推荐学习K122019版高考物理二轮复习 专题一 力与运动 第1讲 力与物体的直线运动学案

第1讲力与物体的平衡
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1.平衡中的“三看”与“三想”
(1)看到“缓慢”，想到“物体处于动态平衡状态。

”
(2)看到“轻绳、轻环”，想到“绳、环的质量可忽略不计”。

(3)看到“光滑”，想到“摩擦力为零”。

2.“三点”注意
(1)杆的弹力方向不一定沿杆。

(2)摩擦力的方向总与物体的相对运动方向或相对运动趋势方向相反，但与物体的运动方向无必然的联系。

(3)安培力F的方向既与磁感应强度的方向垂直，又与电流方向垂直，即F跟B、I所在的平面垂直，但B与I的方向不一定垂直。

力学中的平衡问题
运动物体的平衡问题
【典例1】 (2017·全国卷Ⅱ，16)如图1所示，一物块在水平拉力F 的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。

若保持F 的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。

物块与桌面间的动摩擦因数为( )
图1
A.2－ 3
B.36
C.33
D.32
解析 当F 水平时，根据平衡条件得F ＝μmg ；当保持F 的大小不变，而方向与水平面成60°角时，由平衡条件得F cos 60°＝μ(mg －F sin 60°)，联立解得μ＝3
3
，故选项C 正确。

答案 C
物体的动态平衡问题
【典例2】 (2016·全国卷Ⅱ，14)质量为m 的物体用轻绳AB 悬挂于天花板上。

用水平向左的力F 缓慢拉动绳的中点O ，如图2所示。

用T 表示绳OA 段拉力的大小，在O 点向左移动的过程中( )
图2
A.F 逐渐变大，T 逐渐变大
B.F 逐渐变大，T 逐渐变小
C.F 逐渐变小，T 逐渐变大
D.F 逐渐变小，T 逐渐变小
解析 对O 点受力分析如图所示，F 与T 的变化情况如图，由图可知在O 点向左移动的过程中，F 逐渐变大，T 逐渐变大，故选项A 正确。

答案 A
整体法、隔离法在平衡中的应用
【典例3】 如图3所示，A 、B 、C 三个完全相同的下水道水泥管道静止叠放在水平地面上，假设每个管道的质量为m ，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )
图3
A.A 对B 的弹力大小为
33
mg B.地面对B 、C 均没有摩擦力作用 C.地面对B 的支持力大小为32mg D.地面对B 的摩擦力大小为
36
mg 解析 选择A 、B 、C 为研究对象，可得其截面图如图甲所示，对A 受力分析如图乙所示，由题意知，F BA ＝F CA ，2F BA cos 30°＝mg ，则A 对B 的弹力F AB ＝F BA ＝
3
3
mg ，选项A 正确；对B 受力分析如图丙所示，由于A 对B 有斜向左下的弹力，则地面对B 有摩擦力作用，同理，地面对C 也有摩擦力作用，选项B 错误；由平衡条件可得mg ＋F AB cos 30°＝F N B ，F AB sin 30°＝F f ，联立解得F N B ＝32mg ，F f ＝3
6
mg ，即选项C 错误，选项D 正确。

答案 AD
1.处理平衡问题的基本思路
2.在三个力作用下物体的平衡问题中，常用合成法分析；在多个力作用下物体的平衡问题中，常用正交分解法分析。

3.解决动态平衡问题的一般思路：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。

动态平衡问题的常用方法：
(1)图解法 (2)解析法 (3)相似三角形法 (4)正弦定理法等
1.如图4所示，竖直平面内的光滑半圆环固定在水平面上，重力为G 的小球套在环上，轻弹簧上端P 与小球相连，下端Q 固定在水平面上。

若小球在图示位置静止时弹簧恰好竖直，半径OP 与水平面夹角为θ。

弹簧的劲度系数为k ，弹簧处于弹性限度内，则此时( )
图4
A.小球受3个力作用
B.环受到小球的压力大小为G sin θ
C.弹簧处于伸长状态
D.弹簧的形变量为G
k
解析 由于弹簧恰好竖直，小球受到的重力与受到的弹簧弹力恰好平衡，环对小球没有支持力作用，小球只受两个力的作用，即kx ＝G ，得x ＝G k
，弹簧处于压缩状态，综上所述，D 正确。

答案 D
2.如图5所示，A 、B 两个定滑轮安装在竖直的固定杆上，两滑轮的高度差为d ，水平距离为
3d ，质量分别为M 和m 的两物体，由跨过定滑轮的细绳连接，不计滑轮的大小、质量及一切摩擦。

现两物体处于静止状态，则( )
图5
A.两物体的质量M 和m 不相等
B.两竖直杆对滑轮的作用力大小相等
C.O 1A 段杆对滑轮的作用力大小是O 2B 段杆对滑轮作用力大小的3倍
D.O 1A 段杆对滑轮的作用力大小是O 2B 段杆对滑轮作用力大小的2倍
解析 由于滑轮两边绳上的张力大小总是相等的，因此两物体的质量相等，即M ＝m ，选项A 错误；根据力的平衡可知，杆对滑轮的作用力等于滑轮两边绳子上的张力的矢量和，由几何关系可知，A 滑轮两边绳子的夹角为60°，则O 1A 段杆对滑轮的作用力大小为F 1＝2mg cos 30°＝3mg ，同理可知，O 2B 段杆对滑轮的作用力大小为F 2＝mg ，因此选项B 、D 错误，C 正确。

答案 C
3.(多选)如图6所示，一个固定的1
4圆弧阻挡墙PQ ，其半径OP 水平，OQ 竖直。

在PQ 和一个
斜面体A 之间卡着一个表面光滑的重球B 。

斜面体A 放在光滑的地面上并用一水平向左的力
F 推着，整个装置处于静止状态。

现改变推力F 的大小，推动斜面体A 沿着水平地面向左缓
慢运动，使球B 沿斜面上升一很小高度。

在球B 缓慢上升过程中，下列说法正确的是( )
图6
A.斜面体A 与球B 之间的弹力逐渐减小
B.阻挡墙PQ 与球B 之间的弹力逐渐减小
C.水平推力F 逐渐增大
D.水平地面对斜面体A 的弹力逐渐减小 解析 对球B 受力分析，如图甲所示。

当球B 上升时，用图解法分析B 球所受各力的变化，其中角θ增大，F AB 和F OB 均减小，则选项A 、B 正确；对斜面体进行受力分析，如图乙所示，因为F AB 减小，由牛顿第三定律可知
F AB ＝F BA ，故F BA 也减小，则推力F 减小，水平地面对斜面体的弹力F N 也减小，则选项C 错误，
D 正确。

答案 ABD
电学中的平衡问题
电场力作用下的物体平衡问题
【典例1】 (多选)如图7所示，倾角为θ的斜面体c 置于水平地面上，小物块b 置于斜面上，通过绝缘细绳跨过光滑的定滑轮与带正电小球M 连接，定滑轮左侧连接物块b 的一段细绳与斜面平行，带负电的小球N 用绝缘细线悬挂于P 点。

设两带电小球在缓慢漏电的过程中，两球心始终处于同一水平面上，并且b 、c 都处于静止状态，下列说法中正确的是( )
图7
A.b 对c 的摩擦力一定减小
B.地面对c 的支持力一定变大
C.地面对c 的摩擦力方向一定向左
D.地面对c 的摩擦力一定变大
解析 两带电小球在缓慢漏电过程中，库仑力F 库＝
kQq
r 2
减小。

对小球M ，由平衡条件知，绳子拉力大小F T ＝（mg ）2
＋F 2
库减小；对物块b ，摩擦力F f 1＝m b g sin θ－F T ，方向向上或F f 1＝F T －m b g sin θ，方向向下，故其可能增大，也可能减小，选项A 错误；对b 、c 整体，地面对c 的支持力F N ＝(m b ＋m c )g －F T sin θ随F T 减小而变大，地面对c 的摩擦力F f 2＝F T cos θ减小，方向一定向左，选项B 、C 正确，D 错误。

答案 BC
复合场中的物体平衡问题
【典例2】(2017·全国卷Ⅰ，16)如图8，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为m a、m b、m c，已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动。

下列选项正确的是( )
图8
A.m a＞m b＞m c
B.m b＞m a＞m c
C.m c＞m a＞m b
D.m c＞m b＞m a
解析由题意知，三个带电微粒受力情况：m a g＝qE，m b g＝qE＋qvB，m c g＋qvB＝qE，所以m b>m a>m c，故选项B正确，A、C、D错误。

答案 B
电磁感应中的导体棒平衡问题
【典例3】(2016·全国卷Ⅰ，24)如图9，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连。

两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平。

右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑。

求
图9
(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小。

解析(1)由ab、cd棒被平行于斜面的导线相连，故ab、cd速度总是大小相等，cd也做匀速直线运动。

设两导线上拉力的大小为F T，右斜面对ab棒的支持力的大小为F N1，作用在ab 棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为F N2。

对于ab棒，受力分析如图甲
所示，由物体的平衡条件得
甲 乙
2mg sin θ＝μF N1＋F T ＋F ①
F N1＝2mg cos θ②
对于cd 棒，受力分析如图乙所示，由物体的平衡条件得
mg sin θ＋μF N2＝F T ③ F N2＝mg cos θ④
联立①②③④式得：F ＝mg (sin θ－3μcos θ)⑤ (2)设金属棒运动速度大小为v ，ab 棒上的感应电动势为
E ＝BLv ⑥
回路中电流I ＝E R
⑦ 安培力F ＝BIL ⑧
联立⑤⑥⑦⑧得：v ＝(sin θ－3μcos θ)
mgR B 2L 2
答案 (1)mg (sin θ－3μcos θ) (2)(sin θ－3μcos θ)
mgR B 2L 2
电学中的平衡问题是指在电场力、安培力、洛伦兹力参与下的平衡问题。

处理方法与纯力学问题的分析方法一样，把方法和规律进行迁移应用即可。

1.兴趣课堂上，某同学将完全相同的甲、乙两个条形磁铁水平放在粗糙的水平木板上(N 极正对)，如图10所示，缓慢抬高木板的右端至倾角为θ，在这一过程中两磁铁均保持静止
状态。

请对该同学提出的说法进行分析，其中正确的是( )
图10
A.甲受到的摩擦力的方向(相对木板)可能发生变化
B.乙受到的摩擦力的方向(相对木板)可能发生变化
C.继续增大倾角，甲、乙将会同时发生滑动
D.若减小甲、乙间距，重复上述过程，增大倾角时乙会先发生向上滑动
解析 因两条形磁铁的N 极正对，相互排斥，在θ较小时，乙有沿木板向上运动的趋势，且随着θ的增大，乙所受的摩擦力大小沿木板向下逐渐减小，可能出现反向增大的情况；对甲而言，随着θ的增大，甲所受摩擦力大小增大，且不可能出现摩擦力方向(相对木板)变化的情况，故选项A 错误，B 正确；增大倾角θ或减小甲、乙间距时，最易发生相对滑动的为甲，故选项C 、D 均错误。

答案 B
2.(2018·大连模拟)如图11所示，上下不等宽的平行导轨，EF 和GH 部分导轨间的距离为L ，
PQ 和MN 部分的导轨间距为3L ，导轨平面与水平面的夹角为30°，整个装置处在垂直于导
轨平面的匀强磁场中。

金属杆ab 和cd 的质量均为m ，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab 施加一个沿导轨平面向上的作用力F ，使其沿斜面匀速向上运动，同时cd 处于静止状态，则F 的大小为( )
图11
A.23mg
B.mg
C.43
mg D.32
mg 解析 设ab 杆向上做切割磁感线运动时，产生感应电流大小为I ，受到安培力大小为F 安＝
BIL ，对于cd ，由平衡条件得BI ·3L ＝mg sin 30°，对于ab 杆，由平衡条件得F ＝mg sin 30°
＋BIL ，综上可得：F ＝2
3mg ，故选项A 正确。

答案 A
3.如图12所示，三根长度均为0.3 m 的不可伸长的绝缘细线，其中两根的一端分别固定在天花板上的P 、Q 点，另一端分别拴有质量均为0.12 kg 的带电小球A 和B ，其中A 球带正电，电荷量q ＝3×10－6
C ，B 球带负电，与A 球带电荷量相同。

A 、B 之间用第三根绝缘细线连接起来。

在水平向左的匀强电场作用下，A 、B 保持静止，悬线仍处于竖直方向，且A 、B 间细线恰好伸直。

静电力常量k ＝9×109
N·m 2
/C 2。

图12
(1)求此匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)现将P 、A 之间的线烧断，由于有空气阻力，A 、B 球最终会达到新的平衡位置。

求此时细线QB 所受的拉力T 的大小，并求出A 、B 间细线与竖直方向的夹角θ。

解析 (1)A 、B 间细线恰好伸直，说明A 、B 间细线的拉力为零。

对A 球由平衡条件得：Eq
＝kq 2L
2 代入数据解得：E ＝3×105
N/C
(2)P 、A 之间的线烧断后，A 、B 球的平衡状态如图所示，细绳QB 一定竖直，所以对A 、B 整体可得：
T ＝2mg ＝2.4 N
由几何关系可知：
tan θ＝Eq mg ＝3
4
所以θ＝37 °
答案 (1)3×105
N/C (2)2.4 N 37 °
平衡中的临界与极值问题
摩擦力作用下的临界问题
【典例1】 (2013·新课标全国卷，15)如图13，在固定斜面上的一物块受到一外力F 的作用，F 平行于斜面向上。

若要物块在斜面上保持静止，F 的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F 1和F 2(F 2＞0)。

由此可求出( )
图13
A.物块的质量
B.斜面的倾角
C.物块与斜面间的最大静摩擦力
D.物块对斜面的正压力
解题关键 ①F 平行于斜面，对物块施于斜面的压力没有影响。

②物块保持静止，但是运动趋势有两种可能，分别是沿斜面向上和向下。

解析 物块对斜面的正压力F N ＝mg cos θ，当物块所受外力F 为最大值F 1时，具有向上的运动趋势
由平衡条件可得：F 1＝mg sin θ＋f m ；
同理，当物块所受外力F 为最小值F 2时，具有向下的运动趋势，则F 2＋f m ＝mg sin θ。

联立解得f m ＝
F 1－F 2
2
，F 1＋F 2＝2mg sin θ，故只能求出物块与斜面间的最大静摩擦力f m ，不
能求出物块质量m 、斜面的倾角θ和物块对斜面的正压力F N ，故选项C 正确，A 、B 、D 错误。

答案 C
连接体平衡中的极值问题
【典例2】 如图14所示，汽车通过钢绳拉动物体。

假设钢绳的质量可忽略不计，物体的质量为m ，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，汽车的质量为m 0，汽车运动中受到的阻力跟它对地面的压力成正比，比例系数为k ，且k ＞μ。

要使汽车匀速运动时的牵引力最小，角α应为( )
图14
A.0°
B.30°
C.45°
D.60°
解析隔离汽车，由平衡条件得水平方向有
F＝k(m0g＋F1sin α)＋F1cos α
隔离物体，由平衡条件得水平方向有
F1cos α＝μ(mg－F1sin α)
解两式得F＝km0g＋μmg＋F1(k－μ)sin α，式中F1(k－μ)＞0，则sin α＝0，即α＝0 °时，牵引力F最小(临界点)。

故选项A正确。

答案 A
解决临界极值问题的三种方法
(1)解析法：根据物体的平衡条件列出平衡方程，在解方程时采用数学方法求极值。

(2)图解法：此种方法通常适用于物体只在三个力作用下的平衡问题。

(3)极限法：极限法是一种处理极值问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(如“极大”“极小”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，快速求解。

1.如图15所示，A、B两球用轻杆相连，用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点。

现用外力F作用于小球B上(图上F未标出)，使系统保持静止状态，细线OA保持竖直，且A、B 两球在同一水平线上。

已知两球的重力均为G，轻杆和细线OB的夹角为45°，则外力F的最小值为( )
图15
A.G
B.2G
C.2G
D.
2 2 G
解析对小球A受力分析，根据平衡条件知轻杆对小球A、B的作用力为零，即小球A受重
力和细线OA的拉力，二力平衡。

对小球B受力分析，根据矢量三角形知：当力F与细线BO
垂直时力F最小，最小值为F＝G sin 45°＝
2
2
G，故选项D正确。

答案 D
2.(2018·池州二模)如图16所示，在倾角为θ＝37°的斜面上，固定一平行金属导轨，现在导轨上垂直导轨放置一质量m＝0.4 kg的金属棒ab，它与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5。

整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，导轨接电源E，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，滑动变阻器的阻值符合要求，现闭合开并S，要保持金属棒ab在导轨上静止不动，则( )
图16
A.金属棒所受安培力的方向水平向左
B.金属棒所受到的摩擦力方向一定沿平行斜面向上
C.金属棒所受安培力的取值范围是8
11
N≤F≤8 N
D.金属棒受到的安培力的最大值为16 N
解析由左手定则可以判断金属棒所受安培力的方向水平向右，故选项A错误；当金属棒刚好不向上运动时，金属棒受到的摩擦力为最大静摩擦力，方向平行斜面向下，设金属棒受到的安培力大小为F1，其受力分析如图甲所示，则由平衡条件得F N＝F1sin θ＋mg cos θ，F1cos θ＝mg sin θ＋f max，f max＝μF N，联立以上三式并代入数据解得F1＝8 N；当金属棒刚好不向下运动时，设金属棒受到的安培力大小为F2，其受力分析如图乙所示，则由平衡条件得F N′＝F2sin θ＋mg cos θ，F2cos θ＋f max′＝mg sin θ，f max′＝μF N′，联立以上三式并代入
数据解得F2＝8
11 N，所以金属棒受到的安培力的取值范围为
8
11
N≤F≤8 N，故选项C正确，
B、D错误。

答案 C
数学方法在物理解题中的应用
高考物理考试大纲中明确要求考生要具备应用数学方法处理物理问题的能力，即“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；能运用几何图形、函数图象进行表达、分析”。

考法1 三角形相似知识的应用
在共点力平衡问题、运动的合成和分解、电磁场的合成和分解以及几何光学等物理情境中，常会出现力三角形、速度三角形、位移三角形等矢量三角形和结构(长度)三角形相似的情况，准确作图、仔细观察、灵活选用相似三角形的边角关系是解题的关键。

【例1】 如图17所示的起重装置，A 为固定轴，AB 为轻杆，B 端系两根轻绳，一根在下面拴一重物，另一根绕过无摩擦定滑轮，在绳端施加拉力，使杆从位置Ⅰ缓缓移到位置Ⅱ的过程中，绕过定滑轮的那根绳的张力F 以及轻杆在B 端受到的作用力F N 的变化情况是( )
图17
A.F 减小，F N 大小不变，方向由沿杆向外变为沿杆向里
B.F 减小，F N 大小不变，方向始终沿杆向里
C.F 不变，F N 先变小后变大，方向沿杆向里
D.F 不变，F N 变小，方向沿杆向里
解析 分析杆的端点B 的受力，如图所示，三角形ABO 和由力组成的三角形BCD 相似，由几何关系知G h ＝F N L 1＝F
L 2
，L 1不变，F N 大小不变，L 2减小，F 减小，B 正确。

答案 B
【例2】 示波器主要由电子枪中的加速电场，两水平放置的平行金属板中的偏转电场和竖直放置的荧光屏组成，如图18所示。

若已知加速电场的电压为U 1，两平行金属板的板长、板间距均为d ，荧光屏距两平行金属板右侧的距离也为d 。

若两板间的偏转电压为零，则电子枪发射的电子从两平行金属板的中央穿过，打在荧光屏的中点O ；若两板间的偏转电压为
U 2，则电子会打在荧光屏上的某点，该点与O 点的距离为32
d 。

已知两金属板间只存在竖直方
向的匀强电场，不计电子在进入加速电场时的速度及电子重力，电子的质量为m ，电荷量为
e ，求U 1与U 2的比值。

图18
解析 电子加速过程，由动能定理可得
eU 1＝1
2
mv 20
电子进入偏转区做类平抛运动，轨迹如图所示
沿初速度方向，有
d ＝v 0t
在垂直初速度方向，有
y ＝12
at 2
其中a ＝eE m ，E ＝U 2d
设电子离开偏转电场时，它的速度偏向角为θ，则
tan θ＝y 12d ＝Y 12d ＋d ，其中Y ＝3
2d
解得U 1U 2＝1
2。

答案
U 1U 2＝12
考法2 正(余)弦定理及其应用
三角函数、正(余)弦定理反映了三角形边与角之间的定量关系。

物理量在合成或分解时会构成矢量三角形，若为直角三角形，可直接用三角函数或勾股定理分析计算，若为斜三角形，则通常要用到正(余)弦定理分析求解。

【例3】 (多选)(2017·全国卷Ⅰ，21)如图19，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N ，初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α＞π
2)。

现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。

在OM 由竖直被拉到水平的
过程中( )
图19
A.MN 上的张力逐渐增大
B.MN 上的张力先增大后减小
C.OM 上的张力逐渐增大
D.OM 上的张力先增大后减小
解析 OM 的张力F 1和MN 的张力F 2的合力F 不变，关系如图所示，F sin （180°－α）＝
F 1
sin β＝
F 2
sin γ
，将重物向右上方缓慢拉起，夹角α不变，β由钝角逐渐减小到锐角，γ由锐角
逐渐增大到直角，则MN 上的张力F 2逐渐增大，OM 上的张力F 1先增大后减小，选项A 、D 正确。

答案 AD
【例4】 (2018·武汉二月调考)如图20所示，“⊗”表示电流方向垂直纸面向里，“⊙”表示电流方向垂直纸面向外。

两根通电长直导线a 、b 平行且水平放置，a 、b 中的电流强度分别为I 和2I ，此时a 受到的磁场力大小为F 。

当在a 、b 的上方再放置一根与a 、b 平行的通电长直导线c 后，a 受到的磁场力大小仍为F ，图中abc 正好构成一个等边三角形，此时
b受到的磁场力大小为( )
图20
A.F
B.3F
C.23F
D.7F
解析先分析导线a的受力，题设a、b平行，电流分别为I和2I，此时a受到的磁场力大小为F。

再在a、b的上方放置一根与a、b平行的通电长直导线c，a、b、c正好构成一个等边三角形，a受到的磁场力大小仍为F，根据平行四边形定则，可知c对a的磁场力F ca 方向由a指向c，大小等于F，如图所示。

再分析b的受力，a对b的磁场力大小为F，因为r ca＝r cb，a、b电流分别为I和2I，所以c 对a的磁场力大小F ca＝F，故c对b的磁场力大小F cb＝2F，根据平行四边形定则和余弦定理，可得b受到的磁场合力大小为F b合＝F2＋（2F）2－2F·2F·cos 120°＝7F，选项D正确。

答案 D
考法3 利用数学方法求极值
分析求解物理量在某物理过程中的极大值或极小值是很常见的物理问题，这类问题的数学解法有很多，主要有：三角函数极值法、二次函数极值法、不等式极值法、图象法等。

【例5】质量为5 kg的木块与水平面间动摩擦因数为
3
3
，一人欲用最小的作用力F使木块
沿地面匀速运动，如图21所示，则此最小作用力的大小和F与水平面的夹角θ分别为(g ＝10 m/s2)( )
图21
A.10 N 30°
B.
503
3
N 0 C.25 N 30°
D.25 N 60°
解析 如图所示，木块受重力G 、地面的支持力F N 、摩擦力F f 和施加的外力F 四个力作用。

设力
F 与x 轴夹角为θ，由共点力平衡条件得
F cos θ＝F f F sin θ＋F N ＝G
且有F f ＝μF N
联立以上各式得F ＝μG
cos θ＋μsin θ
利用和差角公式变形为
F ＝
μG
1＋μ2
sin （θ＋φ）
(其中tan φ＝1
μ)
当sin(θ＋φ)＝1时，F 具有极小值
F min ＝
μG 1＋μ
2
＝3
3×5×101＋（
33
）2 N ＝25 N
因为tan φ＝1
μ＝ 3
所以φ＝60°
则F 与x 轴夹角θ＝90°－60°＝30°，故选项C 正确。

答案 C
【例6】 (多选)如图22所示，A 、B 两物体相距s ，物体A 以v A ＝6 m/s 的速度向右匀速运动。

而物体B 此时的速度v
B ＝2 m/s ，向右做匀加速运动，加速度a ＝2 m/s 2。

欲让两物体相遇两次，则s 可能的值为( )
图22
A.1 m
B.2 m
C.4 m
D.6 m
解析 设经时间t ，物体A 、B 相遇，位移满足x A －x B ＝s ，物体A 做匀速直线运动的位移x A ＝v A t ，物体B 做匀加速直线运动的位移x B ＝v B t ＋12at 2，联立并代入数据可得t 2
－4 t ＋s ＝0，
根据上述方程，欲让t 有两解，则Δ＝b 2
－4ac ＝16－4s ＞0，即s ＜4 m ，选项C 、D 错误；将选项A 、B 代值计算可知，两解都为正值，选项A 、B 正确。

答案 AB
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一、选择题(1～9题为单项选择题，10～11题为多项选择题)
1.(2018·河南联考)如图1所示，滑块放在水平地面上，左边受一个弹簧拉力作用，弹簧原长小于h ，水平向右的拉力F 拉动滑块，使滑块向右缓慢移动，并且滑块始终没有离开地面，则在上述过程中，下列说法正确的是( )
图1
A.弹簧弹力在竖直方向的分量不变，滑块受到的摩擦力不变
B.弹簧弹力在竖直方向的分量不变，滑块受到的摩擦力变小
C.弹簧弹力在竖直方向的分量增大，滑块受到的摩擦力变小
D.弹簧弹力在竖直方向的分量增大，滑块受到的摩擦力不变
解析 设弹簧的原长为l 0，劲度系数为k ，弹簧弹力在竖直方向的分量F y ＝k (h
sin θ－l 0)sin
θ，故F y ＝kh －kl 0sin θ，当滑块向右移动时弹簧与水平方向的夹角减小，可知弹簧弹力的竖直分量在增大，故滑块与地面间的弹力减小，滑块与地面间的摩擦力减小，C 正确。

答案 C
2.如图2所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，在斜面上有一光滑且不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

今使挡板与斜面的夹角β缓慢增大，在此过程中，斜面对球的支持力N 1和挡板对球的压力N 2的变化情况为( )
图2
A.N 1、N 2都是先减小后增加
B.N 1一直减小，N 2先增加后减小
C.N 1先减小后增加，N 2一直减小
D.N 1一直减小，N 2先减小后增加
解析 对球受力分析，如图所示。

球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三力构成矢量三角形。

挡板逆时针转动时，N 2方向也逆时针转动，作出如图所示的动态矢量三角形。

由图可见，N 1随β的增大一直减小，N 2先减小后增大。

选项D 正确。

答案 D
3.灯笼，又称灯彩，是一种古老的中国传统工艺品。

每年的农历正月十五元宵节前后，人们都挂起红灯笼，来营造一种喜庆的氛围。

如图3是某节日挂出的一只灯笼，轻绳a 、b 将灯笼悬挂于O 点。

绳a 与水平方向的夹角为θ，绳b 水平。

灯笼保持静止，所受重力为G ，绳
a 、
b 对O 点拉力分别为F 1、F 2，下列说法正确的是( )
图3
A.F 1＝
G sin θ，F 2＝G
tan θ
B.F 1＝G sin θ，F 2＝G tan θ
C.F1和F2的合力与灯笼对地球的引力是一对平衡力
D.F1和F2的合力与地球对灯笼的引力是一对相互作用力
解析以结点O为研究对象，受力分析如图所示，由灯笼受力平衡可知，T＝G，而F1与F2
的合力与T等大反向，即F1与F2的合力大小等于灯笼的重力大小。

则可知F1＝G
sin θ
，F2
＝
G
tan θ
，选项A正确，B错误；F1与F2的合力与竖直方向绳的拉力是一对平衡力，选项C
错误；地球对灯笼的引力与灯笼对地球的引力是一对相互作用力，选项D错误。

答案 A
4.如图4所示，放在水平桌面上的质量为1 kg的物体A通过水平轻绳、弹簧测力计和光滑定滑轮与物体B相连接，两物体均静止时弹簧测力计甲和乙的读数分别为5 N和2 N，则剪断物体A左侧轻绳瞬间，物体A的加速度和弹簧测力计乙的读数分别为( )
图4
A.5 m/s2，0
B.2 m/s2，N
C.0，0
D.0，2 N
解析两物体均静止时，物体A在水平方向的受力如图所示，物体A所受最大静摩擦力F f max≥3 N，剪断物体A左侧轻绳瞬间，F T甲＝0，F T乙＝2 N，由于F f max＞F T乙，所以物体A仍能静止不动，所以物体A的加速度为0；此时物体B也处于静止状态，所以弹簧测力计乙的读数不变仍为2 N。

综上分析，选项D正确。

答案 D
5.如图5所示，在竖直向下的匀强磁场中，绝缘细线下面悬挂一质量为m、长为l的导线，导线中有垂直纸面向里的恒定电流I，静止时细线偏离竖直方向θ角，现将磁场沿逆时针方向缓慢转动到水平向右，转动时磁感应强度B的大小不变，在此过程中下列说法正确的是( )。