考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，则当x→0时，f(x)是g(x)的
A．低阶无穷小．
B．高阶无穷小．
C．等价无穷小．
D．同阶但不等价的无穷小．
正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学
2．设，则
A．F(x)在x＝0点不连续．
B．F(x)存(－∞，＋∞)内连续，但在x＝0点不可导．
C．F(x)存(－∞，＋∞)内可导，且满足F‘(x)＝f(x)．
D．F(x)在(－∞，＋∞)内可导，但不一定满足F’(x)＝f(x)．
正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学
3．下列广义积分中收敛的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：C 涉及知识点：一元函数积分学
4．下列广义积分中发散的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学
5．下列结论中正确的是
A．都收敛．
B．都发散．
C．收敛．
D．发散．
正确答案：D 涉及知识点：一元函数积分学
6．双纽线(x2＋y2)2＝x2－y2所围成的区域面积可用定积分表示为
A．
B．
C．
D．
正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学
填空题
7．设f(x)有一个原函数＝_______。

正确答案：；涉及知识点：一元函数积分学
8．＝_______。

正确答案：；涉及知识点：一元函数积分学
9．＝_______。

正确答案：2(1—2e－1)；涉及知识点：一元函数积分学
10．设＝_______。

正确答案：；涉及知识点：一元函数积分学
11．＝_______。

正确答案：∫x20cost2dt－2x2cosx4；涉及知识点：一元函数积分学12．＝_______。

正确答案：sinx2；涉及知识点：一元函数积分学
13．＝_______。

正确答案：；涉及知识点：一元函数积分学
14．设，则常数＝_______。

正确答案：2；涉及知识点：一元函数积分学
15．＝_______。

正确答案：；涉及知识点：一元函数积分学
16．＝_______。

正确答案：1 涉及知识点：一元函数积分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．求.
正确答案：．涉及知识点：一元函数积分学
18．求定积分∫－11(2x＋｜x｜＋1)2dx．
正确答案：．涉及知识点：一元函数积分学
19．设.
正确答案：．涉及知识点：一元函数积分学
20．求函数在区间[e，e2]上的最大值．
正确答案：．涉及知识点：一元函数积分学
21．求极限.
正确答案：．涉及知识点：一元函数积分学
22．设函数f(x)可导，且f(0)＝0，F(x)＝∫0xtn－1f(xn－tn)出，求.
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
23．设函数f(x)连续，且，已知f(1)＝1，求∫12f(x)dx的值．
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
24．已知，f(x)连续，∫0xtf(x－t)dt＝1－cosx，求．
正确答案：1 涉及知识点：一元函数积分学
25．设函数f(x)在(0，＋∞)内连续，，且对所有x，t∈(0，＋∞)，满足条
件∫1xtf(u)du＝t∫xxf(u)du＋x∫1tf(u)du，求f(x)．
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
26．求极限.
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
27．已知，求常数a的值．
正确答案：a＝0或a＝－1．涉及知识点：一元函数积分学
28．计算.
正确答案：ln2．涉及知识点：一元函数积分学
29．计算.
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
30．假设曲线l1：y＝1－x2(0≤x≤1)与x轴和y轴所围成区域被曲线l2：y＝ax2分为面积相等的两：部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值．
正确答案：3 涉及知识点：一元函数积分学
31．设曲线方程为y＝e－x(x≥0)．(1)把曲线y＝e－x(x≥0)，x轴，y轴和直线x＝ξ(ξ＞0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体的体积V(ξ)，求满足的a；(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积．
正确答案：(1)(2)(1，e－1)，S＝2e－1．涉及知识点：一元函数积分学
32．已知曲线(a＞0)与曲线在点(x0，y0)处有公共切线，求：(1)常数a及切点(x0，y0)；(2)两曲线与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积Vx．
正确答案：(1)，切点为(e2，1)；(2) 涉及知识点：一元函数积分学
33．求心形线，r＝a(1＋cosθ)的全长，其中a＞0是常数．
正确答案：心形线的全长为s＝8a．涉及知识点：一元函数积分学
34．已知一抛物线通过x轴上的两点A(1，0)，B(3，0)．(1)求证两坐标
轴与该抛物线所围成图形的面积等于x轴与该抛物线所围成图形的面积；(2)计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比．
正确答案：(1)；(2)。

涉及知识点：一元函数积分学
35．设直线y＝ax与抛物线．y＝x2所围成图形的面积为S1，它们与直线x＝1所围成图形的面积为S2，并且a＜1．(1)试确定a的值，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
正确答案：(1)；(2)。

涉及知识点：一元函数积分学
36．已知抛物线y＝px2＋qx(其中p＜0，q＞0)在第一象限内与直线x＋y ＝5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S．(1)问p和q为何值时，S达到最大值? (2)求出此最大值．
正确答案：(1)，q＝3；(2)最大值。

涉及知识点：一元函数积分学
37．设D1是由抛物线y＝2x2和直线x＝a，x＝2及y＝0所围成的平面区域；D2是由抛物线y＝2x2和直线y＝0，x＝a所围成的平面区域，其中0＜a＜2．(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体的体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体的体积V2；(2)问a为何值时，V1＋V2取得最大值?试求此最大值．正确答案：(1)；V2＝πa4；(2)a＝1时V1＋V2取得最大值，其值为V1＋V2＝。

涉及知识点：一元函数积分学
38．过坐标原点作曲线y＝lnx的切线，该切线与曲线y＝lnx及x轴围成平面图形
D．(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x＝e旋转一周所得旋转体的体积V．
正确答案：(1)；(2)。

涉及知识点：一元函数积分学
39．某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)．汽锤第一次击打将桩打进地下am．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0＜r＜1)．问：(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m表示长度单位米．)
正确答案：(1)；(2)。

涉及知识点：一元函数积分学
40．设S表示夹在x轴与曲线y＝F(x)之间的面积．对任何t＞0，S1(t)表示矩形－t≤x≤t，0≤y≤F(t)的面积．求：(1)S(t)＝S—S1(t)的表达式；(2)S(t)
的最小值．
正确答案：(1)S(t)＝S—S1(t)＝1—2te－2t，t∈(0，＋∞)：；(2)为最小值．涉及知识点：一元函数积分学。