高中数学：2.31 平面向量基本定理 Word版含答案

2．3平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1平面向量基本定理
[教材研读]
预习课本P93～94，思考以下问题
1．平面向量基本定理的内容是什么？
2．如何定义平面向量基底？
3．两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？
[要点梳理]
1．平面向量基本定理
2．向量的夹角
作向量OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角
0°≤θ≤180°
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．任意两个向量都可以作为基底．( )
2．一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( )
3．零向量不可以作为基底中的向量．( ) [★答案★] 1.× 2.× 3.√
题型一 用基底表示向量
思考：如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？
提示：不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示．
如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分
别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示DC →，BC →
，MN →.
[解] 如图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形．
则DC →＝AN →＝12AB →＝12a ；
BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a ；
MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD → ＝－AD →－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
－12AB →＝14a －b .
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[跟踪训练]
如图所示，已知在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点．若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 为基底表示向量DE →，BF →.
[解] ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，
∴AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →. ∴BE →＝12AD →＝12b ， CF →＝12CD →＝12BA →＝－12AB → ＝－12a .
∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －1
2b .
BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a . 题型二 向量的夹角
思考：平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
提示：存在． 不一样．
已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹
角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.
[思路导引] 利用图形作a 与b 及a ＋b 与a －b ，从而求得a ＋b 与a 及a －b 与a 的夹角．
[解] 如图，作OA →＝a ，OB →
＝b ，且∠AOB ＝60°，
以OA 、OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →
＝a －b ， BC →＝OA →
＝a .
因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.
因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.
(1)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1，λ2是非零常数)的夹
角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
[跟踪训练]
若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． [解] 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a 、b 为邻边的平行四边形两条对角线．
如右图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.
又∵OC →
＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°. 题型三 平面向量基本定理的应用
如下图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B
的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b .
若OE →＝λOA →
，求实数λ的值．
[思路导引] 由题知C ，E ，D 三点共线，从而由EC →∥DC →
求解． [解] 由题意知，BA →＝AC →＝OA →－OB →
＝a －b ∴OC →＝OA →＋AC →
＝2a －b 又∵EC →＝OC →－OE → ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b
而C ，E ，D 三点线．
∴EC →∥DC →，∴2－λ2＝153
，∴λ＝45.
(1)若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．
(2)若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两个不共线向量作为基底，而后用上述方法求解．
[跟踪训练]
如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →
＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →
.
[解] OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b ， 因为OP →与OM →共线，故可设OP →＝tOM →＝t 3a ＋2t 3b .
又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB → ＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝3
4(1－s )a ＋s b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
34(1－s )＝t 3，s ＝2
3t ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
t ＝910，
s ＝3
5.
所以OP →＝310a ＋3
5b .
课堂归纳小结
1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用．
2．本节课要重点掌握以下三个问题 (1)用基底表示向量，见典例1； (2)向量的夹角，见典例2；
(3)平面向量基本定理的应用，见典例3. 3.本节课的易错点有两处
(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2.
(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角.
1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A ．e 1－e 2，e 2－e 1
B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2
C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2
D ．e 1＋e 2，e 1－e 2
[解析] 显然向量e 1＋e 2与向量e 1－e 2不共线，故选D.
[★答案★] D
2．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下面关于向量a ，b 的判断正确的是( )
A ．a 与b 一定共线
B ．a 与b 一定不共线
C ．a 与b 垂直
D ．a 与b 中至少有一个为0
[解析] 由平面向量基本定理可知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0.
[★答案★] B
3．设e 1，e 2为基底，AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →
＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )
A ．2
B ．－3
C ．－2
D ．3
[解析] ∵BD →＝CD →－CB →
＝3e 1－3e 2－(2e 1－e 2)＝e 1－2e 2，A ，B ，
D 三点共线，∴AB →＝λBD →
，即e 1－k e 2＝λ(e 1－2e 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＝λ，k ＝2λ，∴k ＝2. [★答案★] A
4．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →
＝a ，BE →＝b ，则BC →
＝( )
A.43a ＋23b
B.23a ＋43b
C.23a －23b
D.－23a ＋23b
[解析] 设AD 与BE 的交点为F ，则AF →＝23a ，BF →＝23b .由AB →＋BF →
＋F A →＝0，得AB →＝23(a －b )，所以BC →＝2BD →＝2(AD →－AB →)＝23a ＋43b .
[★答案★] B
5．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为__________．
[解析]由题意可画出图形，
在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
[★答案★]90°。