高中数学易错题分类及解析

高中数学中的易错题分类及解析高中数学中的易错题分类及解析
成都玉林中学成都玉林中学 周先华周先华周先华
关键词：高考关键词：高考 数学数学 易错题易错题
全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩..易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性..易错题的分类解析易错题的分类解析::分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析..本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集..下表是易错题分类表：表是易错题分类表：
正 文
数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动..从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构..所以，数学中有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素都是严重影响考生数学成绩的重要因素. .
一．易错题的典型特征
解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关它既与数学学习环境有关,,又与试题的难易程度有关又与试题的难易程度有关..同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关与考生的数学水平、身体与心理状况有关. .
1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物..而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程..部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍. . 2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成..数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强现的，因此易错点的隐蔽性很强. .
3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. .
4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点：学生的认识结构有其个性特点..在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取..在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”..只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”立建全解题的“警戒点”,,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少. .
二、易错题的分类解析
1.数学概念的理解不透
数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性本的、最重要的本质属性..每一个概念都有一定的外延与内涵每一个概念都有一定的外延与内涵..而平时学习中对概念本质的不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错. . 例1.若不等式ax 2
+x+a +x+a＜＜0的解集为的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（的取值范围（ ）） A.a A.a≤≤-2
1或a ≥
2
1 B.a B.a＜＜
2
1 C.-2
1≤a ≤
2
1 D.a D.a≥≥
21
【错解】选A.A.由题意，方程由题意，方程ax 2
+x+a=0的根的判别式20140a D <Û-<Û a a≤≤-21或a ≥2
1，所以选
A.
【错因分析】对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握，忽视了开口方向对题目的影响忽视了开口方向对题目的影响. .
【正确解析】【正确解析】D D .不等式ax 2
+x+a +x+a＜＜0的解集为的解集为 Φ，若a=0,a=0,则不等式为则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0¹；
要不等式ax 2+x+a +x+a＜＜0的解集为的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2
+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且
2
01401
20
a a a ìD £Û-£Û³í>î.
例 2. 命题“若△ABC 有一内角为
3
p
，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（的三内角成等差数列”的逆命题是（ ） A ．与原命题真值相异．与原命题真值相异 B ．与原命题的否命题真值相异．与原命题的否命题真值相异 C ．与原命题的逆否命题的真值不同．与原命题的逆否命题的真值不同 D ．与原命题真值相同．与原命题真值相同 【错解】选A.A.因为原命题正确，其逆命题不正确因为原命题正确，其逆命题不正确因为原命题正确，其逆命题不正确. .
【错因分析】本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误：逆命题——将原命题的题设和结论交换、否命题——将原命题的题设和结论同时否定，逆否命题——将原命题的题设和结论交换后再同时否定，原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题，互为逆否的命题是等价的题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题，互为逆否的命题是等价的..
【正确解析】选D.D.显然，原命题正确；其逆命题为：显然，原命题正确；其逆命题为：“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为
3
p
”.也正确，所以选D. 例3.判断函数f(x)=(x －1)
x
x
-+11的奇偶性为____________________ 【错解】偶函数.f(x)=2
21(1)(1)(1)
(1)(1)111x x x x x x x x
x
++--=
=+-=---，所以
2
2
()1()1()f x x x f x -=--=-=，所以f （x ）为偶函数. 
【错因分析】上述解法有两个错误：【错因分析】上述解法有两个错误：11未考虑函数的定义域；未考虑函数的定义域；2.x-1<02.x-1<02.x-1<0，放入根号内后根号前应添负号，放入根号内后根号前应添负号，放入根号内后根号前应添负号. .
【正确解析】非奇非偶函数【正确解析】非奇非偶函数.y=f(x).y=f(x).y=f(x)的定义域为：的定义域为：(1)(1)0
1011
10
1x x x
x x x +-³ì+³ÛÛ-£<í-¹-î，定义域不
关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数. .
例4.(2011四川四川))1
l ，2
l ，3
l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ））
(A)12l l ^，23l l ^13//l l Þ （B ）12l l ^，3//l l Þ13l l ^ (C)123////l l l Þ 1l ，2l ，3l 共面共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点Þ1l ，2l ，3l 共面共面
【错解】错解一：选A.A.根据垂直的传递性命题根据垂直的传递性命题A 正确；正确；
错解二：选C.C.平行就共面；平行就共面；平行就共面；
【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致. .
【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面. 
例5.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( ) A.充分非必要条件充分非必要条件 B.必要非充分条件必要非充分条件 C.充要条件充要条件 D.既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件
【错解】【错解】C.C.C.当当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立成立 . 【错因分析】对等比数列的定义理解不透【错因分析】对等比数列的定义理解不透. .
【正确解析】选D.D.若若x=a=0x=a=0，，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列，不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b 成等比数列，则2
x ab x ab =Û=±，所以x=ab 不一定成立，必要性不成立所以选D. 例6．(1)(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. (2)(2)某种产品某种产品100件，其中有次品5件，现从中任抽取6件，求恰有一件次品的概率. 分析: 
（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81
【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，
反、正、正，因此所求概率,8
3
=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现
是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m
P =自
然就是错误的. 
（2） 【错解】由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复实验概率公式，
得：6件产品中恰有1件次品的概率为：23210)10051(1005)1(5166=-=C P . 
【正解】在上题的解法中有两个错误：第一，100件产品，件产品，其中有其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念；第二，该实验不是独立重复实验，从100件产品中任抽6件，可当作抽了6次，每次抽1个，但每次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率，具体地说，如果第一次抽出的是次品，那么次品就少了一个，第二次再抽到次品的概率就小了…这就是说各次实验之间并非独立的，错用了独立重复实验概率公式，正确解法应为：2430.06100
595
15
==C
C C P . 
2.公式理解与记忆不准
数学公式众多，学生在应用公式解决数学问题时，由于理解不准确（例如公式成立的条件未考虑）或记忆不准确，极易导致运算失误.例如公式2(0,0,a b ab a b +³>>当且仅当a=b 时“=”成立）中极易忽略数a,b 均为正和取等号的条件，还有学生把我们常用的一些公式记成下面的一系列错误公式：x x =2，
111>Þ<x x
，2
)(v v
u v u v u
¢+¢=¢，y x y x a a a log log )(log ×=+等等. 例7.若1,0,0=+>>y x y x ，则
y
x
4
1+
的最小值为___________. 
【错解】 y
x
41
+
8)2
(1
442
2=+³³y x xy
，错解原因是忽略等号成立条件. 
【正解】 y
x
41+
=
945)(4³++=+++y
x
x y y y x x y x 例8.8. 函数y=sin 4x+cos 4x －4
3的相位____________，初相为__________ .周期为周期为_________，单调递增区间
为____________. 【错解】y=sin 4x+cos 4x －
43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2
p
，增区间为…. 【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数..教材中关于相位、初相……的定义是在正弦型函数的基础上.
【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －
43=
1
1
cos 4sin(4)442x x p =+.相位为42x p
+，初相为2p ，周期为2
p
，单调递增区间为21[,]()42
k k k Z p p -Î.
3.审题不严
审题，是解题的第一步，考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混审题，是解题的第一步，考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混不清等错误不清等错误. . （1）读题不清
例9.(2011四川四川))已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1
()()12
x
f x =+，则()f x 的反函数的图像
大致是大致是
【错解】选B.B.因为因为1
()2x
y =在0x >内递减，且1
()()12
x f x =+过点（过点（00，2）
，所以选B. 【错因分析】考生未看清楚题目是求()f x 的反函数的图像的反函数的图像. .
【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当
1
0,0()1,122
x x y ><<Þ<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排
除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A.
例10.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为（致的坐法种数为（ ）
A ．120 B.119 C.110 D.109 
【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”， 三个号码一致有3252C A 种，四个号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为55
33
2
2
552199A C A --=，无选项.
多有一盒次品的概率是 . 
多有一盒次品的概率是
（2）忽视隐含条件
1
)
)
)y =1, =1, 求828x=－－ －∞, , ].
+ y =1 y 的取值范围是[1, [1, ].
（3）字母意义含混不清
x y5 4.运算错误
（1）数字与代数式运算出错
221
1
k k ++2211
k k ++（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错
OQ OP 为 . 
22
65,2x x OP OP 的值为的值为 2
2
33
1()3
-36
【正确解析】
6
66（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错 AB （4）计量单位缺乏量纲意识
x 5
3300003
-x 300003]x -].31006000),300005
3-x ]310030000-x )].3100
200003
=
Þt .时y 最大，此时对甲商品资金投入量为9999999775.29999)20000
3
(300002=-=x 元，对乙商品资金投入量为0.0000000225元.，此时甲商品获得利润60000000.000045元.（不管怎样分配，甲商品都赚了投入资金的1999倍的钞票！）
【错解三】设对甲种商品投入金额x 元，则乙种商品投资为30000-x 元，获得利润总额为y 元. 
由于利润总额单位为万元，故)300005
351(100001
x x y -+=，
令]3100,0[,300000,300002
Î-==-t t x t x 则
t t y 500003)30000(500001
2+--=].3100,0[],209
6000)23[(5000012Î+--=t t （元）元）25.230000,(75.29997
2
3=-=Þ=
Þx x t . 【错因分析】量纲不统一，对经验公式x Q x P 5
3,51
==
的单位理解不清.从量纲角度看，长度立方为体积、
长度平方为面积（正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样），x Q 5
3
=的单位由经验公式给出的前提是变量x 的单位万元确定，因此，的单位万元确定，因此，
【正解一】设对甲种商品投入金额x 万元，是乙种商品投资为（3-x ）万元，获得的利润总额为y 万元. 由题意，得]3,0[,35
351Î-+
=
x x x y ,设]3,0[,3,32
Î-==-t t x t x 则，则，则
t t y 53)3(512+-=].3,0[,20
21)23(512Î+--=t t
2021
,]3,0[23m ax =
Î=\y t 时当,即43493=-=x ，4
943
33=-=-x . 因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万 元，获得的最大利润为1.05万元. 
【正解二】设对甲种商品投入金额x 元，则目标函数应该为元，则目标函数应该为 100003531000051
x
x
y -+×=
=x x -+30000500
3500001 令]3100,0[,300000,300002
Î-==-t t x t x 则
则20
21)150(5000015003)30000(500001
22+--=+-=
t t t y 7500300002
=-=Þt x （余与解一同）（余与解一同） 5.数学思维不严谨
（1）数学公式或结论的条件不充分
例23.已知：已知：a>0 , b>0 , a+b=1,a>0 , b>0 , a+b=1,a>0 , b>0 , a+b=1,求求(a+ 1a )2+(b+ 1b
)2
的最小值的最小值. .
【错解】【错解】 (a+ (a+a 1)2+(b+b 1)2=a 2+b 2+21a +21b +4+4≥≥2ab+ab 2
+4+4≥≥4ab
ab 1
·+4=8.
∴(a+
a 1)2+(b+b
1)2
的最小值是8. 【错因分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2
+b 2
≥2ab 2ab，第一次等号成立的条件是，第一次等号成立的条件是a=b=
2
1
,第二
次等号成立的条件是ab=
ab
1
，显然，这两个条件是不能同时成立的，显然，这两个条件是不能同时成立的..因此，因此，88不是最小值不是最小值. . 【正确解析】原式【正确解析】原式= a = a 2
+b 2+21a +
2
1b +4=( a 2+b 2)+(
21a +
21b )+4=[(a+b)2
－2ab]+[(
a 1+
b 1)－
ab
2]+4= (1]+4= (1－－
2ab)(1+
221b a )+4)+4，由，由ab ab≤≤(2b
a +)2=41 得：得：11－2a
b 2ab≥≥1－21=21, , 且且221b a ≥1616，，1+221b a ≥1717，∴原式，∴原式
≥21×17+4=225 ( (当且仅当当且仅当a=b=2
1时，等号成立时，等号成立))， ∴(a + a 1)2 + (b + b
1)2的最小值是25
2 .
例24.已知两正数x,y x,y 满足满足x+y=1,x+y=1,则则z=11
()()x y x y
++的最小值为的最小值为 . .
【错解一】因为对a>0,a>0,恒有恒有12a a
+
³,从而z=11
()()x y x y
++³4,4,所以
所以z 的最小值是 4. 【错解二】2
2
2222
()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-³22(21)-=-，
所以z 的最小值是2(21)-. 【错因分析】解法一中，等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x
y
=
=
==+=且即且与相矛盾；解法二中，
等号成立的条件是
2
,2xy xy xy ==即，与104
xy <£相矛盾相矛盾.
. 【正解】z=11
()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=2
1()22
2x y xy xy xy xy xy xy
+-++=+-，令t=xy, 则
2
10(
)24x y
t xy +<=£=，由2()f t t t =+在10,4æùçúèû上单调递减上单调递减,
,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334
,所以当12x y ==时z 有最小值33
4.
（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性思维的不严密性. .
例25．(1)(1)不等式不等式不等式|x+1|(2x |x+1|(2x |x+1|(2x－－1)1)≥≥0的解集为的解集为____________ ____________ (2)(2)函数函数11x
y x
+=-的定义域为的定义域为 . . 解析：解析：
（1）【错解】1[,)2+¥.因为因为|x+1||x+1|³0恒成立，所以原不等式转化为2x-1³0，所以1[,)2
x Î+¥ 【错因分析】忽略了当x=x=－－1时|x+1|=0原不等式也成立，即x=-1为不等式的解为不等式的解. .
【正确解析】}1{),2
1[-È+¥.原不等式等价于原不等式等价于|x+1|=0|x+1|=0或2x-1³0，所以解集为1
[,){1}2
x Î+¥È-. (2) (2) 【错解】【错解】
10(1)(1)011x
x x x x
+³Þ+-³Þ³-或1x £-.
【错因分析】两个错误：一是解分式不等式（方程）时未考虑分母不能为0；二是解二次不等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错. .
【正解】(1)(1)0(1)(1)01011
1011x x x x x
x x x x +-³+-£ìì+³ÞÞÞ-£<íí-¹¹-îî
例26.过点过点(0,1)(0,1)(0,1)作直线，使它与抛物线作直线，使它与抛物线x y 42
=仅有一个公共点，这样的直线有（仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A.1条
B.2条
C. 3条
D. 0条
【错解】设直线的方程为1+=kx y ，联立îíì+==1
42kx y x
y ，得()x kx 412
=+，
即：01)42(2
2
=+-+x k x k ，再由Δ＝0,0,得得k=1,k=1,得答案得答案A.
【错因分析】本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条掉了，故本题应有三解，即直线有三条. .
【正确解析】C.C.由上述分析，由上述分析，y 轴本身即为一切线，满足题意；解方程01)42(2
2
=+-+x k x k 时，若k=0k=0，，即直线y=1也与抛物线x y 42=仅有一个公共点，又k=1时也合题意，所以有三条直线合题意，选C. （3）解题时忽视等价性变形导致出错 例27.27. （1）已知f(x) = a x +
b
x
，若,6)2(3,0)1(3££££-f f 求)3(f 的范围的范围. . （2）已知集合}1|||{£-=a x x A ，}
03
30|
{2
³---=x x
x x B ，且F =B A ，求实数a 的取值范围的取值范围.
. 解析：（1）【错解】由条件得ïîï
íì£+££+£-6
2230
3b a b a ②①
由②×由②×22－①－① 156££a ③ ①×①×22－②得－②得 3
2
338
-££-
b ④ ③+④得 .3
43
)3(310,34333310£££+£f b a 即
【错因分析】采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) f(x) = = a x +
b
x
，其值是同时受b a 和制约的制约的..当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的. .
【正确解析】由题意有ïî
ïíì+=+=22)2()1(b a f b a f , , 解得：
解得：解得：
)],2()1(2[3
2
)],1()2(2[31
f f b f f a -=-=
).1(95)2(91633)3(f f b
a f -=+=\ 把把)1(f 和)2(f 的范围代入得的范围代入得 .3
37)3(316££f
（2）【错解】由题意，【错解】由题意，A A ：11a x a -££+
B ：2300(6)(5)(3)0{|63
x x x x x x x x --³Û-+-³Û³-或53}x -££……(后面略后面略)
) 【错因分析】求集合B 时，未考虑分式不等式中分母为零这一条件（若B 中不等式为()0f x >或()0f x <形式而不是()0f x ³或()0f x £则不需要考虑此问题）则不需要考虑此问题）. . 【正确解析】由题意，【正确解析】由题意，A=A={|11}x a x a -££+
B ：2(6)(5)(3)0300{|630
3x x x x x x x x x -+-³ì--³ÛÛ³í-¹-î或53}x -£<
由F =B A 则(,6)[4,5)a Î-¥- . 例28.已知数列{}n a 的前n 项和
12+=n n
S
，求.
n a
【错解】【错解】 .222)12()12(1111
----=
-=+-+=-=
n n n n n n n
n
S S a
【错因分析】【错因分析】 显然，当1=n 时，1231
111=¹==-
S a ，不满足上述公式，不满足上述公式. .
没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是n 2³.
【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2³时，时，
1111(21)(21)222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以1
3(1)
2
(2)n n n a n -ì=
ï=í³ïî.
例29.实数a 为何值时，圆0122
22=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
12=
有两个公共点有两个公共点. . 【错解】【错解】 将圆
0122
22=-+-+a ax y x 与抛物线与抛物线 x y 2
12=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(2
2³=-+--x a x a x ①①
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得ïï
îïïíì>->-=D .
01021202a a ，
， 解之得.817=a 【错因分析】如下图（【错因分析】如下图（11）（2）.显然，当0=a 时，圆与抛物线有两个公共点时，圆与抛物线有两个公共点. .
1114
3
q q q q
q q 43
x 
y 
O 
图1
x 
y 
O 
图2
（4）空间识图不准
数学运算能力包括空间想象能力数学运算能力包括空间想象能力数学运算能力包括空间想象能力..空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．表等手段形象地揭示问题的本质．
对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志．而空间识图不准导致的立何几何题目出错情况很多. 
例31．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB b a ÌÌAC ,，则∠BAC= . 
【错解】如右图由最小角定理，12
221cos cos cos 2223BAC BAC p
q q Ð=×=´=ÞÐ=
【错因分析】错解中忽视了AC 的另一位置OD OD，此时，此时2
3
BAD p Ð=.
【正确解析】3p
或23p .如下图.当6CAF p
Ð=时，由最小角定理，
12221cos cos cos 2223BAC BAC p q q Ð=×=´=ÞÐ=；当AC 在另一边DA 位置时，2
3
BAC p
Ð=
.
（5）推理方向的盲目性
根据题的已知条件及所求的特征，有时直接从已知出发，运用公式、定理等得结论，这是综合法；有时需要从结论出发，分析它的必要条件，直到得到一个明显成立的命题，时需要从结论出发，分析它的必要条件，直到得到一个明显成立的命题，这是分析法这是分析法.这是两种不同的推理方向，如果解题时失主理方向不正确，可能导致解题思路受阻或出错. 例32.32. 设f f ( 
( ( x x x ) ) ) = = = x x 3－2
1x 2
－2x ＋5，当]2,1[-Îx 时，f f ( 
( ( x x x ) ) ) < < < m m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . 
【错解】m>72.令2
'()320f x x x =-->，得f(x)的增区间为2(,),(1),(1,,)3-¥-+¥，f(-1)=112（区间左端点），7(1)2f =(极小值点)，所以]2,1[-Îx 时min 7()2f x =所以m>72.
【错因分析】推理方向的不正确，f ( x ) < m 恒成立应理解为max ()m f x >而不是min ()m f x >. 【正确解析】m>7.由题意，f f ( 
( ( x x x ) ) ) < < < m m 恒成立即max ()m f x >.令2
'()320f x x x =-->，得f(x)的增区间为2(,),(1),(1,,)3-¥-+¥，且f(2)=7，2
()73
f -<，结合f(x)的草图知，max
()7f x =，所以m>7.
（6）限域求值端点取值不正确
例33.若31<<-x ,则_____________;__________
1
12ÎÎ-x x
()])的取值范围是的取值范围是 . .
1,
3
,sin
,sin 4
26
63
6232
£
Þ£
Þ
£+
£
==)36
p +£.
【错因分析】当2663£+£时，根据正弦函数的图象，)6+[,1]2
3[,
]222,42663p p p p p £Þ£Þ£+£)6p
+1[,1]2n (6
+（7）说一套做一套，粗枝大叶，心里想的和手上写的不一致
tan tan 1=-+=
B
A 4
=. 。