高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)(解析版)

与
图象有三个交点，当
为两个图象交点，只需
时，只有一个交点，不合题意，当
在
有唯一零点。 时，
时， ，即
有唯一解。令
，
.令
得
，所以
， 单调递减；
时，
， 单调递增。
， 时，
，
时，
，所以要使
在
有唯
一解，只需
或
.故选 D.
10. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
6 / 20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数
2
2
由图可知 f x 1 有两个解，符合题意；
⑤当 a2 1 3 时，由 f t a2 1 ，得 t 无解，不符合题意.
2
4 / 20
综上所述， a2 1 3 或 3 a2 1 17 符合题意，
24
16
而 a 0 ，所以解得 a
2 2
或
a
0,
1 4
.
即实数
a
的取值范围为
a
0,
2 / 20
x
f (x) e 2
cos x
2 ．则函数
f (x) 在区间
8,16 上的零点个数是
（）
A．6
B．9
C．12
D．13
【答案】C
【解析】因为函数为 R 上的奇函数，所以必有 f（0）=0．
由 f x 4 f x 4 ，易得： f x f x 8 ，故函数周期为 8，
f
f
x a2
1（ a
0）
都恰有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )
A．
0,
1 4
2
2
B．
0,
1 4
C．
0,
1 4
D．
0,
1 4
2
2
【答案】A
【解析】函数
f
x
是定义域在
1 2
, 2
的“互倒函数”
当
x
1 2
,1
，则
1 x
1,
2
，
因为
f
x
f
1 x
，且当
x 1, 2 时，
1 4
2 .
2
故选：A.
7. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学（理)试题】
已知定义在 R 上的函数 满足：(1)
；(2)
为奇函数；(3)当
恒成立，则
的大小关系正确的为
时， 图象连续且
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】因为
，所以函数 是周期为 2 的周期函数.又由 为奇函数，所以有
f
m, n ，因为
f
m,
n
1 n en1
0, n 1，所以当 n
1 时，
f m, n 0 ；当 n《 1
时，
f m, n 0 ；因此当 n 1 时，
f
m, n max
1 e2
，选
C.
14. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知偶函数 满足
，且当
时，
，关于 的不等式
时，
， 当 时，
，由
可得
或
，
8 / 20
显然
在 上无正整数解，故而
在 上有 个正整数，分别为 ，
，
，故选 D.
15. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】
对于函数 f x 和 g x ，设 x f x 0 ， x g x 0 ，若存在, ，使得 1，则称
设函数 为定义域为 R 的奇函数，且
，当
时，
，则函数
在
区间
上的所有零点的和为（
）
A．6 B．7 C．13 【答案】A 【解析】由题意，函数
D．14 ，
，则
，可得
，即函数的周期
为 4，且 的图象关于直线 对称．
在区间
上的零点，即方程
的零点，分别画
与 的函数图象， 两个函数的图象都关于直线 对
称， 方程
f x 与 g x 互为“零点相邻函数”．若函数 f x ex1 x 2 与 g x x2 ax a 3互为“零点相邻函
数”，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．2, 4
B．
2,
7 3
C．
7 3
,
3
D． 2, 3
【答案】D
【解析】根据题意， 1，满足 f x与 gx互为“零点相邻函数”， 0 2 ，又因为函数
3. 【2020 届河北省衡水中学全国高三上学期期末大联考】 已知函数 y f (x) 的部分图象如下图所示，则 f (x) 的解析式可能为（ ）
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1 cos x A． x2 1
【答案】D
| x | 1 B． sin x2 1
sin x C． x2 1
x sin x D． x2 1
g x x2 ax a 3图 像 恒 过 定 点 (1, 4) ， 要 想 函 数 在 区 间 [0, 2] 上 有 零 点 ， 需
（-4）=f（12）. 所以共有 12 个零点． 故选 C ． 6．【2020 届河北省衡水中学高三年级小二调】
“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个
x ，都有
f
x
f
1 x
成立，若现在已知函数
f
x 是定义
域在
1 2
,
2
的“互倒函数”，且当
x
1,
2
时，
f
x
1 x2
1 2
成立.若函数 y
A． 2 B． 2019 C． 2018 D． 0
【答案】A
【 解 析 】 由 题 意 易 得 ： f x f x 2 ， ∴ 函 数 f x 的 图 象 关 于 点 0,1 中 心 对 称 ， ∴
f 2018 f 2018 2 ，由 f x f x 2 可得 f x 1 f x 1 0 ，∴ y f x 1为奇函
(x)
，所以
f
(x)
是奇函数，图象关于原点对称，所以
B，D
错误，
当 0 x 时， f (x) 0 ，所以 C 错误. 3
故选：A.
2.【2020 届河北省衡水中学高三上学五调考试】
已知定义在 R 上的函数 f (x) x 2 x ， a f (log3
5) ，b
f
(log3
1) ，c 2
max 2
min 4
f
3 2
17 18
，
f
3 4
17 16
.
设 t f x ，则
①当 a2
1
3 4
, 17 16
时，
f
t
a2
1 有两个解 t1 ， t2
，
其中
1 2
t1
3 4
，1
t2
3 2
，
f x t1 无解， f x t2 有两个解，符合题意；
②当
a2
1
17 16
时，由
f
t
的定义域为 ，
则 是偶函数，又
故选
9. 【河北省衡水中学 2018—2019 学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
已知
是减函数，且
有三个零点，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
【答案】D
【解析】当
C． ，
D． 单调递减，可得
在恒成立。当
，
恒成立，可
得
，而
，所以 ，当 ，
恒成立，可得
，而
，所以 ，
故 .由题意知： 由题意知， 和
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020 版)
专题 02 函数
一、选择题
1.【2020 届河北省衡水中学高三上学期五调】
函数
f
(x)
2 cos x 1 2x 2x 的部分图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
因为
f
(x)
2 cos x 1 2x 2x ，所以
f
(x)
f
的零点关于直线 对称，由图象可知交点个数为 6 个，可得所有零点的
和为 6，故选 A．
12. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
已知函数
f
x
2 2019x
1
sinx
，
其
中
f 'x为 函 数
f x的 导 数 ， 求
f 2018 f 2018
f '2019 f '2019 （ ）
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数 y= 是偶函数，排除 B．当 x=10 时，y=1000，对应点在 x 轴上方，排除 A，
当 x＞0 时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知 x= 是函数的一个极值点，排除 C．故选：D．
11. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
数.因为 f (x) x 2 x x 2x f (x) ，所以函数 f (x) 是奇函数，所以有
b f (log3
1) 2
f ( log3
1) 2
f (log3 2) ，因为 ln 3 1 log3
5 log3 2 0 ，函数 f (x) 在 x 0 时，
是增函数，所以 c a b ，故本题选 D.
在区间
上有且只有 个整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】 偶函数 满足
，
， 的周期为 ，且 的图象关于直
线 对称，由于
上含有 个周期，且 在每个周期内都是对称轴图形， 关于 的不等式
在 上有 个正整数解，当
时，
， 中 上单调递增，在 上单
调递减，
，当
在 上有 个正整数，不符合题意，
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数 ， ∴ y f x 1的 导 函 数 为 偶 函 数 ， 即 y f 'x 为 偶 函 数 ， 其 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， ∴ f '2019 f '2019 0 ∴ f 2018 f 2018 f '2019 f '2019 2
故选：A
13. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
，所以函数 为奇函数，又由当
时， 图象连续，且
恒成立，
得 函 数 在 区 间 （ -1 ， 1 ） 内 单 调 递 增 ， 而
.所以
5 / 20
.故选 C.
8. 【河北省衡水中学 2018—2019 学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
y lnx 2m 3 x n ， 得 ' 1 2m 3 0 x
1 ， 当 x
1
时，
y 0 ； 当
x
2m 3
2m 3
0 x 1 时， 2m 3
y 0 ；所以当 x 1 时， 2m 3
ymax
ln
1 2m 3
1 n
0, 2m 3
e1n ，从而
2m 3 n
n en1
a2
1 得 t1
3 4
， t2
4 3
，
由图可知此时 f x t 有四个解，不符合题意；
17
③当
16
a2
1
3 2
时，
f
t
a2
1 有两个解 t1 ， t2
，
其中
3 4
t1
1 ，1
t2
4 3
，
由图可知此时 f x t 有四个解，不符合题意；
④当 a2 1 3 时，由 f t 3 ，得 t1 t2 1，
【解析】由图可知，该函数的图象关于 y 轴对称，所以函数 f (x) 为偶函数，
所以选项 C 不符合；又因为 f ( ) 0 ，所以选项 A，B 不符合.
故选:D.
4. 【河北省衡水市衡水中学 2019—2020 学年高三上学期二调考试】
1 x 1 , x (, 2) 设函数 f (x) {1 f (x 2), x [2, ) ，则函数 F (x) xf (x) 1的零点的个数为( )
∴f（0）=f（-8）=f（8）=0
当
x 0, 4 时，
f
x
x
e2
cosx
2 ，有唯一零点 2
.
又函数为奇函数且周期为 8，易得：f（ ）=f（- ）=f( -8)=f( +8)=f(- +8)=f(- +16)
2
22
2
2
2
当 x=-4 时，由 f x f x 8 知 f 4 f 4 8 ，又 f（x）为奇函数，可得 f(4)=0,从而可知 f(4)=f
f (ln 3) ，则 a ， b ， c 的
大小关系为（ ）
A． c b a
B． b c a
C． a b c
D． c a b
【答案】D
【解析】当 x 0 时， f (x) x 2 x x 2x f ' (x) 2x x ln 2 2x 0 ，函数 f (x) 在 x 0 时，是增函
已 知 函 数 f x lnx, g x 2m 3 x n ， 若 对 任 意 的 x 0, , 总 有 f x g x 恒 成 立 ， 记 2m 3 n 的最小值为 f m, n ，则 f m, n 最大值为（ ）
A． 1
1
B．
e
1 C． e2
1
D．
e
【答案】C
【 解 析 】 由 题 意 得 lnx 2m 3 x n 对 任 意 的 x 0, 恒 成 立 ， 所 以 2m 3 0 ， 令
f
x
1 x2
1 2
，
3 / 20
所以
f
x
f
1 x
x2
1 2
，
所以
f
x
x
2
1 2
,
1 2
x
1
，
1 x2
1 2
,1
x
2
函数 y f f x a2 1都恰有两个不同的零点，
等价于 f f x a2 1有两个不等的实根，
作出 f x 的大致图像，如图所示，
可得 f x 3 ， f x 3 ，
2
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】
，转化为
如图，画出函数
和
的图像，
当
时，有一个交点，
当
时，
，
，此时
， 是函数的一个零点，
，
，满足
，所以在 有两个交点，
同理
，所以在 有两个交点，
，所以在 内没有交点，
当
时，恒有
所以，共有 6 个．
，所以两个函数没有交点
5. 【2020 届河北省衡水中学高三年级小二调】 设定义在 R 上的奇函数 y f (x) 满足：对任意的 x R ，总有 f (x 4) f (x 4) ，且当 x (0, 4) 时，