材料力学扭转练习题

材料力学扭转练习题
基本概念题
一、选择题
1. 图示传动轴，主动轮A的输入功率为PA =0 kW，从动轮B，C，D，E的输出功率分别为PB =0 kW，PC = kW，PD = 10 kW，PE = 1kW。

则轴上最大扭矩T。

A．BA段 B．AC段 C．CD段 D．DE段
max出现在
题1图
2. 图示单元体的应力状态中属正确的纯剪切状态的是。

题2图
3. 上题图示单元体的应力状态中属正确的是。

4. 下列关于剪应力互等定理的论述中正确的是。

A．剪应力互等定理是由平衡
B．剪应力互等定理仅适用于纯剪切的情况
C．剪应力互等定理适用于各种受力杆件
D．剪应力互等定理仅适用于弹性范围
E．剪应力互等定理与材料的性能无关
5. 图示受扭圆轴，其横截面上的剪应力分布图正确的是。

-12-
题5图
6. 实心圆轴，两端受扭转外力偶作用。

直径为D时，设轴内的最大剪应力为?，若轴的直径改为D2，其它条件不变，则轴内的最大剪应力变为。

A．8? B．?C．16? D．?
7. 受扭空心圆轴，在横截面积相等的条件下，下列承载能力最大的轴是。

A．??0 B．??0.5C．??0. D．??0.8
8. 扭转应力公式T?的适用范围是。

Ip
A．各种等截面直杆 B．实心或空心圆截面直杆
C．矩形截面直杆 D．弹性变形 E．弹性非弹性范围 9. 直径为D的实心圆轴，最大的容许扭矩为T，若将轴的横截面积增加一倍，则其最大容许扭矩为。

A．2TB．2T C．22TD．4T
10. 材料相同的两根圆轴，一根为实心，直径为D1；另一根为空心，内径为d2，外径为D2d2D??。

若两轴横截面上的扭矩T，和最大剪应力?max均相同，则两轴外径之比1 D2D2为。

A．1??B．1?? C．343D．4
11. 阶梯圆轴及其受力如图所示，其中AB段的最大剪
应力?max1与BC段的最大剪应力?max2的关系是。

A．?max1??max2B．?max1?313?max2C．?max1??max2D．?ma x1??max248
-13-
题12图题13图
12. 在图示的圆轴中，AB段的相对扭转角?1和BC段的相对扭转角?2的关系是。

A．?1??2B．?2?8164?1C．?2??1D．?2??1 33
13. 在上题图示圆轴左段实心，右段空心，其中右段和左段的最大剪应力?max右和?max左之比?max右max左?。

A．3B．1/ C．6D．2/
14. 在上题图示圆轴中，右段的相对扭转角?右和左段的相对扭转角?左的比?右左?。

A．8／ B．16／ C．3／ D．24
15. 受扭圆轴的强度条件和刚度条件均与有关。

A．材料性质B．扭矩大小C．扭矩转向
D．圆轴的长度E．圆轴横截面尺寸
二、判断题
1. 受扭圆轴横截面上的最小剪应力一定等于零。

2. 当材料和横截面积相同时，空心圆轴的抗扭承载能
力大于实心圆轴。

3. 在扭转外力偶矩作用处，扭矩图发生突变。

4. 材料和外圆半径相同时，空心圆轴的抗扭强度大于实心圆轴。

5. 受扭圆轴横截面上，半径相同的点的剪应力大小也相同。

6. 空心和实心圆轴横截面积相同时，空心圆轴的Ip 和Wt值较大。

三、填空题
1. 受扭构件所受的外力偶矩的作用面与杆轴线。

2. 受扭圆轴的横截面的内力是，应力是。

3. 实心圆轴横截面上处剪应力最大，中心处剪应力。

-14-
4. 公式??Tl适用于；式中GIp是，它反映GIp
了。

5. 在弹性范围内，若只将等截面圆轴的长度增大一倍，其它条件不变，则圆轴的最大应力；单位长度扭转角，总相对扭转角。

6. 外径为D，内径为d = 0.5D的空心圆轴，两端受扭转外力偶矩m作用时，轴内最大剪应力为?。

若轴的外径不变，内径改为d??0.8D，则轴内的最大剪应力变为。

7. 扭转应力公式T?适用或截面直杆。

Ip
8. 材料相同的两根圆轴，一根为实心轴，直径为D1；另一根为空心轴，内径d2，外径为D2，d2??。

若两轴横截面上的扭矩T和最大剪应?max均相同，则两轴的横截面积D2
之比A1?。

A2
9. 一受扭空心圆轴，其内外径之比??d。

轴内最大剪应力为?max，这时横截面上D
内圆周处的剪应力??。

10. 矩形截面杆受扭时，横截面上的最大剪应力出现在；
的点在和处。

11. 矩形截面杆受扭时，横截面上边缘各点的剪应力方向。

计算题
1. 内、外直径分别为d和D的空心轴，其横截面的极惯性矩为Ip??D4
32??d4
32，抗扭截面系数为Wt??D3
16??d3
16。

以上算式是否正确？何故？
题1图
-15-
2. 阶梯形圆轴直径分别为d1 ＝40 mm，d＝0 mm，轴上装有三个带轮，如图所示。

已知由轮3输入的功率为P ＝30 kW，轮1输出的功率为P1 ＝1kW，轴作匀速转动，转速n ＝00 r/min，材料的剪切许用应力[τ] ＝0 MPa，G ＝0 GPa，许用扭转角[φ‘]＝2°/m。

试校核轴的强度和刚度。

题2图题3图
3. 机床变速箱第Ⅱ轴如图所示，轴所传递的功率为P ＝.kW，转速n ＝00 r/min，材料为45钢，[τ]＝0 MPa。

试按强度条件初步设计轴的直径。

4. 传动轴的转速为n ＝00 r/min，主动轮1输入功率P1 ＝6kW，从动轮2和3分别输出功率P＝ 14kW，P＝21 kW。

已知[τ] ＝0 MPa，[φ′] ＝1°/m，G ＝80 GPa。

试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。

若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。

主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？
题4图题5图题6图
5. 设圆轴横截面上的扭矩为T，试求四分之一截面上内力系的合力的大小、方向及作用点。

6. 钻头横截面直径为20 mm，在底部受均匀的阻抗扭矩m的作用，许用切应力[τ]＝0 MPa。

求许可的主动外力偶矩Me。

若G ＝0 GPa，求上端对下端的相对扭转角。

-16-
材料力学扭转
6.1 扭转的概念
扭转是杆件变形的一种基本形式。

在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用；图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。

图6—1图6—2图6—3
这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面与杆件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。

这种形式的变形称为扭转变形。

以扭转变形为主的直杆件称为轴。

若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。

图6—4
6.2扭矩和扭矩图
6.2.1 外力偶矩
作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。

它们的关系式为
M?9550P n
其中：M——外力偶矩;
P——轴所传递的功率；
n——轴的转速。

外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。

6.2. 扭矩
圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。

根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。

由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用Mn 表示。

扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N·m或kN·m。

当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内的扭矩。

如图6-5所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为M的外力偶作用。

为求杆任一截面m-m的扭矩，可假想地将杆沿截面m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图6-5中所示的左端。

由平衡条件
MX0
可得 Mn?M
图6—5
注意，在上面的计算中，我们是以杆的左段位脱离体。

如果改以杆的右端为脱离体，则在同一横截面上所求得的扭矩与上面求得的扭矩在数值上完全相同，但转向却恰恰相反。

为了使从左段杆和右段杆求得的扭矩不仅有相同的数值而且有相同的正负号，我们对扭矩的
正负号根据杆的变形情况作如下规定：把扭矩当矢量，即用右
手的四指表示扭矩的旋转方向，则右手的大拇指所表示的方向
即为扭矩的矢量方向。

如果扭矩的矢量方向和截面外向法线的
方向相同，则扭矩为正扭矩，否则为负扭矩。

这种用右手确定
扭矩正负号的方法叫做右手螺旋法则。

如图6-6所示。

按照这一规定，园轴上同一截面的扭矩便具
有相同的正负号。

应用截面法求扭矩时，一般都采用设正法，
即先假设截面上的扭矩为正，若计算所得的符号为负号则说明
扭矩转向与假设方向相反。

当一根轴同时受到三个或三个以上外力偶矩作用时，
其各
图6-6扭矩正负号规定段横断面上的扭矩须分段应用截面法计算。

6.2. 扭矩图
为了形象地表达扭矩沿杆长的变化情况和找出杆上最大扭矩所在的横截面，我们通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形。

此图称为扭矩图。

绘制扭矩图时，先按照选定的比例尺，以受扭杆横截面沿杆轴线的位置x为横坐标，以横截面上的扭矩Mn为纵坐标，建立Mn—x直角坐标系。

然后将各段截面上的扭矩画在Mn—x坐标系中。

绘图时一般规定将正号的扭矩画在横坐标轴的上侧，将负号的扭矩画在横坐标轴的下侧。

例6-1 传递功率的等截面圆轴转速n=120rpm，轴上各有一个功率输入轮和输出轮。

已知该轴承受的扭矩Mn?450N·m，求：轴所传递的功率数。

解：因为等截面圆轴上只有两个外力偶作用，且大小相等、方向相反，故轴所承受的扭矩大小等于外力偶矩，即
M=Mn=1450M?Mn?1450 N·m
根据式， M?9550
由此求得轴所传递的功率为
P?P nM?n1450?120??18.2kN5509550
例6- 传动轴如图6-7所示，已知主动轮的输入功率P1?20 KW，三个从动轮的输出功率P2?KW、P3?KW、P4?10 KW，轴的转速n?200 rpm。

绘制轴的扭矩图。

图6—7
解： 1）计算作用在主动轮上的外力偶矩M1和从动轮上的外力偶矩M2、M3、M4。

M1?P120?9550??95N·m n200 M2?P25?9550??23N·m n200
M3?P35?9550??23N·m n200
M4?P410m ?9550??47N·n200
2) 求各段截面上的扭矩。

截面1-1上的扭矩，由平衡方程
M0 M2Mn10
解得Mn1??M2??23N·m
截面2-2上的扭矩，由平衡方程
M0 M2M3Mn20
得Mn2??M2?M3??239?239??47N·m
截面3-3上的扭矩，由平衡方程
M0 M4Mn30 M4－Mn3=0
得Mn3?M4?47N·m
3) 画扭矩图
根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线的变化情况，画在Mn—x坐标系中，如图6-7所示。

从图中看出，最大扭
矩发生于BC段和CD内，且Mmax?478N·m。

对同一根轴来说，若把主动轮C安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将发生变化。

这时，轴的最大扭矩变为：Mmax?95N·m。

可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。

因此主动轮和从动轮的布局要尽量合理。

6. 扭转时的应力与强度计算
6.3.1圆轴扭转时横截面上的应力
为了说明圆轴扭转时横截面上的应力及其分布规律，我们可进行一次扭转试验。

取一实心圆杆，在其表面上画一系列与轴线平行的纵线和一系列表示圆轴横截面的圆环线，将圆轴的表面划分为许多的小矩形，如图6-8所示。

若在圆轴的两端加上一对大小相等、转向相反、其矩为M的外力偶，使园轴发生扭转变形。

当扭转变形很小时，我们就可以观察到如图6-8所示的变形情况：虽然圆轴变形后，所有与轴线平行的纵向线都被扭成螺旋线，但对于整个圆轴而言，它的尺寸和形状基本上没有变动；原来画好的圆环线仍然保持为垂直于轴线的圆环线，各圆环线的间距也没有改变，各圆环线所代表的横截面都好像是“刚性圆盘”一样，只是在自己原有的平面内绕轴线旋转了一个角度；各纵向线都倾斜了相同的角度?，原来轴上的小方格变成平行四边形。

图6—8
根据从试验观察到的这些现象，可以假设：在变形微小的情况下，轴在扭转变形时，轴长没有改变；每个截面都发生对其它横截面的相对转动，但是仍保持为平面，，其大小、
形状都不改变。

这个假设就是圆轴扭转时的平面假设。

根据平面假设，可得如下结论：因为各截面的间距均保持不变，故横截面上没有正应力；由于各截面绕轴线相对转过一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，出现了剪切变形，故横截面上有切应力存在；因半径长度不变，切应力方向必与半径垂直；圆心处变形为零，圆轴表面的变形最大。

综上所述，圆轴在扭转时其横截面上各点的切应变与该点至截面形心的距离成正比，由剪切胡克定律，横截面上必有与半径垂直并呈线性分布的切应力存在，故有k?。

图6—9
扭转切应力的计算如图6—9所示，在圆轴横截面各微面积上的微剪力对圆心的力矩的总和必须与扭矩Mn相等。

因微面积dA上的微剪力??dA对圆心的力矩为dA，故整个横截面上所有微力矩之和为
Mn?
将IdA，故有 A??dA?KdA AA2??dA定义为极惯性矩，则
A
由此得 Mn?/I? 显然，当??0时，??0；当??R时，切应力最大。

令Wn?
I?，则式为 ?max?Mn Wn
其中，Wn—抗扭截面系数。

注意：式及式均以平面假设为基础推导而得，故只能限定圆轴的?max不超过材料的比例极限时方可应用。

6.3. 极惯性矩I? 和抗扭截面系数Wn
1、实心圆轴截面
设圆轴的直径为d,在截面任一半径r处，取宽度为dr 的圆环作为微元面积。

此微元面积dA?2??r?dr,如图6-10所示。

第三章扭转
3．1作图示各杆的扭矩图。

解：
T1
1)求 1-1截面上的扭矩
假设T1为正，方向如上图所示。

由∑m=0 T1+m+m=0得T1= -2m，所以其实际为负。

T
)求-2截面上的扭矩
假设T2为正，方向如上图所示。

由∑m=0 T+m=0
得T2= -m，所以其实际为负。

解：
1)求 1-1截面上的扭矩
假设T1为正，方向如上图所示。

由∑m=0 T1+m =0
得T1= -m，所以其实际为负。

2
2)求-2截面上的扭矩
假设T2为正，方向如上图所示。

由∑m=0 T2+m-3m=0 得T2=m，所以其实际为正解：
T1
1)求 1-1截面上的扭矩
假设T1为正，方向如上图所示。

由∑m=0 T1-10-15-20+30=0
得T1= 15KN.m，所以其实际为正。

T
m
题3.2图
3.5D=50mm直径的圆轴，受到扭矩T=2.15KN.m的作用。

试求在距离轴心10mm处的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。

解：求距离轴心10mm处的剪应力，由
IP=πD4/32=π×0.054/32=6.13×10-m Wt= IP/R=6.13×10-7/0.025=2.454×10-m3
τρ=Tρ/ IP=2.15×103×10×10-3/ =35MPa
求轴横截面上的最大剪应力
τmax=T/ Wt=2.15×103/ =87.6MPa
3.8阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图所示。

已知由轮3输入的功率为N3=30kW，轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的剪切许用应力[τ] =60MPa，G=80GPa，许用扭转角[φ] =2o/m。

试校核轴的强度和刚度。

解：计算扭矩大小
AD段T1= m1=9549N1 / n =9549×1/200=621N.m
DB段T2= m3=9549N/ n
=9549×30 /200=1432N.m
强度校核
AC段τmax= T1 / Wt 1= 1T1 / 题3.8图
3-6
=16×621/ =49.MPa DB段τmax= T/ Wt= 16T/
=16×1432/ =21.MPa CD段和AC段相比：扭矩相同，而 dCD > dAC, 故CD段最大剪应力τmax小于剪切许用应力[τ]。

故强度满足刚度校核
AC段φmax= 180T1 / =2×621×180 / = 1.7o/m dA C, 故CD段最大扭转角φmax小于许用扭转角[φ]。

故刚度满足
3.1传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入的功率为N1=500马力，从动轮2和3分别输出的功率为N2=200马力，N3=300马力。

已知[τ] =70MPa，[φ] =1o/m， G=80GPa。

试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。

若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。

主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？
解：确定轴径计算扭矩大小
AB段 T1= m1=7024N1 / n
=7024×500 /500=7024N.m BC段T2= m3=7024N/ n =7024×300 /500=4214.4N.m 设计AB段轴径按强度条件τmax= T1 / Wt 1= 1T1 / ≤ [τ]
得d1≥[16×7024/ ]1/3=79.95mm
按刚度条件
φmax= 180T1 / =2×180×T1 / ≤[φ]
d1≥[32×180×702/ ]1/=84.6mm故应按刚度条件取轴径d1=84.6mm 设计BC段轴径按强度条件d2≥[16×4214.4/ ]1/3=67.4mm
按刚度条件d2≥[32×180×4214./ ]1/=74.5mm
故应按刚度条件取轴径 d2=74.5mm
若AB和BC两段选用同一直径则应取d=84.6mm。

主动轮应放在两个从动轮之间才比较合理。

3.17由厚度t=8mm的钢板卷制成的圆筒，平均直径为D=200mm。

接缝处用铆钉铆接。

若铆钉直径d=20mm，许用剪应力[τ] =60MPa ,许用挤压应力[σbs] =160MPa，筒的两端受扭转力偶矩m=30KN.m作用，试求铆钉的间距s。

解：计算圆筒横截面上的剪应力τ
τ= m/ =30×103/=59.6MPa
′
由剪应力互等定理，圆筒纵截面上的剪应力τ =τ=59.6MPa 按铆钉剪切,挤压强度条件求铆钉的间距s ′
剪切强度条件τ1= Q / A=stτ/ ≤[τ]
′
s≤πd[τ] / =π×4×10-4×60×106/ =39.5mm
′
挤压强度条件σbs = P / Abs= stτ/ ≤[σbs]
′
s ≤[σbs] td / =×10-2×160×106/ =53.6mm 故铆钉的间距s≤39.5mm
′
3.2 钻头横截面直径为20mm，在顶部受均匀的阻抗扭
矩mN·m/m的作用，许用剪应力[τ]=70MPa。

求许可的m。

若G=80GPa，求上端对下端的相对扭转角。

解：求任意横截面扭矩大小 T=m
′
T= x·m 显然各横截面扭矩绝对值最大值为Tmax = m 求许可的m 按强度条件
τmax= Tmax / Wt =16m / ≤ [τ]
m≤π×70×106×23×10-6/16=110N.m 许可的m=110N·m
′ ′
由m= 0.1×m得m= 1100 N·m/m
求上端对下端的相对扭转角υ
得υ=0.2m / +0.5×0.01×1100×3/ =0.02rad。