七年级数学下册《1.6完全平方公式》期末复习专题提升训练(附答案)

2021学年北师大版七年级数学下册《1.6完全平方公式》期末复习专题提升训练（附答案）1．小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（）
A．4041B．2021C．2020D．1
2．若（x﹣3y）2＝25，xy＝12，则（x+3y）2的值是（）
A．169B．196C．144D．15
3．已知（m﹣n）2＝42，（m+n）2＝4000，则m2+n2的值为（）
A．2021B．3958C．2984D．4042
4．若4x2﹣（k﹣2）x+25是一个完全平方式，则k的值为（）
A．18B．8C．﹣18或22D．﹣8或12
5．若x+2y＝2，则多项式x2+2xy+2y2的值为（）
A．2B．4C．6D．8
6．若m+n＝3，mn＝2，则m2+n2等于（）
A．7B．5C．1D．﹣1
7．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（）
A．15B．17C．20D．22
8．对于代数式x2﹣2（k﹣1）x+2k+6，甲同学认为：当x＝1时，该代数式的值与k无关；
乙同学认为：当该代数式是一个完全平方式时，k只能为5．则下列结论正确的是（）A．只有甲正确B．只有乙正确C．甲乙都正确D．甲乙都错误9．已知（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝18，则（x﹣2021）2的值是（）A．4B．8C．12D．16
10．已知（2022+m）（2020+m）＝n，则代数式（2022+m）2+（2020+m）2的值为（）A．2B．2n C．2n+2D．2n+4
11．已知a，b为实数，且满足ab＞0，a+b﹣2＝0，当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或B．或1C．或1D．或
12．（2m+3）（﹣2m﹣3）的计算结果是（）
A．4m2﹣9B．﹣4m2﹣9C．﹣4m2﹣12m﹣9D．﹣4m2+12m﹣9 13．若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断
14．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为（）
A．21B．22C．23D．24
15．正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了24cm2，则这个正方形原来的面积是（）A．15cm2B．25cm2C．36cm2D．49cm2
16．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值为（）
A．9B．6C．3D．﹣3
17．如果两数和的平方的结果是x2+（a﹣1）x+25，那么a的值是（）A．﹣9B．﹣9或11C．9或﹣11D．11
18．若x2是一个正整数的平方，则比x大1的整数的平方式是（）
A．x2+1B．x+1C．x2+2x+1D．x2﹣2x+1
19．已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，则ab的值为（）
A．B．C．D．
20．已知x+＝3，则x2+的值是（）
A．3B．7C．9D．11
21．已知xy＝﹣3，x+y＝﹣4，则x2+3xy+y2值为（）
A．1B．7C．13D．31
22．如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（）
A．3B．4C．5D．6
23．计算（x+3y）2﹣（x﹣3y）2的结果是（）
A．12xy B．﹣12xy C．6xy D．﹣6xy
24．设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（）
A．①正确②错误B．①正确②正确C．①错误②正确D．①错误②错误25．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个长方形的两边长（x＞y），观察图案及以下关系式：①x﹣y＝n；②xy＝；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2＝．其中正确的关系式有（）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
26．已知实数a满足（a﹣2020）（a﹣2021）＝3，则（a﹣2020）2+（a﹣2021）2的值是．27．公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，则（a﹣b）3＝．
28．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝．
29．已知a＝4﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为．
30．已知多项式A＝（x+2）2+（x+2）（1﹣x）﹣3．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2＝5，求A的值．
31．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1，图2，图3．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝2，xy＝﹣8时，求x﹣y的值．32．如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；
根据（1）中的结论，解决下列问题：
（2）若x﹣y＝5，xy＝6，则x+y＝；
（3）设A＝，B＝x+2y﹣3，求（A﹣B）2﹣（A+B）2的结果；
（4）若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝9，求（2019﹣m）（m﹣2021）＝．
33．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如图，C是线段AB上的一点以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为16，求△AFC的面积．
34．[阅读理解]若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．解：设80﹣x＝a，x﹣60＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，
a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，
∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．
[解决问题]若x满足（30﹣x）2+（x﹣20）2＝120，求（30﹣x）（x﹣20）的值．35．请认真观察下列图形，解答以下问题：
（1）根据图中条件，用两种不同的方式表示阴影部分的面积，可得到一个等式，请直接写出这个等式；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值；
（3）已知（5﹣2x）2+（3﹣2x）2＝60，求（5﹣2x）（3﹣2x）的值．
36．（1）已知a2+b2＝10，a+b＝4，求a﹣b的值．
（2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣2x2+m化简后不含x2项与常数项，且an2+mn ＝1，求2n3+5n2﹣5n+2022的值．
37．阅读理解：
已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．
∵ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．
参考上述过程解答：
（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2；
①x2+y2＝；
②求（x+y）2的值．
（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）•n＝﹣1，求（m﹣p）2+n2的值．
参考答案
1．解：∵（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；
∴c1＝20212，
∵（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，
∴c2＝20202，
∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，故选：A．
2．解：（x+3y）2＝（x﹣3y）2+12xy＝25+12×12＝169；
故选：A．
3．解：∵（m﹣n）2＝42，
∴m2﹣2mn+n2＝42 ①，
∵（m+n）2＝4000，
∴m2+2mn+n2＝4000 ②，
①+②得：2m2+2n2＝4042，
m2+n2＝2021．
故选：A．
4．解：∵4x2﹣（k﹣2）x+25是一个完全平方式，
∴k﹣2＝±20，
解得：k＝22或k＝﹣18，
故选：C．
5．解：（x+2y）2＝22，
x2+4xy+4y2＝4，
等式两边同时除以2，
得x2+2xy+2y2＝2．
故选：A．
6．解：∵m+n＝3，mn＝2，
∴原式＝（m+n）2﹣2mn＝9﹣4＝5，
故选：B．
7．解：由题意可得：阴影部分面积＝（a﹣b）•a+b2＝（a2+b2）﹣ab．∵a+b＝10，ab＝22，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×22＝56，
∴阴影部分面积＝×56﹣×22＝28﹣11＝17．
故选：B．
8．解：（1）当x＝1时，该代数式＝1﹣2（k﹣1）+2k+6＝9，
∴当x＝1时，该代数式的值与k无关，故甲同学的结论正确；
当代数式x2﹣2（k﹣1）x+2k+6是一个完全平方式时，
2（k﹣1）＝，即k﹣1＝，
（k﹣1）2＝2k+6，
k2﹣2k+1＝2k+6，
k2﹣4k﹣5＝0，
（k﹣5）（k+1）＝0，
k＝5或k＝﹣1，
当k＝5时，原式＝x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，
当k＝﹣1时，原式＝x2+4x+4＝（x+2）2，
∴k＝5或k＝﹣1均符合题意，
故乙同学的结论错误．
故选：A．
9．解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝18，
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝18，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝18，∴（x﹣2021）2＝8．
故选：B．
10．解：设2022+m＝a，2020+m＝b，
∴a﹣b＝（2022+m）﹣（2020+m）＝2022+m﹣2020﹣m＝2，
∴原式＝a2+b2
＝a2﹣2ab+b2+2ab
＝（a﹣b）2+2ab．
∵（2022+m）（2020+m）＝n，
∴原式＝22+2n＝4+2n，
故选：D．
11．解：由a+b﹣2＝0得a+b＝2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝4，
设（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝t，则4ab＝4﹣t，
∴＞0，
当t＝0时，ab＝1；
当t＝1时，ab＝；
∴ab的值为1或．
故选：C．
12．解：（2m+3）（﹣2m﹣3）
＝﹣（2m+3）（2m+3）
＝﹣（2m+3）2
＝﹣4m2﹣12m﹣9，
故选：C．
13．解：a＝2020×2021+1，
b＝20202﹣2020×2021+20212
＝（2020﹣2021）2+2020×2021
＝2020×2021+1，
故a＝b．
故选：B．
14．解：如图，三角形②的一条直角边为（a﹣b），另一条直角边为b，因此S△②＝（a﹣b）b＝ab﹣b2，
S△①＝a2，
∴S阴影部分＝S大正方形﹣S△①﹣S△②，
＝a2﹣ab+b2，
＝[（a+b）2﹣3ab]，
＝（100﹣54）
＝23，
故选：C．
15．解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝24，解得：x＝5．
则这个正方形原来的面积是25cm2，
故选：B．
16．解：∵a﹣b＝3，
∴a＝b+3，
∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．
故选：A．
17．解：∵两数和的平方的结果是x2+（a﹣1）x+25，∴x2+（a﹣1）x+25＝（x±5）2，
则a﹣1＝±10，
解得：a＝﹣9或11．
故选：B．
18．解：根据题意可得，
（x+1）2＝x2+2x+1，
故选：C．
19．解：（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2
＝4ab
＝7﹣4
＝3，
ab＝．
故选：C．
20．解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝9，
∴x2++2＝9，
∴x2+＝7．
故选：B．
21．解：∵知xy＝﹣3，x+y＝﹣4，
∴x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（﹣4）2+（﹣3）
＝13，
故选：C．
22．解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故选：A．
23．解：原式＝x2+6xy+9y2﹣（x2﹣6xy+9y2）＝x2+6xy+9y2﹣x2+6xy﹣9y2
＝12xy．
故选：A．
24．解：当n＝3时，即x+y＝3，
由可得，x﹣y＝2，
因此，x＝，y＝，
∴q＝x2﹣y2═﹣＝＝6，
因此①正确；
当p＝时，即x2+y2＝，
又∴x﹣y＝2，
∴x2﹣2xy+y2＝4，
∴﹣2xy＝4，
∴m＝xy＝，
因此②正确；
故选：B．
25．解：由图形可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此①正确；
于是有：mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，因此③正确；
＝＝＝2xy，因此②不正确；
＝＝＝x2+y2，因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
26．解：设a﹣2020＝x，a﹣2021＝y，
∵（a﹣2020）（a﹣2021）＝3，
∴xy＝3，
则x﹣y＝（a﹣2020）﹣（a﹣2021）＝1，
∴（a﹣2020）2+（a﹣2021）2＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×3＝7．故答案为：7．
27．解：（a﹣b）3
＝（a﹣b）2（a﹣b）
＝（a2﹣2ab+b2）（a﹣b）
＝a3﹣2a2b+ab2﹣a2b+2ab2﹣b3
＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，
故答案为：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3．
28．解：∵（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，
（2a﹣3b）2＝4a2﹣12ab+9b2，
∴（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+24ab，
∴A＝24ab，
故答案为：24ab．
29．解：∵a＝4﹣3b．
∴a+3b＝4．
∴a2+6ab+b2＝（a+3b）2＝42＝16．
故答案为：16．
30．解：（1）A＝x2+4x+4+x+2﹣x2﹣2x﹣3＝3x+3；
（2）∵（x+1）2＝5，
∴x+1＝±，
则A＝3x+3＝3（x+1）＝±3 ．
31．解：（1）图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
图3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）∵阴影部分是一个正方形，边长为（a﹣b），
∴阴影部分面积为（a﹣b）2，
∵阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，
∴阴影部分的面积为（a+b）2﹣4ab，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝22﹣4×（﹣8）＝4+32＝36，
∴x﹣y＝±6．
32．解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵x﹣y＝5，xy＝6，
∴（x+y）2﹣52＝4×6，
∴（x+y）2＝49，
∴x+y＝±7，
故答案为：±7；
（3）∵A＝，B＝x+2y﹣3，
∴原式＝﹣[（A+B）2﹣（A﹣B）2]
＝﹣4AB
＝﹣4••（x+2y﹣3）
＝﹣（x﹣3﹣2y）（x﹣3+2y）
＝﹣[（x﹣3）2﹣（2y）2]
＝﹣（x2﹣6x+9﹣4y2）
＝﹣x2+6x﹣9+4y2；
（4）∵（2019﹣m）+（m﹣2021）＝﹣2，
∴[（2019﹣m）+（m﹣2021）]2＝4，
∴（2019﹣m）2+2（2019﹣m）（m﹣2021）+（m﹣2021）2＝4，
∵（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝9，
∴2（2019﹣m）（m﹣2021）＝4﹣9＝﹣5；
∴（2019﹣m）（m﹣2021）＝﹣．
故答案为：﹣．
33．解：（1）∵（9﹣x）（x﹣6）＝1，（9﹣x）+（x﹣6）＝3
∴[（9﹣x）+（6﹣x）]2＝9，2（9﹣x）（x﹣6）＝2，
∴（9﹣x）2+（x﹣6）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝（9﹣x）2+（6﹣x）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝9，∴（9﹣x）2+（6﹣x）2＝9﹣2＝7；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，
∴a+b＝6，a2+b2＝16，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+b2+2ab＝36，
∴ab＝10，
∴S△ACF＝ab＝×10＝5．
34．解：设30﹣x＝a，x﹣20＝b，
∵（30﹣x）2+（x﹣20）2＝120，
∴a2+b2＝120，
则a+b＝30﹣x+x﹣20＝10，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（30﹣x）（x﹣20）＝ab＝＝（120﹣100）＝10．35．解：（1）阴影部分的面积为两个正方形的面积和可得：a2+b2，阴影部分的面积为大正方形的面积减去两个长方形的面积可得：（a+b）2﹣2ab；
于是a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
答：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）将a2+b2＝57，ab＝12，代入（1）中的等式得，57＝（a+b）2﹣2×12，即；（a+b）2＝81，
所以a+b＝±9，
又因为a＞0，b＞0，
所以a+b＝9；
（3）设a＝5﹣2x，b＝3﹣2x，则a﹣b＝2，
于是（5﹣2x）2+（3﹣2x）2＝60，即为a2+b2＝60，
所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝60，
即22+2ab＝60，
所以ab＝28，
即（5﹣2x）（3﹣2x）＝28．
36．解：（1）∵a2+b2＝10，a+b＝4．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴2ab＝16﹣10＝6．
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．
∴a﹣b＝±2．
（2）∵（ax﹣3）（2x+1）﹣2x2+m
＝2ax2+ax﹣6x﹣3﹣2x2+m
＝（2a﹣2）x2+（a﹣6）x+m﹣3．
∵不含x2项与常数项．
∴2a﹣2＝0，m﹣3＝0．
∴a＝1，m＝3．
∵an2+mn＝1．
∴n2+3n＝1．
∴2n3+5n2﹣5n+2022＝2n3+6n2﹣n2﹣5n+2020．
＝2n（n2+3n）﹣n2﹣5n+2020
＝2n﹣n2﹣5n+2020
＝﹣（n2+3n）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
37．解：（1）①∵x﹣y＝﹣3，
∴（x﹣y）2＝（﹣3）2，x2﹣2xy+y2＝9，
∵xy＝﹣2，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝5．
②∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴（x+y）2＝5+2×（﹣2）＝5﹣4＝1．
（2）∵m+n﹣p＝﹣10，
∴（m﹣p+n）2＝102，即（m﹣p）2+2（m﹣p）•n+n2＝100，
∵（m﹣p）•n＝﹣1，
∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）•n＝100﹣2×（﹣1）＝100+2＝102。