D85隐函数求导64729

① Fx e x y, Fy cos y x 连续, ② F (0,0) 0,
③ Fy (0,0) 1 0
由定理1可知, 在x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
dy
Fx
dx x 0 Fy
x

0

ceoxs

y
y

x
x 0, y 0
d2 y dx2 x 0
解: 方程组两边对x 求导，并移项得
x u y v u x x
y u x v v x x
练习:求 u , v y y
答案:
由题设J x y x2 y2 0 yx
u y

yu x2
xv y2
故有
u 1 u x J v v 1 x J
x


FxxFy FyxFx Fy2

Fx
yFy Fy Fy2
y Fx
(
Fx Fy
)


Fx x Fy 2

2Fx yFxFy Fy3

Fy
y Fx 2
例1.验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy
d2 y
dx x 0 , dx2 x 0
解:令 F ( x, y) sin y e x x y 1, 则
1 Fu Fv
Fu Fx Gu Gx
Gu Gv
v 1 (F ,G) y J ( u, y )
1 Fu Fv
Fu Fy Gu G y
Gu Gv
例4.设 x u y v 0, y u x v 1, 求 u , u , v , v . x y x y
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
u u( x, y)

v

v( x,
y)
由F、G 的偏导数组成的行列式
J (F ,G) Fu Fv (u,v) Gu Gv
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对x 求偏导
2z x2

( x x 2
) z

(2
z)2 (2 z)3
x
2
例3. 设F (x, y)具有连续偏导数,已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数,则
z x


F1
F1
y x


xu x2
yv y2

xv x2
yu y2
v y

xu x2
yv y2
内容小结
1.隐函数(组)存在定理 2.隐函数(组)求导方法
方法1.利用复合函数求导法则直接计算; 方法2.利用微分形式不变性; 方法3.代公式 思考与练习
设
求
提示: z f ( x y z , x yz)
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1.设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F ( x0 , y0 ) 0; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数y = f (x), 满足条件
并有连续
导数
d y Fx (隐函数求导公式) dx Fy

1 z
(

x z2
)

F2

(
y z2
)
z F1 x F1 y F2
z y


F1
(
F2

1 z
x z2
)

F2

(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz

z dx x

z dy y

z x F1
y F2 (F1dxzx
称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.
定理3. 设函数 ①在点 导数；
满足: 的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0,u0,v0 ) 0, G( x0 , y0, u0,v0 ) 0;
③ J (F ,G) 0 P (u,v) P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0, G ( x, y, u,v) 0 在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ), v0 v( x0 , y0 )的单值连续函数 u u( x, y), v v( x, y), 且有偏导数公式:
u 1 (F,G) x J ( x, v )
1 Fu
Fv
Fx Fv Gx Gv
(P34-P35)
Gu Gv
u 1 (F,G) 1
Fy Fv
y J ( y, v )
Fu Fv G y Gv
Gu Gv
v 1 (F ,G) x J ( u, x )
② F ( x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数z = f (x, y), 满足
并有连续偏导数 z Fx , x Fz
定理证明从略,
z Fy y Fz
例2.设 x2 y2 z2 4z 解法1 利用隐函数求导

0
,
求
2z x2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2

4
2z x2

0
1 ( z )2 x
解法2 利用公式
设
F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z
则 Fx 2x , Fz 2z 4
两边再对x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令x = 0,注意此时 y 0 , y 1
d2 y dx2
3 x0
定理2. 若函数F ( x, y, z)满足:
①在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
•
0
f1
x y
1
f2
yz x y

xz
x
yHale Waihona Puke f1 xz f2 f1 yz f2
解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f (x y z, xyz)
d z f1 dx dy dz f2 yz dx xzdy x yd z
d ( ex y ) dx cos y x
( e x y)(cos y x) (e x y)(sin y y 1)

(cos y x )2
3
x0 y0 y 1
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x) 两边对x 求导
F2FFdxzy)
解法2 微分法.对方程两边求微分:
F1

d(
x) z

F2

d(
y) z

0
F1(
zd
x
z2
xdz)
F2
( zd
y z2
ydz)

0
xF1 yF2 z2
dz

F1d x
F2d y z
dz

x
z F1
y F2 (F1dx

F2d y)
•
z x

f1 1
z x

f2
yz
x y z x

z x
1
f1 f1
yz f2 xy
f2
•
1
f1 x
z
1
f2
yz x z

xy
x z

1 f1 x y f2 f1 yz f2
定理证明从略,仅就求导公式推导如下：
则 两边对 x 求导
在 d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F (x, y )的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
d2 y dx2

( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
Fx Fy
xy
解出dx :
dx f1 xz f2 dy 1 f1 x y f2 dz
f1 yz f2 由d y, d z 的系数即可得 x , x .
y z