．太阳引力远大于月球引力
B ．太阳引力与月球引力相差不大
C ．月球对不同区域海水的吸引力大小相
D ．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
解析：设太阳质量为M ，月球质量为m ，海水质量为m ′，太阳与地球之间
距离为r 1，月球与地球之间距离为r 2，由题意M m ＝×107
，r 1r 2＝400，由万有
引力公式，太阳对海水的引力F 1＝GMm ′r 12，月球对海水的引力F 2＝Gmm ′
r 2
2，
那么F 1F 2＝Mr 22mr 12＝×107
4002＝
270016
，故A 正确，B 错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C 错误，D 正确． 答案：AD
2．质量m ＝4 kg 的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O 处，先
用沿x 轴正方向的力F 1＝8 N 作用了2 s ，然后撤去F 1；再用沿y 轴正方
向的力F 2＝24 N 作用了1 s ．那么质点在这3 s 内的轨迹为图1中的
( )
图1
解析：质点在前2 s 内做匀加速直线运动，2 s 末的速度为v ＝4 m/s ；2 s ～
3 s 做类平抛运动，加速度大小为6 m/s 2
，这1 s 内沿x 轴方向的位移是
4 m ，沿y 轴方向的位移是3 m ，故D 正确．
答案：D
3．(2021·模拟)如图2所示，小球P 在A 点从静
止开
始沿光滑的斜面AB 运动到B 点所用的时间为t 1，在A 点以一的
初速度水平向右抛出，恰好落在B 点所用时间为t 2，在A 点以较大
图2
的初速度水平向右抛出，落在水平面BC 上所用时间为t 3，那么t 1、t 2和
t 3的大小关系正
确的是 ( ) A ．t 1＞t 2＝t 3 B ．t 1＜t 2＝t 3 C ．t 1＞t 2＞t 3 D ．t 1
＜t 2＜t 3
解析：设斜面倾角为θ，A 点到BC 面的高度为h ，那么h
sin θ＝12g sin θ·t 12
；
以一的初速度平抛落到B 点时，h ＝12gt 22
；以较大的初速度平抛落到BC 面
上时，h ＝12gt 32
，可得出：t 1＝
2h
g sin 2θ
＞
2h
g
＝t 2＝t 3，故A 正确．
答案：A
4．(2021·模拟)如图3所示，倾斜轨道AC 与有缺口的圆轨
道BCD
相切于C ，圆轨道半径为R ，两轨道在同一竖直平面内，D 是圆轨
道的最高点，缺口DB 所对的圆心角为90°，把一个小球从斜轨道
上某处由静止释放，它下滑到C 点后便进入圆轨道，要想使它上升
到D 点后再落到B 点，不计摩擦，那么以下说法正确的选项是 ( )
图3
A ．释放点须与D 点高
B ．释放点须比D 点高R /4
C ．释放点须比
D 点高R /2
D ．使小球经D 点后再落到B 点是不可能的
解析：设小球刚好过D 点的速度为v D ，由mg ＝m v D 2
R
得v D ＝gR ，当落到与B
点高的水平面上时，平抛的水平位移x ＝v 0t ，又t ＝
2R
g ，所以x ＝v D
2R
g
＝2R ＞R ，故经过D 点后小球不可能落到B 点，只有D 正确． 答案：D
5．如图4所示，物体A 、B 随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B
在水平
方向所受的作用力有 ( )
A ．圆盘对
B 及A 对B 的摩擦力，两力都指向圆心
B ．圆盘对B 的摩擦力指向圆心，A 对B 的摩擦力背离圆心
图4
C ．圆盘对B 及A 对B 的摩擦力和向心力
D ．圆盘对B 的摩擦力和向心力
解析：A 随B 做匀速圆周运动，它所需的向心力由B 对A 的静摩擦力来提供，因此B 对A 的摩擦力指向圆心；A 对B 的摩擦力背离圆心，只有圆盘
对B 的摩擦力指向圆心，才能使B 受到指向圆心的合力，所以正确选项为
B.
答案：B
6．一位同学为了测算卫星在月球外表附近做匀速圆周运动的环绕速度，提出了如下方案：在月球外表以初速度v0竖直上抛一个物体，测出物体上升的最大高度h，月球的半径为R，便可测算出绕月卫星的环绕速度．按这位同学的方案，绕月卫星的环绕速度为
( )
A．v02h
R
B．v0
h
2R
C．v0
2R
h
D．v0
R
2h
解析：由h＝
v02
2g月
和mg月＝G
Mm
R2
、
GMm
R2
＝m
v2
R 可得：v＝v0
R
2h
，故D正确．
答案：D
7．(2021·模拟)2008年9月27日“神舟〞七号宇航员翟
志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着
中国事业全时代的到来．“神舟〞七号绕地球做近
似匀速圆周运动，其轨道半径为r，假设另有一颗卫星绕地球
做匀速圆周运动的半径为2r，那么可以确( ) 图5
A．卫星与“神舟〞七号的向心加速度大小之比为1∶4
B．卫星与“神舟〞七号的线速度大小之比为1∶2
C．翟志刚出舱后不再受地球引力
D．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的样品，假设不小心样品脱手，那么样品做自由落体运动
解析：向心加速度计算公式为a＝
F
m
＝
GM
r2
，所以卫星和“神舟〞七号的向心加速度之比为1∶4，A选项正确；线速度计算公式为v＝
GM
r
，所以卫星和“神舟〞七号的线速度之比为1∶2，B选项正确；翟志刚出舱后依然受到地球的引力，引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，C选项错误；样品脱手后依然做匀速圆周运动，相对飞船静止，D选项错误．
答案：AB
8．(2021·模拟)据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星〞于2008年4月25日在西昌卫星发心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于点后的“天链一号01星〞，以
下说法正确的选项是
(
)
A ．运行速度大于7.9 km/s
B ．离地面高度一，相对地面静止
C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相
解析：由万有引力提供向心力得：GMm r 2＝mv 2
r ，v ＝
GM
r
，即线速度v 随轨道半径 r 的增大而减小，v ＝7.9 km/s 为第一宇宙速度，即围绕地球外表运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度小于7.9 km/s ，故A 错；因同步卫星与地球自转同步，即T 、ω相同，因此其
相对地面静止，由公式
GMm
R ＋h
2＝m (R ＋h )ω2
得：
h ＝3GM
ω
2－R ，
因G 、 M 、ω、R 均为值，因此h 一为值，故B 对；因同步卫星周期T 同＝24小时，
月球绕地球转动周期T 月＝27天，即T 同＜T 月，由公式ω＝2π
T
得ω同＞ω
月
，故C 对；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式a
向＝rω2
，可得：a 同a 物＝R ＋h
R
，因轨道半径不同，故其向心加速度不同，D 错误． 答案：BC
9．(2021·)一宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球外表，做如下：用不可伸长的轻绳拴一质量为m 的小球，上端固在O 点，如图6甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F 大小随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1＝7F 2，设R 、m 、引力常
量G 以及F 1为量，忽略各种阻力．以下说法正确的选项是 ( ) 图6
A ．该星球外表的重力加速度为F 1
7m
B ．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
Gm R
C ．星球的质量为F 1R 2
7Gm
D ．小球在最高点的最小速度为零
解析：小球在最低点有F 1－mg ＝m v 12R ；小球在最高点有F 2＋mg ＝m v 22
R
；小球
从最低点到最高点的过程中遵循机械能守恒律12mv 12＝mg 2R ＋12
mv 22
，又F 1＝
7F 2，联立解得该星球外表的重力加速度为g ＝F 17m ，选项A 正确；由G m 星m
R 2＝
m v 12
R
得卫星绕该星球的第一宇宙速度为Gm 星R ，选项B 错误；由G m 星m R
2＝mg 和g ＝F 17m 解得星球的质量为F 1R 2
7Gm
，选项C 正确．
答案：AC
二、题(此题共2小题，共12分)
10．(4分)(2021·质检)某同学利用如图7所示的两种装置探究平抛运动，方案如下：
图7
装置1：用小锤打击金属片，A 球水平抛出，同时B 球自由下落．仔细观察A 、B 两球是否同时落到水平地面上．假设同时落地，那么说平分运动是匀速运动，竖直分运动是自由落体运动．
装置2：竖直管A 上端要高于水面，这样可在较长时间内得到稳的细水柱．水平管B 喷出水流，在紧靠水流、平行于水流的玻璃板上用彩笔描出水流的轨迹，这就是平抛运动的轨迹．
找出以上表达中不当之处并写到下面：
(1)______________________________________________________________________；
(2)______________________________________________________________________．
解析：(1)假设同时落地，不能说平分运动是匀速运动，只能说明竖直方向为自由落体运动．
(2)竖直管A 上端要高于水面(低于)． 答案：见解析
11.(8分)(2021·陕铁一中月考)某同学在做平抛运动
实
得出如图8所示的小球运动轨迹，a 、b 、c 三点的位置
在运
动轨迹上已标出．那么：(g 取10 m/s 2
) (1)小球平抛的初速度为________ m/s.
(2)小球开始做平抛运动的位置坐标为________ cm. 图8
y ＝________ cm.
(3)小球运动到b 点的速度为________ m/s.
解析：(1)小球由a 到b ，b 到c ，水平方向做匀速运动，时间间隔相同，竖直方向上做匀加速运动，那么由Δy ＝g Δt 2
得出Δt ＝0.1 s ．再根据水
平方向的位移x ＝v 0Δt ，解得v 0＝0.2
0.1
m/s ＝2 m/s.
(2)小球在b 点的竖直速度为v ＝0.3
2Δt ＝1.5 m/s.由v ＝gt 1得t 1＝0.15 s ，
那么从抛物点到a 点的时间为t 2＝0.15 s －0.1 s ＝0.05 s ，水平初速度
为2 m/s ，从抛物点到a 点的水平距离x ＝v 0t 2＝2 m/s×0.05 s＝0.1 m ＝
10 cm ，竖直距离y ＝12gt 22
＝0.012 5 m ＝1.25 cm ，所以抛物点坐标为(－
10，－5)．
(3)小球运动到b 点的速度为水平方向做匀速运动的速度2 m/s 和竖直方向运动的速度1.5 m/s 的矢量和，为2.5 m/s. 答案：(1)2 (2)－10 －5 (3) 三、计算题(此题共3小题，共43分)
12．(13分)如图9所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面
长L 为10 m ，
一小球从斜面顶端以10 m/s 的速度在斜面上沿水平方向抛出．求： (g 取10 m/s 2
)
(1)小球沿斜面滑到底端时的水平位移x ； 图9
(2)小球到达斜面底端时的速度大小．
解析：(1)沿初速度方向：x ＝v 0t ① 沿斜面向下：a ＝g sin α ② L ＝12
at 2
③
联立①②③代入数据得：x ＝20 m.
(2)沿斜面向下：v ⊥＝at
④
那么：v ＝v ⊥2
＋v 02
⑤
联立②③④⑤解得：
v ＝10 2 m/s ＝14.1 m/s.
答案：(1)20 m (2)14.1 m/s
13．(15分)如图10所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块
到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力
图10
为零)．物块和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍．求：
(1)当转盘的角速度ω1＝
μg
2r
时，细绳的拉力F 1； (2)当转盘的角速度ω2＝
3μg
2r
时，细绳的拉力F 2. 解析：设角速度为ω0时，物块所受静摩擦力为最大静摩擦力，有
μmg ＝m ω02r
得ω0＝
μg r
(1)由于ω1＝ μg
2r
＜ω0，故绳未拉紧，此时静摩擦力未到达最大值，F 1＝0.
(2)由于ω2＝
3μg
2r
＞ω0，故绳被拉紧， 由F 2＋μmg ＝m ω2
2r 得F 2＝1
2μmg .
答案：(1)0 (2)1
2
μmg
14．(15分)(2021·高考)12月，天文学家们通过观测的数据确认了系的黑洞“人马座A *
〞的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A *
做椭圆运动，其轨道半长轴为0×102
天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A *
就处在该椭圆的一个焦点上．观测得
到S2星的运行周期为1年．
假设将S2星的运行轨道视为半径r ＝0×102
天文单位的圆轨道，试估算人
马座A *
的质量M A 是太阳质量M S 的多少倍(结果保存一位有效数字)． 解析：S2星绕人马座A *
做圆周运动的向心力由人马座A *
对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m S2，角速度为ω，周期为T ，那么
G M A m S2
r
2＝m S2ω2r ① ω＝2π
T
②
设地球质量为m E ，公转轨道半径为r E ，周期为T E ，那么
G M S m E r E 2＝m E (2πT E
)2r E
③
综合上述三式得M A M S ＝(r r E )3(T E T
)2
式中T E ＝1年，r E ＝1天文单位
代入数据可得M A M S
＝4×106
.
答案：4×106
倍。