化工原理第4章
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根据牛顿第二定律得：
F F g F b F D m 6 d P 3 a P g 6 d P 3g 4 d P 2 1 2 u 2 6 d P 3 P d d
或者 ：
d du(P P)g4d3P Pu2
du 开始瞬间， ，u 最0 大，d 颗粒作加速运动。
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
p ui2
2 除了上述两个性能指标外，有的教材还介绍了另外一个性能指标，即临界直 径 d ，c d指c 旋风分离器能够分离的最小颗粒直径。
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5.3.2离心沉降设备
实验结果表明： ，D ，u锥体长度 ，H 2。粗短 形旋风分离器在
p
一定时，处理量大；细长形旋风分离器 p，但 ， 从 经济角度看一般可取
式中 C i进、
0
Ci进 Ci中粒径为
的d颗Pi粒的质量浓度，
。g / m 3
总效率与粒级效率的关系为：
0 xii
式中 x为i 进口气体中粒径为 d颗Pi粒的质量分率。
旋风通分②常离粒将器级经的效过分率旋割风直分径离可器小后至能被除下。3~5不10同%0m 的粒颗径粒的直粒径级dd称分PPci为离分效割率直不径同，。某些 高i 效
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5.2 颗粒的沉降运动
5.2.1 流体对固体颗粒的绕流 5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
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5.2.1 流体对固体颗粒的绕流
流体与固体颗粒之间的相对运动可分为以下三 种情况：
①颗粒静止，流体对其做绕流； ②流体静止，颗粒作沉降运动； ③颗粒与流体都运动，但保持一定的相对运动。
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进口气速 u1 。若~ 5 2 处m 理5 /量s大，则可采用多个小尺寸的旋风分离器并联操
作，这较用一个大尺寸的旋风分离器可望获得更高的效率，同样原因，投
入使用的旋风分离器处于低气体负荷下操作是不适宜的。
旋风分离器的内旋气流在底部旋转上升时，会在锥底成升力。即使在常压
下操作，出口气体直接排入大气，也会在锥底造成显著的负压。如果锥底集
总效率并不能准确地代表旋风分离器的分离性能。因为气体中颗粒大小不等， 各种颗粒被除下的比例也不相同。颗粒的尺寸越小，所受的离心力越小，沉降速 度也越小，所以能被除下的比例也越小。因此，总效率相同的两台旋风分离器其 分离性能却可能相差很大，这是因为被分离的颗粒具有不同粒度分布的缘故。
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5.3.2离心沉降设备
数 Fc mr2 r2 u2
Fg mg g gr
式中 ur为流体和颗粒的切线速度， m；/ 为s 旋r转半径， ； 为m旋转角速
度，rad(弧度。） / s
数值的大小是反映离心分离设备性能的重要指标。若 ，1则0说00明同一颗
粒在离心力场中受到的离心力 是在重F力c 场中受到的重力 的1000F倍g ，当然大
5.颗粒的沉降
5.1 概述 5.2颗粒的沉降运动 5.3沉降分离设备
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5.1 概述
本章考察流固两相物系中固体颗粒与流体间的 相对运动。在流固两相物系中，不论作为连续相的 流体处于静止还是作莫种运动，只要固体颗粒的密 度 大于流体的密度 ，那么在重力场中,固体颗 粒将在重力方向上与流体做相对运动，在离心力场 中，则与流体作离心力方向上的相对运动。
旋风分离器的构造简单，没有运动部件（设备不动，离心力是由切线进入的气
流产生旋转运动造成的），操作不受温度、压强的限制。一般其分离因数
5~，2可5分0离0气体中
直5径~7的5粒m子。 用降尘dP室分75离m（经济），
可用袋式除0.尘1器m ，dP5m 用静电除尘器。 dP 0.1m
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5.3.2离心沉降设备
（1）两种曳力—表面曳力和形体曳力
回顾第1章流体沿固体壁面流过的阻力分为两类：表 皮阻力（即表面摩擦阻力）和形体阻力（边界层分离产 生旋涡），绕流时颗粒受到流体的总曳力:
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（1）两种曳力—表面曳力和形体曳力
FD与流体 、、相对流速u有关，而且受颗粒的
形状与定向的影响，问题较为复杂。至今，只有几何
形状简单的少数情况才可以得到FD的理论计算式。例 如，粘性流体对球体的低速绕流（也称爬流）时FD的
理论式即斯托克律（Stokes）定律为：
FD 3dpu
当流速较高时，Stokes定律不成立。因此，对一般流
动条件下的球形颗粒及其其他形状的颗粒，FD的数值
尚需通过实验解决。
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（2）曳力（阻力）系数
引至分离器下部锥体内。不但提高了分离效率，还降低
了旋风分离器的阻力。若没有旁路，有人做过实验，堵
死旁路 2 0%。
还有旋液分离器是用于分离悬浮液，其结构特点与
旋风分离器类似。
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5.3.2离心沉降设备
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尘室密封不良，少量空气串入器内将使分离效率严重下降。故出灰口的密封
问题非常重要。
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5.3.2离心沉降设备
下面介绍旋风分离器的改型问题： 底部旋转上升会将已沉下的部分颗粒重新卷起，这是 影响旋风分离器分离效率的重要因素之一。为抑制这一 不利因素而设计了一种扩散式旋风分离器，它具有上小 下大的外壳，这种分离器底部设有中央带孔的锥形分割 屏，气流在分割屏上部转向排气管，少量气体在分割屏 与外锥体之间的环隙进入底部集尘斗，再从中央小孔上 升。这样就减少了已沉下的粉粒重新被卷起的可能性。 因此，扩散式旋风分离器分离效率提高，宜用于净化颗 粒浓度较高的气体。
量、低浓度悬浮液的处理，常见的污水 处理就是一例。
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5.3.1重力沉降设备
（3）分级器
利用不同粒径或不同密度的颗粒在流体中的沉降速度不同这一原理来实现它 们分离的设备称为分级器。
将沉降速度不同的两种颗粒倾倒到向上流动的水流中，若水的速度调整到在 两者的沉降速度之间，则沉降速度较小的那部分颗粒便被漂走分出。若有密度 不同的a、b两种颗粒要分离，且两种颗粒的直径范围都很大，则由于密度大而 直径小的颗粒与密度小而直径大的颗粒可能具有相同的沉降速度，使两者不能 完全分离。
qV Aut
—q V含尘气体体积流量， m。3 气/ s速 沉下的尘粒重新被扬起， 往往取更低 u 粒。 dP 50m
，u一般BqHV 应<1 ，u实际上m为/避s 免已
。降尘室u 一般0.用5m 于/s分离
的粗颗
A—降尘室底面积，m 。2 ABL
—u t颗粒的沉降速度， 。m/ s应根u t据要分离的最小颗粒直径 决定d 。P ,min
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5.3.1重力沉降设备
（2）增稠器 分离悬浮液，在中心距液面下0.3～1
处连续加m料，清液往上走，稠液往下走，
锥形底部有一缓慢旋转的齿耙把沉渣慢 慢移至下部中心，稠浆从底部出口出去。 （内部沉降分为上部自由沉降和下部干 扰沉降）
大的增稠器直径可达10～100 m，深 2.5～4 （m 为什么？）。它一般用于大流
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5.3.2离心沉降设备
2）旋风分离器的压降 气体经过旋风分离器时，由于进气管和排气管及主体器壁所引起的摩擦阻力、 流动时的局部阻力以及气体旋转运动所产生的能量损失等，都将造成气体的压力 降。旋风分离器的压降大小是评价其性能好坏的重要指标。气体通过旋风分离器 的压降应尽可能小。通常压降用入口气体动能的倍数来表示：
②端效应
③分子运动
④非球形颗粒
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5.3沉降分离设备
5.3.1重力沉降设备 5.3.2离心沉降设备
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5.3.1重力沉降设备
r
AH qV
（1）降尘室
t
H ut
停 r留，至时t 少间 ： r t 所以：
AH qV
H ut
（降尘室的设计原理）
沉降时间 ：
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5.3.1重力沉降设备
FD=F(dp,u,,)
FD
AP
1u2
2
ReP
dpu
对球形颗(粒R ，Pe)
用因次分析并整理后可得：
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（2）曳力（阻力）系数
( 1)
，R层e流P 区，2Sokes定律区： 2R，P e过渡5区0，0Allen定律区：
24 Re P
18 .5 Re P 0.6
球5形0颗粒0 RPe， 的湍2曲 流线1区在5 ，0 不N同ew的t雷on诺定数律范区围：内可用公式表示如下0.：44
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5.3.1重力沉降设备
da 21a 8gdb21b 8g
db da
a b
1/
2
上式表明，不同直径的颗粒因为密度不同而具有相同的沉降速度，该式代表 了具有相同沉降速度的两种颗粒的直径比。
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5.3.2离心沉降设备
对于两相密度差较小，颗粒粒度较细的非均相物系，可利用颗粒作圆周运动时 的离心力以加快沉降过程。定义同一颗粒所受的离心力与重力之比为离心分离因
粒将随以ddu 恒，u 定0 不F,到变d某的一速数度值维持时下，降式。u（t 此5-1u称6t ）为右颗边粒等的于沉零降，u速t此度时或造端，速颗度。 对小颗粒，沉降的加速段很短，加速度所经历的距离也很小。因此，对 小颗粒沉降的加速度可以忽略，而近似认为颗粒始终以 下降。
ut
（2）沉降的等速阶段
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5.3.2离心沉降设备
靠近旋风分离器排气管的顶部旋涡中带有不少细小
粉粒，在进口主气流干扰下较易窜入排气口逃逸。提高
分离效率的另一途径是移去顶部旋涡造成的粉尘环，为
此而设计的XLV/B型旋风分离器见图。此种旋风分离器
的结构特点是进气口低于器顶下一小段距离，且在圆柱
壳体的上部切向开有狭槽，用旁通管将带粉粒的顶旋涡
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5.3.1重力沉降设备
对一定物系， 一u t 定，降尘室的处理能力只取决于降尘室的底面积 ，A而与高
度 无关H，故降尘室应设计成扁平形状，或在室内设置多层水平隔板。 ①设计型计算
已知 、q V 、 、 、 P，计d P算,min 。 A
②操作型计算
已知 、A 、、 、 ，P 核d P算,min ； q V 或已知 、A 、q V、 、 ，求 P 。 d P ,min
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
Fg mg6dP3Pg
（ 的作将1）用一下沉个沿表降重面的力光加方滑速向的作段球沉形降颗运粒动置，于此静时止F F颗的bD 粒流 受体6A 到中dP P哪，1 2 3些若u 力g，2的颗 作粒用在4 呢重d ？力P 21 2u2
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
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5.3.2离心沉降设备
旋风分离器各部分的尺寸都有一定的比例，只要规定出其中一个主要尺寸，如 圆筒直径D或进气口宽度B，则其它各部分的尺寸亦确定。
评价旋风分离器性能指标，我们的教材上介绍两个：
1） 旋风分离器的分离效率
①总效率 0
0
C进 C出 C进
式中 C 进、 C分出 别为进出旋风分离器气体颗粒的质量浓度， g 。/ m 3
，R层e流P 区2（Sokes区）
ut
dP2(P )g 18
2R，eP 过5渡0区0（Allen区）
ut 0.781dP1.6(0.4P 0.6)g0.714
500 RPe，2 湍 流1区50（Newton区）
ut
1.74
dP(P )g
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
（4）其他因素对沉降速度的影响 ①干扰沉降
大加快沉降分离过程。
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5.3.2离心沉降设备
旋风分离器是利用离心沉降原理从气流中分离出颗粒的设备。如图所示，上 部为圆筒形、下部为圆锥形；含尘气体从圆筒上侧的矩形进气管以切线方向进入， 藉此来获得器内的旋转运动。气体在器内按螺旋形路线向器底旋转，到达底部后 折而向上，成为内层的上旋的气流，称为气芯，然后从顶部的中央排气管排出。 气体中所夹带的尘粒在随气流旋转的过程中，由于密度较大，受离心力的作用逐 渐沉降到器壁，碰到器壁后落下，滑向出灰口。
5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
对球形颗粒，当
ddu时，0 可得
ut
4dP(P )g 3
式中：
(RPe)(dPu)
（3）颗粒的沉降速度
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
因 与 有R关e P，也与 有关u t，将不同区域的与的关系式（5-6）—式（5-8）
分别带入上式，整理得：
F F g F b F D m 6 d P 3 a P g 6 d P 3g 4 d P 2 1 2 u 2 6 d P 3 P d d
或者 ：
d du(P P)g4d3P Pu2
du 开始瞬间， ，u 最0 大，d 颗粒作加速运动。
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
p ui2
2 除了上述两个性能指标外，有的教材还介绍了另外一个性能指标，即临界直 径 d ，c d指c 旋风分离器能够分离的最小颗粒直径。
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5.3.2离心沉降设备
实验结果表明： ，D ，u锥体长度 ，H 2。粗短 形旋风分离器在
p
一定时，处理量大；细长形旋风分离器 p，但 ， 从 经济角度看一般可取
式中 C i进、
0
Ci进 Ci中粒径为
的d颗Pi粒的质量浓度，
。g / m 3
总效率与粒级效率的关系为：
0 xii
式中 x为i 进口气体中粒径为 d颗Pi粒的质量分率。
旋风通分②常离粒将器级经的效过分率旋割风直分径离可器小后至能被除下。3~5不10同%0m 的粒颗径粒的直粒径级dd称分PPci为离分效割率直不径同，。某些 高i 效
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5.2 颗粒的沉降运动
5.2.1 流体对固体颗粒的绕流 5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
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5.2.1 流体对固体颗粒的绕流
流体与固体颗粒之间的相对运动可分为以下三 种情况：
①颗粒静止，流体对其做绕流； ②流体静止，颗粒作沉降运动； ③颗粒与流体都运动，但保持一定的相对运动。
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进口气速 u1 。若~ 5 2 处m 理5 /量s大，则可采用多个小尺寸的旋风分离器并联操
作，这较用一个大尺寸的旋风分离器可望获得更高的效率，同样原因，投
入使用的旋风分离器处于低气体负荷下操作是不适宜的。
旋风分离器的内旋气流在底部旋转上升时，会在锥底成升力。即使在常压
下操作，出口气体直接排入大气，也会在锥底造成显著的负压。如果锥底集
总效率并不能准确地代表旋风分离器的分离性能。因为气体中颗粒大小不等， 各种颗粒被除下的比例也不相同。颗粒的尺寸越小，所受的离心力越小，沉降速 度也越小，所以能被除下的比例也越小。因此，总效率相同的两台旋风分离器其 分离性能却可能相差很大，这是因为被分离的颗粒具有不同粒度分布的缘故。
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5.3.2离心沉降设备
数 Fc mr2 r2 u2
Fg mg g gr
式中 ur为流体和颗粒的切线速度， m；/ 为s 旋r转半径， ； 为m旋转角速
度，rad(弧度。） / s
数值的大小是反映离心分离设备性能的重要指标。若 ，1则0说00明同一颗
粒在离心力场中受到的离心力 是在重F力c 场中受到的重力 的1000F倍g ，当然大
5.颗粒的沉降
5.1 概述 5.2颗粒的沉降运动 5.3沉降分离设备
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5.1 概述
本章考察流固两相物系中固体颗粒与流体间的 相对运动。在流固两相物系中，不论作为连续相的 流体处于静止还是作莫种运动，只要固体颗粒的密 度 大于流体的密度 ，那么在重力场中,固体颗 粒将在重力方向上与流体做相对运动，在离心力场 中，则与流体作离心力方向上的相对运动。
旋风分离器的构造简单，没有运动部件（设备不动，离心力是由切线进入的气
流产生旋转运动造成的），操作不受温度、压强的限制。一般其分离因数
5~，2可5分0离0气体中
直5径~7的5粒m子。 用降尘dP室分75离m（经济），
可用袋式除0.尘1器m ，dP5m 用静电除尘器。 dP 0.1m
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5.3.2离心沉降设备
（1）两种曳力—表面曳力和形体曳力
回顾第1章流体沿固体壁面流过的阻力分为两类：表 皮阻力（即表面摩擦阻力）和形体阻力（边界层分离产 生旋涡），绕流时颗粒受到流体的总曳力:
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（1）两种曳力—表面曳力和形体曳力
FD与流体 、、相对流速u有关，而且受颗粒的
形状与定向的影响，问题较为复杂。至今，只有几何
形状简单的少数情况才可以得到FD的理论计算式。例 如，粘性流体对球体的低速绕流（也称爬流）时FD的
理论式即斯托克律（Stokes）定律为：
FD 3dpu
当流速较高时，Stokes定律不成立。因此，对一般流
动条件下的球形颗粒及其其他形状的颗粒，FD的数值
尚需通过实验解决。
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（2）曳力（阻力）系数
引至分离器下部锥体内。不但提高了分离效率，还降低
了旋风分离器的阻力。若没有旁路，有人做过实验，堵
死旁路 2 0%。
还有旋液分离器是用于分离悬浮液，其结构特点与
旋风分离器类似。
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5.3.2离心沉降设备
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尘室密封不良，少量空气串入器内将使分离效率严重下降。故出灰口的密封
问题非常重要。
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5.3.2离心沉降设备
下面介绍旋风分离器的改型问题： 底部旋转上升会将已沉下的部分颗粒重新卷起，这是 影响旋风分离器分离效率的重要因素之一。为抑制这一 不利因素而设计了一种扩散式旋风分离器，它具有上小 下大的外壳，这种分离器底部设有中央带孔的锥形分割 屏，气流在分割屏上部转向排气管，少量气体在分割屏 与外锥体之间的环隙进入底部集尘斗，再从中央小孔上 升。这样就减少了已沉下的粉粒重新被卷起的可能性。 因此，扩散式旋风分离器分离效率提高，宜用于净化颗 粒浓度较高的气体。
量、低浓度悬浮液的处理，常见的污水 处理就是一例。
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5.3.1重力沉降设备
（3）分级器
利用不同粒径或不同密度的颗粒在流体中的沉降速度不同这一原理来实现它 们分离的设备称为分级器。
将沉降速度不同的两种颗粒倾倒到向上流动的水流中，若水的速度调整到在 两者的沉降速度之间，则沉降速度较小的那部分颗粒便被漂走分出。若有密度 不同的a、b两种颗粒要分离，且两种颗粒的直径范围都很大，则由于密度大而 直径小的颗粒与密度小而直径大的颗粒可能具有相同的沉降速度，使两者不能 完全分离。
qV Aut
—q V含尘气体体积流量， m。3 气/ s速 沉下的尘粒重新被扬起， 往往取更低 u 粒。 dP 50m
，u一般BqHV 应<1 ，u实际上m为/避s 免已
。降尘室u 一般0.用5m 于/s分离
的粗颗
A—降尘室底面积，m 。2 ABL
—u t颗粒的沉降速度， 。m/ s应根u t据要分离的最小颗粒直径 决定d 。P ,min
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5.3.1重力沉降设备
（2）增稠器 分离悬浮液，在中心距液面下0.3～1
处连续加m料，清液往上走，稠液往下走，
锥形底部有一缓慢旋转的齿耙把沉渣慢 慢移至下部中心，稠浆从底部出口出去。 （内部沉降分为上部自由沉降和下部干 扰沉降）
大的增稠器直径可达10～100 m，深 2.5～4 （m 为什么？）。它一般用于大流
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5.3.2离心沉降设备
2）旋风分离器的压降 气体经过旋风分离器时，由于进气管和排气管及主体器壁所引起的摩擦阻力、 流动时的局部阻力以及气体旋转运动所产生的能量损失等，都将造成气体的压力 降。旋风分离器的压降大小是评价其性能好坏的重要指标。气体通过旋风分离器 的压降应尽可能小。通常压降用入口气体动能的倍数来表示：
②端效应
③分子运动
④非球形颗粒
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5.3沉降分离设备
5.3.1重力沉降设备 5.3.2离心沉降设备
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5.3.1重力沉降设备
r
AH qV
（1）降尘室
t
H ut
停 r留，至时t 少间 ： r t 所以：
AH qV
H ut
（降尘室的设计原理）
沉降时间 ：
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5.3.1重力沉降设备
FD=F(dp,u,,)
FD
AP
1u2
2
ReP
dpu
对球形颗(粒R ，Pe)
用因次分析并整理后可得：
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（2）曳力（阻力）系数
( 1)
，R层e流P 区，2Sokes定律区： 2R，P e过渡5区0，0Allen定律区：
24 Re P
18 .5 Re P 0.6
球5形0颗粒0 RPe， 的湍2曲 流线1区在5 ，0 不N同ew的t雷on诺定数律范区围：内可用公式表示如下0.：44
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5.3.1重力沉降设备
da 21a 8gdb21b 8g
db da
a b
1/
2
上式表明，不同直径的颗粒因为密度不同而具有相同的沉降速度，该式代表 了具有相同沉降速度的两种颗粒的直径比。
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5.3.2离心沉降设备
对于两相密度差较小，颗粒粒度较细的非均相物系，可利用颗粒作圆周运动时 的离心力以加快沉降过程。定义同一颗粒所受的离心力与重力之比为离心分离因
粒将随以ddu 恒，u 定0 不F,到变d某的一速数度值维持时下，降式。u（t 此5-1u称6t ）为右颗边粒等的于沉零降，u速t此度时或造端，速颗度。 对小颗粒，沉降的加速段很短，加速度所经历的距离也很小。因此，对 小颗粒沉降的加速度可以忽略，而近似认为颗粒始终以 下降。
ut
（2）沉降的等速阶段
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5.3.2离心沉降设备
靠近旋风分离器排气管的顶部旋涡中带有不少细小
粉粒，在进口主气流干扰下较易窜入排气口逃逸。提高
分离效率的另一途径是移去顶部旋涡造成的粉尘环，为
此而设计的XLV/B型旋风分离器见图。此种旋风分离器
的结构特点是进气口低于器顶下一小段距离，且在圆柱
壳体的上部切向开有狭槽，用旁通管将带粉粒的顶旋涡
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5.3.1重力沉降设备
对一定物系， 一u t 定，降尘室的处理能力只取决于降尘室的底面积 ，A而与高
度 无关H，故降尘室应设计成扁平形状，或在室内设置多层水平隔板。 ①设计型计算
已知 、q V 、 、 、 P，计d P算,min 。 A
②操作型计算
已知 、A 、、 、 ，P 核d P算,min ； q V 或已知 、A 、q V、 、 ，求 P 。 d P ,min
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
Fg mg6dP3Pg
（ 的作将1）用一下沉个沿表降重面的力光加方滑速向的作段球沉形降颗运粒动置，于此静时止F F颗的bD 粒流 受体6A 到中dP P哪，1 2 3些若u 力g，2的颗 作粒用在4 呢重d ？力P 21 2u2
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
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5.3.2离心沉降设备
旋风分离器各部分的尺寸都有一定的比例，只要规定出其中一个主要尺寸，如 圆筒直径D或进气口宽度B，则其它各部分的尺寸亦确定。
评价旋风分离器性能指标，我们的教材上介绍两个：
1） 旋风分离器的分离效率
①总效率 0
0
C进 C出 C进
式中 C 进、 C分出 别为进出旋风分离器气体颗粒的质量浓度， g 。/ m 3
，R层e流P 区2（Sokes区）
ut
dP2(P )g 18
2R，eP 过5渡0区0（Allen区）
ut 0.781dP1.6(0.4P 0.6)g0.714
500 RPe，2 湍 流1区50（Newton区）
ut
1.74
dP(P )g
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
（4）其他因素对沉降速度的影响 ①干扰沉降
大加快沉降分离过程。
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5.3.2离心沉降设备
旋风分离器是利用离心沉降原理从气流中分离出颗粒的设备。如图所示，上 部为圆筒形、下部为圆锥形；含尘气体从圆筒上侧的矩形进气管以切线方向进入， 藉此来获得器内的旋转运动。气体在器内按螺旋形路线向器底旋转，到达底部后 折而向上，成为内层的上旋的气流，称为气芯，然后从顶部的中央排气管排出。 气体中所夹带的尘粒在随气流旋转的过程中，由于密度较大，受离心力的作用逐 渐沉降到器壁，碰到器壁后落下，滑向出灰口。
5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
对球形颗粒，当
ddu时，0 可得
ut
4dP(P )g 3
式中：
(RPe)(dPu)
（3）颗粒的沉降速度
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5.2.2 静止流体中颗粒的自由沉降
因 与 有R关e P，也与 有关u t，将不同区域的与的关系式（5-6）—式（5-8）
分别带入上式，整理得：