勾股定理教学实录与点评(伍敏)

《勾股定理》课堂实录
课堂教学实录与说明
以下是成都市石室联中罗玉老师在四川省初中教育教学改革发展研究共同体第二届学术研讨会教
学论坛上的一节公开课。

教学内容：华东师大版八年级上册第14章第1节《勾股定理》。

课堂实录：
一展示课题
你们知道这节课要解决什么问题吗？（学生阅读课题，得出本节课要学习的内容）
提示：本课学习的过程分为“阅读——提问——解决”三个步骤。

二展示目标（学生共同阅读）
1．通过深入浅出的图形阅读，以产生问题串的形式体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

2．通过勾股定理的探索，体会文字语言、图形语言、符号语言相互转换的奥妙与乐趣。

3．通过阅读勾股定理的相关历史文化，体会世界文明的进步与发展。

三教学过程
片断一：情境引入
展示图片：
从“弦图”到“国际数学家大会会标”
问：你从图中能获取到什么信息？这个弦图到底暗藏了什么玄机？
（引导学生学习如何阅读图形语言，用问题吸引学生，激发学生探索的欲望。

）
片断二：探索勾股定理
问1：从图形的构造来看这幅图，你能用一句话来描述这个图形吗？
生1：直角三角形拼出正方形。

（开始渗透图形语言与文字语言的转化）
问2：你能拼出这个图形吗？小组合作试试看。

（学生以前后两排六人为一小组，用教师事先发放的四个全等的直角三角形卡片尝试拼图，教师巡视全场，拼好的小组发一张小组得分卡，并抽最快拼好的一个小组派三个代表到黑板上展示拼出的图形）（教师深入小组，参与学生交流，关注学生的参与程度、动手能力、合作意识，以及在研究过程中表现出的思维水平。

通过发放小组得分卡的方式，引发学生兴趣。

及时对小组的完成情况及参与度进行评价，提高了学生的积极性，避免小组合作流于形式。

）
问3：这幅图中最基本的图形是什么？
生2：正方形和三角形。

师：这种说法准确吗？
生2：一个小正方形和四个直角三角形拼成一个大正方形。

师：够不够准确？请你再补充。

生2：一个小正方形和四个相等的直角三角形拼成一个大正方形。

师：是“相等”吗？再准确些。

生2：一个小正方形和四个全等的直角三角形拼成一个大正方形。

师：非常好，我们学数学一定要注意语言的准确性。

（培养学生的表达能力，通过一连串地提问，引导学生自己修正回答中的错误，特别注重培养学生数学语言的准确性。

）
问4：你能用最少的字母把这幅图中所有线段表示出来吗？（学生在学案上
标出）
师强调：注意“所有线段”（图2） 问5：你能通过这幅图找出一些等量关系吗？ （先独立思考，再小组讨论） 生3：四个全等的直角三角形面积加小正方形的面积等于大正方形的面积。

（强调“所有线段”，引
导学生表示出包括小正方形边长在内的全部线段，带领学生往既定方向思考，为后面等式的列出降低难度，埋下伏笔。

）
师：这个同学的语言表达非常准确！
（对学生准确的表达及时给予鼓励。

从学生的回答可看出，教师之前的引导已经在产生效果，学生开始注意语言的精准。

）
问6：你能用等式表示吗？
生4：4Ｓ△ + S 小正方形 = S 大正方形
问7：通过引入字母找出的等量关系，你可以得出什么结论？
生4： 22)(2
1c a b ab =-+⨯４ 问8：你能用一句话概括刚才得到的结论吗？（学生在草稿本上独立化简） 生5： 222
c b a =+ 问9：你能用这四个全等的直角三角形拼成与弦图不一样的图形吗？ （学生全体起立，小组合作拼图，拼好后坐下并发小组得分卡，抽最先拼好的
两个小组上台展示）（图3）
（让学生站着拼图，拼好后才能坐下，避免个别学生开小差。

教师巡视全场并
参与小组讨论，及时作出评价并给予鼓励。

学生积极性充分调动起来，小组合作真
正落实。

）
问10：仿照刚才的思路，你能否得出与问题７相同的结论？
（看图2，用字母标注出所有线段）
B 生6：4S △ + S 小正方形 = S 大正方形 22)(2
14b a c ab +=+⨯ 2
22c b a =+ 师：看看与前一个图中得出的结论一致吗？
问11：还有别的拼法吗？哪个小组愿意上来展示？ （图4）
（另一组派代表上黑板拼出不同图形）（如图4）
（对敢于主动上台展示的小组大力表扬，发放双倍的小组得分卡，学生积极性大大提高。

）
师：这个小组为我们拼出了一个不一样的图形，你们能用语言描述它吗？
生7：四个全等的直角三角形加一个菱形拼成一个长方形。

师：非常好！在我们学习的过程中，经常会出现一些暂时无法解决的问题，像这个图上的菱形面积，我们还没有学过，可以把它作为本课遗留问题记录下来，待下课后解决。

（让学生学会将不能解决的问题记录下来，在后续学习中去解决，鼓励学生努力去发现问题、解决问题。

）
问12：刚才我们用两个不同的图形证明了同一个结论，你能用一句话概括这个结论吗？
生8：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

问13：刚才这位同学用文字语言来描叙了我们得到的结论，我用图形语言把它表示了出来（如图5），你们能用符号语言来重新表示这个结论吗？
生9：222c b a =+ 问14：这个回答有问题吗？条件是什么？ 生10：在Rt △ABC 中，222c b a =+ 师：你们认为这样回答完整吗？ 生11：他的回答未指明a 、b 、c 各是什么边。

师：你能给他补充完整吗？
生11：若Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有2
22c b a =+。

师：这个结论就是我们常说的勾股定理。

（再次强调数学语言的准确性，渗透三语言的学习，让学生体会三种语言的优劣，以及相互转化的奥妙。

）
片断三：阅读材料
师：阅读以下数学小史，提出自己的疑问，课后自己查资料解决。

1、勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。

2、在西方称勾股定理为毕达歌拉斯定理。

约公元前500年，毕达歌拉斯学派的弟子希帕苏斯（Hippasus ）发现了一个惊人的事实：一个正方形的对角线的长度是不可公度的。

按照毕达歌拉斯定理（勾股定理），若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表现成两个整数之比。

这一事实不但与毕氏学
派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发。

据说，毕达哥拉斯学派对希帕苏斯的发现十分惶恐、恼怒。

为了保守秘密，他们将希帕苏斯投入大海。

不能表示为两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”。

第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决。

（通过阅读了解勾股定理的历史文化背景，体会世界文明的进步与发展，体会勾股定理的重大意义和文化价值，进一步激发学生的学习兴趣。

）
问15：勾股定理的本质是什么？
生12：直角三角形三边的关系。

（通过一系列的问题串，层层递进，带领学生由图形的表象步步深入探索到本质。

）
问16：你们已经了解了直角三角形中的什么关系？
生13：1、角的关系（两锐角互余） 2、边的关系（勾股定理）
问17：你们还思考了什么问题？有没有同学想问我什么问题？
生：我想知道直角三角形中边与角之间有什么关系。

师：非常好！这位同学很会动脑筋，这个问题是我们以后初三要解决的，我们把它作为这节课第二个遗留问题。

（引导学生学会深入思考，学会发现问题，鼓励学生提出问题。

）
师：我们把2
22c b a =+移项还可得： 222b c a -=
右边的式子还可以作什么变形？
))((2b c b c a -+=
（为后续学习作铺垫。

）
片断四：勾股定理的延伸
问18：当你看到222c b a =+这样一个等式时，你可以联想到哪些几何图形呢？
生：直角三角形。

师：还能想到别的图形吗？
生：沉默不语。

师：（提示）你能在书上找到图形吗？
（引导学生在遇到思维的瓶颈时另辟蹊径，到已有的图形中去寻找启示，也教会学生学习阅读教材、使用教材。

）
生13：书上P48有图（上台用实物投影仪展示）（如图6）
问19：你从这个图形想到什么？（小组合作讨论）
师：（PPT 展示图形，标注字母） （图6）问20：你们能描述这个图形是如何形成的吗？
引导学生回答：以直角三角形三边为边长，分别向外作正方形。

问21：三个正方形的面积有什么关系？
生14：两个小正方形面积之和等于大正方形面积。

问22：你们是怎么看出来的？
生15：从书上网格图上可以看出。

（再次引导学生看书，学会阅读教材、阅读图形。

）
问23：用符号语言可以怎么表示？
生16： C B A S S S =+
222c b a =+
师：我们可以把它理解为勾股定理的几何意义。

问24：大家还可以构造出类似的图形吗？
（此时时间不够了，教师直接用PPT 展示图形）
（培养学生联想和类比的思维能力。

）
问25：你能用语言描述这些图形吗？（引导学生一起回答）
问26：在这几个图形中，前面得出的结论仍成立吗？
请大家画出图形，记下问题，留待课后探究。

（再次渗透“留问”，让学生养成记录问题的习惯。

）
师：以上这些探究过程，其实就是图形语言——符号语言——文字语言之间的相互转化。

片段五：勾股定理的应用
问题1：一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处，大树在折断之前高多少？
（此时下课铃声响，问题1留给学生课后思考）
教师小结各组得分情况，统计小组领到的得分卡张数，并板书在黑板右边的统计表内。

（评估学生的参与度，给予及时鼓励。

得分最高的小组22分，最低的小组6分，每个小组都有得分，在七十多人的大班额条件下开展小组合作教学，这样的参与度可算得上非常高。

）。