2019届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(八)

2019届高考数学模拟考试试卷及答案（文科）（八）
本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题〜第23题为选考题，其它题为必考题.全卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式:
样本数据x 1,x 2，…，x n .的方差s 2=])(....)()[(n
122221x x x x x x n -++-+- 其中x 为样本平均数
柱体体积公式V = Sh 其中S 为底面面积，h 为髙 锥体体积公式V=h 3
1S 其中S 为底面面积，h 为髙
球的表面积、体积公式S=4πR 2，V=3
4πR 2其中R 为球的半径
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合A=}065x N {x 2≤-+∈x ，B=}{A C C ⊆，则集合B 中元素的个数为
A.3
B.4
C.27
D.28 2.已知复数z 满足i z
12
z =-+，则z 的值为 A.2
5 B.4
5 C.
210 D.2
5
3.在△ABC 75==，
，D 为AC 中点，则⋅的值为
A.-1
B.-2
C.l
D.2
4.—个三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上正方形小格的边樣为1，则该几何体的体积为 A.
332 B.3
64
C.32
D.64 5.设命题R x p ∈∃:"使得ax 2+x+1<0”，命题x x 31-a 3f :"q -⋅+=）（）（x 为增函数”若q p ∧⌝为真命题，则实数a.的取值范围是 A.（-∞,1] B.[4
1
,1) C.(4
1,1] D.[4
1,1]
6.我国著名的古典数学名著《九章算术》一书的“盈不足”一章中有一两鼠穿垣问题，其内容如下：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两侧，沿一直线相对打洞.大鼠第一天打进1尺，以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第—天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半.则它们何时相遇？
下图为计算该问题的程序框图，若输人的P 为5，则输出的t 值为
A.1 5
2 B.1 5
4 C.2
176 D.2 17
2 7.某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a ，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则
A.平均分变大，方差变大
B.平均分变小，方差变小
C.平均分变小，方差变大
D.平均分不变，方差变小
8.已知函数f(x)=sin(6
x π
ω+)(0>ω)，对任意的x ∈R 有分f （x 1）≤f(x)≤f(x 2)^恒成立,且丨x 1-x 2丨的最小值为2
π
，则下列结论正确的是
A.f(6
x π-)是奇函数 B.f(6
x π
+)是偶函数
C.点（06
，
π
)是f(x)的一个对称中心 D.x=-6
π是f(x)的一条对称轴
9.若a>b>0,0<c<1,则
A.log a c<log b c
B.log c a<log c b
C.a c<b c
D.c a>c b
10.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为
A. B. C. D.
11.若函数f(x)=x-sin 2x+a sin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是
A.[-1,1]
B.[-1,]
C.[-,]
D.[-1,-]
12.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个
圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π,则它
的表面积是
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
第II卷（非选择题共90分）
第II卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题-23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：（本大提共4题每题5分共20分，把答案填在题中横线上）
13．设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.
14．已知θ是第四象限角,且sin(θ+π)=,则tan(θ-π)=.
15．设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.
16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
三、解答题：（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.
(Ⅰ)求{a n}的通项公式;
(Ⅱ)求{b n}的前n项和.
18．（本小题，满分12分）
如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(Ⅰ)证明:G是AB的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
19.（本小题，满分12分）
某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n 的最小值;
(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
20．（本小题，满分12分）
在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
21．（本小题，满分12分）
已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑
22．（本小题，满分10分）
如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°,以O为圆心,OA为半径作圆.
(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;
(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥C
23．（本小题，满分12分）
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
24．已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(Ⅰ)画出y=f(x)的图象;
(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.
数学（供文科考生使用）参考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.D
6.D
7.D
8.B
9.B 10.A 11.C 12.A
13.-
【解析】本题考查平面向量垂直的性质,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力.因为a=(x,x+1),b=(1,2),a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-.
【备注】本题从平面向量的数量积为0入手,转化为含x的方程,解题十分顺畅,体现了向量的思维应用价值.
14.-
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式等知识.通性通法因为sin(θ+π)=,所以cos(θ-π)=sin[π+(θ-π)]=sin(θ+π)=,因为θ为第四象限角,所以-π+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以
-π+2kπ<θ-π<2kπ-π,k∈Z,所以sin(θ-π)=-=-,所以
tan(θ-π)=π
π
=-.
光速解法因为θ是第四象限角,且sin(θ+π)=,所以θ+π为第一
象限角,所以cos(θ+π)=,所以tan(θ-π)=ππ
ππ
ππ=-
π
π
=-.
【备注】本题易错点是利用同角三角函数的基本关系式求余弦值时,未注意到角的取值范围,或注意到角的取值范围,但因为角在某象限的三角函数值的符号判断出错,导致求解的结果出错.
15.4π
【解析】本题考查直线与圆的位置关系,圆的面积等知识,意在考查考生的数形结合能力、运算求解能力.圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=,所以圆心到直线x-y+2a=0所以2+()2=()2,解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.
【备注】破解此类题的关键是过好三关:一是借形关,即会思图与用图;二是方程关,利用直角三角形(弦长的一半、弦心距、半径所构成的直角三角形)寻找关于参数的方程;三是公式应用关,即利用圆的面积公式求解.
16.216 000
【解析】本题考查线性规划的实际应用,意在考查考生的实际应用能力,以及运算求解能力.设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x 件,y件,生产产品A、产品B的利润之和为z元.依题意得
,即,
目标函数为z=2 100x+900y.
其可行域为四边形OMNC及其内部区域中的整点,其中点
O(0,0),M(0,200),N(60,100),C(90,0),当直线z=2 100x+900y经过点N(60,100)时,z取得最大值,z max=2 100×60+900×100=216 000,即生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元.
【备注】破解此类题的关键:一是构建模型,读懂应用背景,构建简单线性规划模型.二是判断二元一次不等式表示平面区域的方法——“选点法”:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点.三是求线性目标函数的最值的一般步骤:一画二移三求.本题突破口是准确作出可行域,准确理解z的几何意义,就可以借助图形得到答案.
17.(Ⅰ)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.
所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,
通项公式为a n=3n-1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n,得b n+1=,因此数列{b n}是首项为1,公比为的等比数列.记{b n}的前n项和为S n,则
S n=-.
【解析】本题考查等差数列,数列的递推关系式,等差数列的通项与等比数列的前n项和公式等知识,意在考查考生的化归与转化能力,运算求解能力. (Ⅰ)把n=1代入式子a n b n+1+b n+1=nb n,即可求出数列{a n}的首项,再利用等差数列的通项公式,即可求其通项公式;(Ⅱ)将(Ⅰ)中得到的{a n}的通项公式代入式子a n b n+1+b n+1=nb n,即可判断{b n}为等比数列,再利用等比数列的前n项和公式,得出结果.
【备注】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.首项与公差是等差数列的“基本量”,首项与公比是等比数列的“基本量”.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法.
18.(Ⅰ)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.
所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.
又由已知,可得PA=PB,所以G是AB的中点.
(Ⅱ)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,
F即为E在平面PAC内的正投影.
理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,
又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,
因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.
连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,
所以D是正三角形ABC的中心.
由(Ⅰ)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.
由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,
所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,
可得DE=2,PE=2.
在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.
所以四面体PDEF的体积V=×2×2×2=.
【解析】本题考查空间几何体中线、面的位置关系等知识,意在考查考生的空间想象能力、化归与转化能力、运算求解能力.(Ⅰ)欲证G 是AB的中点,只需证明PG⊥AB.(Ⅱ)利用三棱锥的体积公式求解四面体PDEF的体积.
【备注】无
19.(Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.
所以y与x的函数解析式为
y=(x∈N).
(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.
(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
×(4 000×90+4 500×10)=4 050.
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【解析】本题考查柱状图、频数、平均数等知识,意在考查考生的数据处理能力、统计意识和应用意识,化归与转化能力,运算求解能力.(Ⅰ)读懂题意与柱状图,即可用分段函数的形式表示y与x的函数解析式;(Ⅱ)读懂不小于即是大于或等于,并且把频率问题转化为频数问题,即可求出n的最小值;(Ⅲ)分别求出n=19与n=20时,这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,比较平均数大小,即可得出结论.
【备注】本题易错点有两处:一是混淆了频率分布直方图与柱状图,导致全题皆错;二是审题不清或不懂题意,导致解题无从入手.避免此
类错误,需认真审题,读懂题意,并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别,纵轴表示的意义.
20.(Ⅰ)由已知得M(0,t),P(,t).
又N为M关于点P的对称点,故N(,t),ON的方程为y=x,代入y2=2px,整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H(,2t).
所以N为OH的中点,即=2.
(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:
直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.
【解析】本题考查抛物线的图象和性质,直线和抛物线的位置关系等知识,意在考查考生的运算求解能力.(Ⅰ)利用对称性与线段的中点坐标公式,即可得的值;(Ⅱ)判断直线MH与C的位置关系,即可得出结论.
【备注】破解此类解析几何题的关键:一是“对称”引路,利用线段中点的坐标公式即可快速求出两线段的比值;二是“转化”桥梁,即会利用分析法,把所需判断直线与抛物线是否有其他公共点的问题转化为判断直线MH与C的位置关系问题.
21.(Ⅰ)f'(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).
(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.
(ii)设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
①若a=-,则f'(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.
②若a>-,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1+∞)时,f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.
③若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.
(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知,f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.
又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a(b2-b)>0,
所以f(x)有两个零点.
(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.
(iii)设a<0,若a≥-,则由(Ⅰ)知,f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x ≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-,则由(Ⅰ)知,f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
【解析】本题考查函数的单调性,函数的零点,导数的应用等知识,意在考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力.(Ⅰ)先求f'(x),对参数a进行分类讨论,由f'(x)>0(f'(x)<0),得函数f(x)的单调递增(减)区间.(Ⅱ)对参数a进行分类讨论,利用导数法判断函数的单调性,从而判断是否有两个零点,最后确定a的取值范围.
【备注】判断可导函数的单调性的关键:首先,确定函数的定义域;其次,求导数f'(x);最后,对参数进行分类讨论,解不等式f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间,解不等式f'(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间.注意:如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用逗号或“和”字隔开.有关函数的零点问题常用导数法,判断函数的图象特征,寻找关于参数的不等式(组),从而求得结果.
22.(Ⅰ)设E是AB的中点,连接OE.
因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.
在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于☉O半径,所以直线AB与☉O相切.
(Ⅱ)连接OD,因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.
同理可证,OO'⊥CD.所以AB∥CD.
【解析】本题考查等腰三角形的性质,直线与圆相切,四点共圆的性质,线线平行的证明等知识,意在考查考生的数形结合能力,化归与转化能力.(Ⅰ)欲证直线AB与☉O相切,只需取AB的中点,证明点O与该中点的连线与AB垂直,根据△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°易得结论;(Ⅱ)利用四点共圆的性质,即可证明AB∥CD.
【备注】破解此类题的关键:一是需熟记直线与圆相关的性质与定理,解题才有路;二是注意数形结合思想与转化思想在解题中的适时应用.
23.(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.
C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,
得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,
由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.
【解析】本题考查圆的参数方程,圆的极坐标方程与直线的极坐标方程,直线与圆的位置关系等知识.(Ⅰ)把曲线C 1的参数方程化为普通方程,即可判断出其表示的曲线,再利用极坐标公式化为极坐标方程;(Ⅱ)由已知两圆的公共点都在直线θ=α0上,可得关于参数a 的方程组,解方程组,求a 的值.
【备注】求解此类问题的关键:首先,会转化,把圆的参数方程转化为普通方程,在转化过程中,一定要注意等价性,关注参数的取值范围;还需掌握极坐标与直角坐标的互化.其次,懂技巧,利用两圆的公共点都在直线上,寻找参数的方程.最后,会解方程.
24.(Ⅰ)f (x )=
y =f (x )的图象如图所示.
(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象,当f (x )=1时,可得x =1或x =3; 当f (x )=-1时,可得x = 或x =5,
故f (x )>1的解集为{x|1<x <3}; f (x )<-1的解集为{x|x < 或x >5}. 所以|f (x )|>1的解集为{x|x < 或1<x <3或x
>5}.
【解析】本题考查含有绝对值的函数的图象,解含有绝对值的不等式等知识.(Ⅰ)利用零点分区间法,先化简函数y=f(x),再画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)由y=f(x)的图象,可得不等式|f(x)|>1的解集.
【备注】本题易错点有两处:一是用零点分区间法时,化简函数y=f(x)出错,导致所画的图象出错;二是不会利用图象的对称性来判断y=|f(x)|的图象,绕了一大弯,重新求解不等式.为避免出错,只需化简认真,图象用活,便可轻松破解。