圆的综合题-2018年中考数学热点考点难点归纳总结

专题04圆的综合题
考纲要求:
1．圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系的证明会有所下降趋势，不会有太复杂的大题出现.
2．今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．
基础知识回顾:
知识点1：圆的有关性质和计算
①弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等．
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．
④圆内接四边形的性质：
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．
知识点2：点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为d，圆的半径为r，
则点在圆外d r；点在圆上d r；点在圆内d r．
②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．一个三角形有且只有一个外接圆．
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
知识点3：直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，
则直线与圆相离d r；直线与圆相切d r；直线与圆相交d r．
②切线的性质：与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径．
③切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等．
⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．⑥切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．知识点4：圆与圆的位置关系
①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．设两圆心的距离为
d ，两圆的半径为12r r 、，则两圆外离
12
d r r 两圆外切1
2d
r r 两圆相交1212
r r d
r r 两圆内切12d r r 两圆内含
12
d
r r ②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴．由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆相交，连心线垂直平分公共弦．③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线．两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线．④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．知识点5：与圆有关的计算
①弧长公式：180
n r l 扇形面积公式：
2
1360
2
n r S lr 扇形
（其中
n 为圆心角的度数，r 为半径）
②圆柱的侧面展开图是矩形．
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋
2×底面积
③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．④圆锥的侧面积＝
12
×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积
应用举例:
招数一、圆的基本性质证明计算题【例1】【2016福州】如图，正方形
ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵
中点，连接BM ，CM.
(1)求证：BM ＝CM ；
(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵
的长．
【例2】（2017?苏州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ．E 是⊙O 上一点，且
=
，连接OE ．过点E 作EF ⊥OE ，交AC 的延长线于点
F ，则∠F 的度数为（
）
A ．92°
B ．108°
C ．112°
D ．124°【例3】（2017?莱西市一模）如图，半径为
5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠
BAC ，∠EAD ，
若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的长等于（
）
A．8 B．10 C．11 D．12
招数二、圆与三角形全等、相似、四边形知识结合
【例4】已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．
【例5】（2017秋?东台市月考）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）
A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm
【例6】（2016秋?平舆县期中）如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）填空：
①PC、PB、PA之间的数量关系是；
②四边形APBC的最大面积为．
招数三、圆与三角函数等其他知识结合
【例7】如图，AB是⊙O的直径，D,E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝
BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE,DE,DF.
(1)证明：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝2
3
，E是AB
︵
的中点，求EG·ED的值．
【例8】（2017?哈尔滨）已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．（1）如图1，求证：AD=BD；
（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB ﹣∠OMB=90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=，求的值．
招数三、求阴影部分面积问题
【例9】（2016?鄂尔多斯）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，∠AOB=∠COB，⊙O的半径为，连接AC交OB于点E，OB与AC相交于点E，则图中阴影部分面积是（）
A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣
方法、规律归纳:
1．在弄清题意的基础上把复杂图形分解为几个基本图形进行思考，并适当添加辅助线补全或构造基本图形，
在直径或有切线的条件下，构造直角三角形或利用圆内角的关系构造相似三角形，从而使已知和未知之间
建立联系．
2．掌握常规的与圆有关的问题的证明方法与技巧(如证角相等、证线段相等、证线段垂直等)，掌握与圆有关的图形(如圆外切三角形、圆内接三角形、圆内接四边形、圆内接正n边形等)的特殊性质与计算公式，对
于求阴影部分的面积有以下几种解决方法：方法一：加减法，将阴影部分变成几个规则图形的和或差；方
法二：割补法，将阴影部分分割成几部分，然后将它们补在某些合适的地方；方法三：覆盖法，几个规则
图形覆盖在一起，重叠部分就是阴影部分。

3．注意数学思想方法的运用，如转化思想，通过与圆有关的直角三角形的勾股定理把证明问题转化为方程
计算问题等，熟悉并掌握这类问题的常用解题方法和解题策略。

实战演练:
1. （2017?瑞安市一模）P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）
A．26°B．28°C．30°D．32°
2. （2017?黄石模拟）如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan ∠CBD的值等于（）
A．B．C．D．
3. （2014?武汉自主招生）如图，在平面直角坐标系中，过点O的⊙O1与两坐标轴分别交于A、B两点，A （5，0），B（0，3），点C在弧OA上，则tan∠BCO=（）
A．B．C．D．
4. （2016?桂林）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）
A．πB． C．3+πD．8﹣π
5. （2016?陕西）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）
A．3 B．4C．5D．6
6. （2015?梧州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，
交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（）
A．9 B．18C．36D．72
7. （2015?金华）如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则
的值是（）
A．B．C．D．2
8. （2015?冷水江市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=45°，AB=BC=2，则图中阴影部分面积为．
9. （2016?长沙）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．
10. （2015秋?道里区月考）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，连接AB、CP交于D，∠APC=∠CPB=60°．（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形；
（2）如图2，点G为线段CP上一点，连BG，若∠CBG=2∠ACP时，求证：CG=DP+AP；
（3）如图3，在（2）的条件下，当PD=DG=1时，求AD和tan∠PCB值．。