D3_5高阶导数(二)习题课
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
高数第二章、习题课
0.
故 dy dx
t0
dy dx
x0 0.
t
例4 设函数y f ( x)由方程x y y x( x 0, y 0)
所确定,求
d2y dx2
.
解：方法一 两边取对数 1 ln y 1 ln x,
x
y
即y ln y x ln x,
(1 ln y) y ln x 1, y ln x 1, 1 ln y
d dx
(
f
1) ( t )
d ( 1 ) dt dt f (t) dx
[f
f (t) ( t )]2
f
1 ( t )
例8
设
x y
f (t), t f (t)
fHale Waihona Puke , (t)其中f
(t) 存在,
f (t)
0,
求
d3y dx3
.
解：方法二：微分法
dy [ f (t) t f (t) f (t)]dt t f (t)dt, dx f (t)dt
第二章 习题课
主要内容
关 系
dy dx
y
dy
ydx
y
dy
o(x)
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微微 分分 y Ax
dyo(yx) x
求导法则
一、几个重要概念
1. 导数的定义
y lim y lim f ( x x) f ( x) .
x0 x x0
x
dy lim f ( x h) f ( x) .
dx
x
例 10、一人走过一桥之速率为 4 公里/小时，同时一船在 此人底下以 8 公里/小时之速率划过，此桥比船高 200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
习题课(导数与微分)
利用 f ( x) 在 x = 1 处可导，则必定连续，从而有 − + a + b = 1 = 1 (a + b + 1) f (1 ) = f (1 ) = f (1) 2 即 a=2 ′ ′ f − (1) = f + (1)
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ax + b ,
f (x) =
1 ( a+ b + 1) , 2
解y = − ln( 1 −源自x ), 令 u = 1 − x .
y = – lnu .
.
u′ −1 1 dy dy du = . =− = − = ⋅ ∴ y′ = 1− x u 1− x dx du dx
.
(4)复合函数求导练习 题 复合函数求导练习23题 复合函数求导练习
1
o o
( sin 2 x ) ′ = 2 cos 2 x (e
1 14 (ln(1 − x ))′ = − 1− x 3 o 3 15 (ln 2 x )′ = x
o o
.
21 (arcsin3 x )′ = 22 (e )′ = 2 xe
o x2 o
x2
3 1 − 9x2
16 (e 17
o o
o
3 x +1
)′ = 3e
3 x +1
2 (arctan2 x )′ = 1 + 4 x 2
0
√
).
( (
× ). √ √
).
(
).
(2)判断是非(是： √ 非： × )： 判断是非( 判断是非
.
已知 y = f ( x )在点 x 0 可导 ：
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) e . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 − h) − f ( x 0 ) f . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 + 3h) − f ( x 0 ) 1 g . f ′( x 0 ) = lim h 3 h→ 0
《高阶导数练习》课件
高阶导数练习题解析
1
填空题
2
根据题目要求，利用高阶导数的计
算方法填写空缺。
3
选择题
通过分析问题条件和选项特点，灵 活运用高阶导数计算和性质。
应用题
结合实际问题求解高阶导数，并分 析问题的意义和结果。
高阶导数练习题的练习方法
1 理论学习
深入学习高阶导数的相关概念、原理和计算方法。
2 实例演练
各类题型的例题演练，加深对高阶导数的理解和熟练度。
3 自主思考
尝试解决一些较难的高阶导数问题，培养独立思考和解决问题的能力。
结论和总结
高阶导数是进一步探索函数变化规律和特性的重要工具。通过对高阶导数的 学习和练习，我们可以更好地理解和应用数学在实际问题中。
高阶导数的计算方法
过迭代的方式计算高阶导数。
2
链式法则
链式法则在计算复杂函数的高阶导数时特别有用，简化计算过程。
3
递推公式
通过利用高阶导数的递推关系，可以更加高效地计算出任意阶的导数。
高阶导数的性质
对称性
高阶导数在偶函数和奇函数中具有特殊的 对称性。
极值点
《高阶导数练习》PPT课 件
本课件介绍高阶导数的概念和定义，高阶导数的计算方法，以及高阶导数的 性质。探讨高阶导数在实际问题中的应用，并提供高阶导数练习题解析和练 习方法。最后进行结论和总结。
高阶导数的概念和定义
定义：
高阶导数是函数的导数的导数，表示函数的变 化率的变化率。
概念：
高阶导数描述了函数更加详细的变化规律，帮 助我们理解函数的趋势和特征。
高阶导数的零点可以帮助我们找到函数的 极值点。
导数与原函数关系
高阶导数揭示了原函数的更多特性和性质。
3.4导数(微分)基本公式、3.5高阶导数[7页]
![3.4导数(微分)基本公式、3.5高阶导数[7页]](https://img.taocdn.com/s3/m/7eee13c2d4bbfd0a79563c1ec5da50e2524dd17b.png)
使用的教
具/多媒体 /仪器/仪
PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
表/设备等
图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学方法
教学过程
设计意图
一、复习： 上一节，我们学习函数的和、差、积、商的求导法则，
复合函数求导法则。我们回顾一下这几个法则。例
y 2x4 x sin 2x ，求 y . 二、引入新课： 给出指数函数和反三角函数的导数公式
ax ax ln a (a 0且a 1)
特别地，当 a=e 时, 有 ex ex
(arcsin x) 1 ， (arccos x) 1
1 x2
1 x2
先复习已学知识， 为后面的学习做准 备。
(arctan
x)
1 1 x2
，
(arc
cot
x)
1
1 x2
例 1： 求下列函数的导数：
解 f (x) 5x4 1 ， f (x) 20x3 2 ，
x2
x3
所以 f (1) 20 2 22
例 9：设 y e2x ，求 y(n) .
解 y 2e2x
y (2)2 e2x
y (2)3 e2x
给出高阶导数的定
y(n) (2)n e2x (1)n 2n e2x
义及符号。
2x(1 x2 1 x2 ) 2(1 x2 )(1 x2 )
2x 1 x4
（三）、高阶导数
通过例题的求导过 程体验导数公式的 应用，逐步形成利
如果函数 y=f(x)的导数 f (x) 在点 x 处可导，则 f (x) 在
点 x 处的导数称为函数 y=f(x)在点 x 处的二阶导数，记作：
y,
高阶导数十个常用公式
高阶导数十个常用公式1. 一阶导数：如果函数 y=f(x)，则其一阶导数定义为：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h2. 二阶导数：如果函数 y=f(x)，则其二阶导数定义为：f''(x)=lim(h→0)(f'(x+h)-f'(x))/h3. 三阶导数：如果函数 y=f(x)，则其三阶导数定义为：f'''(x)=lim(h→0)(f''(x+h)-f''(x))/h4. 四阶导数：如果函数 y=f(x)，则其四阶导数定义为：f''''(x)=lim(h→0)(f'''(x+h)-f'''(x))/h5. 五阶导数：如果函数 y=f(x)，则其五阶导数定义为：f'''''(x)=lim(h→0)(f''''(x+h)-f''''(x))/h6. 六阶导数：如果函数 y=f(x)，则其六阶导数定义为：f''''''(x)=lim(h→0)(f'''''(x+h)-f'''''(x))/h7. 七阶导数：如果函数 y=f(x)，则其七阶导数定义为：f'''''''(x)=lim(h→0)(f''''''(x+h)-f''''''(x))/h8. 八阶导数：如果函数 y=f(x)，则其八阶导数定义为：f''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''(x+h)-f'''''''(x))/h9. 九阶导数：如果函数 y=f(x)，则其九阶导数定义为：f'''''''''(x)=lim(h→0)(f''''''''(x+h)-f''''''''(x))/h10. 十阶导数：如果函数 y=f(x)，则其十阶导数定义为：f''''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''''(x+h)-f'''''''''(x))/h。
高阶导数的常用公式
高阶导数的常用公式导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
而高阶导数则是导数的导数，它描述了函数变化率的变化率。
在实际应用中，高阶导数在多个领域都有重要的作用，如物理学、工程学、经济学等。
本文将介绍几个高阶导数的常用公式，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 一阶导数的计算公式一阶导数即函数的导数，它描述了函数在某一点的切线斜率。
一阶导数的计算公式如下：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 二阶导数的计算公式二阶导数是一阶导数的导数，它描述了函数切线的变化率。
二阶导数的计算公式如下：f''(x) = (d/dx)[f'(x)]3. 高阶导数的计算公式高阶导数是指二阶导数及以上的导数。
高阶导数的计算可以通过递归地应用一阶导数的计算公式来实现。
例如，三阶导数可以通过以下公式计算：f'''(x) = (d/dx)[f''(x)]4. 高阶导数的物理意义高阶导数在物理学中有广泛的应用，特别是描述物体的运动和变化。
例如，加速度是速度的一阶导数，描述了物体速度的变化率；而位移是速度的一阶导数，描述了物体位置的变化率。
高阶导数可以进一步描述这些变化率的变化率，从而提供更详细的物理信息。
5. 高阶导数在工程学中的应用在工程学中，高阶导数有助于分析和优化系统的性能。
例如，在信号处理中，高阶导数可以用于提取信号的特征，如边缘检测和图像增强。
在控制系统中，高阶导数可以用于设计和调整控制器的响应特性，以实现更好的控制效果。
6. 高阶导数在经济学中的应用高阶导数在经济学中也有重要的应用。
例如，在经济学中，边际效用是总效用的一阶导数，描述了消费者对某种商品的满足程度。
高阶导数可以用于分析消费者对多个商品的替代和互补关系，从而为市场调节提供参考。
7. 求解高阶导数的技巧在实际计算中，求解高阶导数可以使用多种技巧。
大一高数课件第二章 2-习题课-1
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
3、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式） 常数和基本初等函数的导数公式）
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x (tan x ) ′ = sec 2 x (sec x ) ′ = sec xtgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 (log a x ln a 1 ′= (arcsin x ) 1− x2 1 (arctan x ) ′ = 1+ x2 x )′ =
4、求导法则 函数的和、 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则
可导， 设 u = u( x ), v = v ( x )可导，则 是常数), ） （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）(cu)′ = cu′ ( c 是常数 ）
′ ′ ） （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0) . ） v v ′ ′
第二章 导数与微分 习题课
• 一、主要内容 • 二、例题与练习
关
dy = y′ ⇔ dy = y′dx ⇔ ∆y = dy + o(∆x) 系 dx
导 数 基本公式 导数 微 分
∆y lim ∆x→0 ∆x
dy = y′∆x
( x0 ) ∆y y′ x= x0 = lim = lim . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 1.左导数 左导数: 1.左导数:
f −′ ( x 0 ) = lim
x → x0 − 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → −0 x − x0 ∆x f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → + 0 x − x0 ∆x
专科高等数学教材答案详解
专科高等数学教材答案详解第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质在数学中，函数是一种将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。
函数可以用公式、图像、表格等方式来表示。
函数具有以下性质：1. 变量的唯一性：对于函数中的每个自变量，都有唯一的对应值。
2. 定义域：函数的定义域是指在函数中具有意义的自变量的集合。
3. 值域：函数的值域是指函数所有可能的取值的集合。
4. 增减性：函数的增减性描述了函数图像在定义域内的变化趋势。
5. 奇偶性：函数的奇偶性表示了函数图像关于坐标轴的对称性。
1.2 极限的概念与性质极限是函数研究中一个重要的概念，用来描述函数在某一点附近的行为。
极限具有以下性质：1. 有界性：如果函数在某一点的左右两侧极限存在且相等，则函数在该点有界。
2. 收敛性：如果函数在某一点的左右两侧极限存在且相等，则函数在该点收敛。
3. 左右极限：函数在某一点的左极限表示自变量逼近该点时，函数值趋近的极限；右极限类似。
4. 确定性：极限的存在与否是由函数在该点的局部性质决定的，与函数在该点的实际取值无关。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是描述函数变化率的概念，用于研究函数的斜率和曲线的切线。
导数具有以下性质：1. 导数的定义：对于函数f(x)，它在点x处的导数定义为f'(x) =lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。
2. 导数的几何意义：导数表示函数在该点的切线斜率。
3. 导数的代数意义：导数表示函数在该点的瞬时变化率。
4. 导数的性质：导数具有线性性、乘法性、复合性等性质。
5. 高阶导数：函数的高阶导数表示导数的导数。
2.2 微分的概念与性质微分是导数的一个应用，用于近似计算函数值的变化量。
微分具有以下性质：1. 微分的定义：函数f(x)在点x处的微分dx表示函数值的增量df=dy=f'(x)dx。
2. 近似计算：微分可以用来进行函数值的近似计算。
同济版高等数学第二章习题课
(1) 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法 导出 对数求导法 (3) 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)
(5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳; 间接求导法; 利用莱布尼茨公式.
h0
h
h0
h
h2 2h
lim
2
h0
h
ah lim a h h0
a2 a b 1
a 2 b 1
例4.设
,试确定常数a , b
使 f (x) 处处可导,并求
ax b ,
x 1
解:
f (x)
1 2
(a
b
1)
,
x 1
x2 ,
x 1
解: f (2) lim f (x) lim[(x 2) f (x) ] 0
x2
x2
(x 2)
f (2) lim f (x) f (2) x2 x 2
lim f (x) 3 x2 x 2
思考 : 书P125 题3
P87. 17
设函数
x2, f (x)
一、 导数和微分的概念及应用
• 导数 :
当 当 • 微分 :
时,为右导数 时,为左导数
• 关系 : 可导
可微 ( 思考 P125 题1 )
P125. 1
f (x)在点x0可导是f (x)在点x0连续的 f (x)在点x0连续是f (x)在点x0可导的
充分 条件. 必要 条件.
f (x)在点x0的左右导数都存在且相等是f (x)在点 x0可导的 充分必要 条件。
高等数学-高阶导数
一、高階導數的定義
問題:變速直線運動的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)].
定義 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
3.間接法:利用已知的高階導數公式, 通過四則
運算, 變數代換等方法, 求出n階導數. 常用高階導數公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0)
(e x )(n) e x
(2) (sin kx)(n) k n sin(kx n ) 2
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
( 1 )(n) x
(1)n
n! x n1
例9 设 y 1 , 求y(5) . x2 1
解 y 1 1( 1 1 ) x2 1 2 x 1 x 1
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n) ( x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二階和二階以上的導數統稱為高階導數.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高階導數求法舉例
1.直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
n
C u v k (nk ) ( k ) n
高阶导数练习题
高阶导数练习题高阶导数练习题导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的斜率或变化率。
高阶导数则是导数的导数，它提供了更多关于函数曲线的信息。
在解决实际问题中，高阶导数的应用十分广泛。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解和应用高阶导数。
1. 设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求f(x)的一阶和二阶导数。
解：首先求一阶导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
将f(x)代入，得到f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^3 + 2(x+h)^2 - 5(x+h) + 1 - (x^3 +2x^2 - 5x + 1)] / h。
化简后，得到f'(x) = lim(h→0) [3x^2 + 6xh + 3h^2 + 4x +4h - 5] / h。
继续化简，得到f'(x) = 3x^2 + 4x - 5。
接下来求二阶导数f''(x)。
根据导数的定义，f''(x) = lim(h→0) [f'(x+h) - f'(x)] / h。
将f'(x)代入，得到f''(x) = lim(h→0) [(3(x+h)^2 + 4(x+h) - 5) - (3x^2 + 4x - 5)] / h。
化简后，得到f''(x) = lim(h→0) [6x + 3h + 4] / h。
继续化简，得到f''(x) = 6x + 4。
所以，f(x)的一阶导数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 5，二阶导数为f''(x) = 6x + 4。
2. 设函数g(x) = e^x * sin(x)，求g(x)的三阶导数。
解：首先求一阶导数g'(x)。
根据导数的定义，g'(x) = (e^x * sin(x))'。
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dx dy
d dx
1 y
dx dy
1 y
同样可求
d d
3x y3
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补充题
设 解:
求 其中 f 二阶可导.
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习题课──导数和微分
一、 导数和微分的概念及应用
• 导数 :
当
时,为右导数
当
时,为左导数
• 微分 :
• 关系 : 可导
n 2 时 f (n) (x) n ! [ f (x)]n1 提示: f (x) 2 f (x) f (x) 2![ f (x)]3
f (x) 2! 3[ f (x)]2 f (x) 3! [ f (x)]4
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3. 试从
导出
解：d2 x d y2
d dy
g (0)
f(0)
lim
x0
(2ax b) x0
b
2a
得
a
1 2
g
(0)
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例8.设由方程
x t2 2t
t
2
y
sin
y
1
(0 1)
确定函数 y y(x), 求
解:方程组两边对 t 求导,得
dx 2t 2 dt
dx 2(t 1) dt
2t dy cos y dy 0
y
dy ]
dt
2(t 1)3(1 cos y)2
(1 cos y) t (t 1)sin y dy
dt
2(t 1)3(1 cos y)2
(1 cos y)2 2 t 2 (t 1)sin y 2(t 1)3(1 cos y)3
d y 2t
d t 1 cos y
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可微
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• 应用 : (1) 利用导数定义解决的问题
1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则
(C) 0;
(ln
x)
1 x
;
(sin x) cos x
其他求导公式都可由它们及求导法则推出;
2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊
函数在特殊点处的导数;
3) 由导数定义证明一些命题.
利用 f (x)在 x 1处可导，得
f (1 ) f (1 ) f (1)
f(1) f(1)
即
a
b
1
1 2
(a
b
1)
a2
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ax b ,
x 1
f (x)
1 2
(a
b
1)
,
x 1
x2 ,
x 1
x 1时, f (x) a, x 1时，f (x) 2x
a 2, b 1, f (1) 2
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参数方程高阶导
二阶可导, 且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d dt
(dy) dx
dt dx
d ( (t)) dx d t (t) d t
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t)(t) (t)(t) 3 (t )
yx xy x 3
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注意 : 已知
?
例4. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,
且
f
(t)
0,求
d2 dx
y
2
.
解: d y f (t) tf (t) f (t) tf (t) t ,
dx
f (t)
f (t)
d2 y d x2
d (t) d dx dt
dt
dt
d y 2t
d t 1 cos y
故
dy
dy dt
dx
t
dx
d t (t 1)(1 cos y)
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d2 y d x2
d dt
(
dy dx
)
dx
d dt
(
(t
t
1)(1
cos
y))
2(t 1)
(t
dt
1)(1 cos
y)
t[(1
cos
y)
(t
1) sin
(2)用导数定义求极限
(3)微分在近似计算与误差估计中的应用
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例1.设 f (x0 ) 存在,求
lim f (x0 x (x)2 ) f (x0 ) .
x0
x
解:
原式=lixm0
f
( x0
[ x
(x)2 ) f (x0 )] [x (x)2]
x
(x)2 x
且
存在, 问怎样
可使下述函数在
处有二阶导数.
ax2 bx c, x 0
f (x) g(x) ,
x0
解: 由题设 f (0) 存在, 因此
1) 利用 在
连续, 即 f (0 ) f (0 ) f (0),
得 c g(0)
2) 利用 f(0) f(0), 而
f (0)
lim
x0
g
(
x) x
g 0
(0)
g (0)
得
f (0)
lim
x0
(ax2
bx c) x0
g (0)
b
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ax2 bx c, x 0
f (x) g(x) ,
x0
c g(0) b g (0)
3) 利用 f(0) f(0), 而
f(0)
lim
x0
g(
x) x
g 0
(0)
f
(
x)
2 , 2 x ,
x 1 x 1
判别:
是否为连续函数 ?
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例5. 设
处的连续性及可导性. 解:
所以
在
处连续.
又
即在
处可导 .
f (0) 0
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二、 导数和微分的求法
1. 正确使用导数及微分公式和法则
2. 熟练掌握求导方法和技巧
求
解:
y
1
1 x
2
,
即
(1 x2 ) y 1
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
(1 x2 )
2x
2
令
得
由
得
y(2 m) (0) 0
由
得 y(2m1) (0) (1)m (2m)!
即 y(n) (y0()2m1)((010))m,((2m1)!m,(2mnn )!22ymm(0)1 (m 0,1, 2,)
f (x0 )
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例2. 若
f
(1)
0
且
f
(1)
存在
,
求
lim
x0
f
(sin (ex
2 x cos 1) tan x
x)
.
解:
原式 =
lim
x0
f
(sin 2
x x2
cos
x)
且
联想到凑导数的定义式
lim
x0
f (1 sin2 x cos x 1) sin2 x cos x 1
f (1)
sin
2
x
cos x2
x
1
f (1) (1 1) 1 f (1) 22
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例3.设 f (x) 在 x 2 处连续,且 lim f (x) 3, 求 f (2) . x2 x 2
解: f (2) lim f (x) lim[(x 2) f (x) ] 0
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
1 3 sin2 2x 4
y(n)
3 8
4n
cos(4x
n
2
)
sin2 1 cos 2
2
a3 b3 (a b) (a2 ab b2 )
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2. (填空题)
(1) 设
f (x) (x2
3x
2)
n
cos
x2
16
,则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
(x 2)n (x 1)n cos x2
16
各项均含因 子(x–2)
n! (x 1)n cos x2
16 (2) 已知 f (x) 任意阶可导, 且 f (x) [ f (x)]2 , 则当
(t) d t dx
1
1 dx
1. f (t)
dt
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例9. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
ey y y x y 0
①
再求导, 得
e y y2 ey y y y xy 0
e y y2 (e y x) y 2 y 0
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
n! (1 x)n1