高考数学大一轮总复习 第三章 第1讲 导数的概念及运算课件 理
高考数学一轮总复习第三章导数及应用1导数的概念及运算课件理
(2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′ (x1)(x－x1)； 第三步，将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步，将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过 点 P(x0，y0)的切线方程．
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(5)y＝－lnx＋e－2x,∴y′＝－1x＋e－2x·(－2x)′＝－1x－2e－2x. 【答案】 (1)y′＝24x3＋9x2－16x－4 (2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2 (3)y′＝x2＋x（1－x2＋2x12·）l2nx (4)y′＝2sin(4x＋23π) (5)y′＝－1x－2e－2x
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2．计算： (1)(x4－3x3＋1)′＝________； (2)(ln1x)′＝________； (3)(xex)′＝______； (4)(sinx·cosx)′＝______． 答案 (1)4x3－9x2 (2)－xln12x (3)ex＋xex (4)cos2x
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为 k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
答案 A
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
π k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
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5．(2018·陕西检测)已知直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx
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题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (3)y＝x2ln＋x1； (5)y＝ln1x＋e－2x.
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件(理)
(2015·天津)已知函数 f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中
a 为实数，f′(x)为 f(x)的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解：f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(lnx＋1)，∴f′(1)＝a＝3.故选 C.
(2015·陕西)函数 y＝xex 在其极值点处的切线方
(logax)′＝____________； (ax)′＝____________.
4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________.
(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；
当 g(x)＝c(c 为常数)时，即[cf(x)]′＝____________.
②常用的导数运算法则：
法则 1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． 法则 2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．
法则 3：uv（ （xx） ）′＝u′（x）v（vx2）（－x）u（x）v′（x）(v(x)≠0)．
5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．
6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求 闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．
7．会用导数解决实际问题． 8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定 积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．
处的切线的斜率．也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相
高考数学一轮总复习 3.1 导数、导数的计算精品课件 理 新人教版
答案
(dá àn)
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第十九页，共30页。
考点(kǎo diǎn)四
探究
(tànjiū)突
破
考点三
关闭
复合函数的导数运算
5
5
(1)设
u=2x-3,则
y=(2x-3)
由
y=u
与 u=2x-3 复合而成,
【例 3】 求下列复合函数的导数:
这样,对开区间(a,b)内每一个值 x,都对应一个确定的导数 f'(x).于是在区间
(a,b)内 f'(x) 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y=f(x)的导
函数,记为 f'(x)或 y'.
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梳理(shūlǐ)
自测
4.导数的几何意义
函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f'(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在 x=x0 处的
1
2
·(2x+5)'=
.
2+5
2+5
∴y'=
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
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答案
答案
(dá àn)
考点(kǎo diǎn)四
探究
(tànjiū)突
破
方法提炼
由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类
问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一
(1)y=(1+sin
x)
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件
( A )
A.x-y+1=0
B.3x-y-1=0
C.x-y-1=0
D.3x-y+1=0
(2)若曲线 y=ex 在点 P(x0,y0)处的切线在 y 轴上的截距小于 0,则
x0 的取值范围是( C )
A.(0,+∞)
C.(1,+∞)
1
B. e , + ∞
D.(2,+∞)
(3)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线
.
4
知识梳理
双基自测
3.函数f(x)的导函数
一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点处都有导数,导数
值记为 f'(x),且
为f(x)的
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f(x+x)-f(x)
f'(x)= lim
,则
x
Δ→0
导函数
f'(x)是关于 x 的函数,称 f'(x)
,通常也简称为导数.
解析
13 32
∵s=3t -2t +2t,∴v=s'=t2-3t+2.
令 v=0,则 t2-3t+2=0,解得 t1=1,t2=2.故选 D.
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9
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
3.已知函数f(x)=axln x,其中a>0,且a≠1,f'(x)为f(x)的导函数.若
3
f'(1)=3,则a的值为
,
2
解析 ∵f'(x)=
-π 1
∴f'(π)=π2 =-π.
∴切线方程为
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高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算课件 理
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答案
解析
2．函数 f(x)＝x(2017＋ln x)，若 f′(x0)＝2018，则 x0 的值为( ) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
答案 B 解析 f′(x)＝2017＋ln x＋x·1x＝2018＋ln x，故由 f′(x0)＝2018，得 2018 ＋ln x0＝2018，则 ln x0＝0，解得 x0＝1.故选 B.
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3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝ □05 0 (C为常数)；
□ (2)(xn)′＝ 06 nxn－1
(n∈Q*)；
(3)(sinx)′＝ □07 cosx
；(4)(cosx)′＝ □08 －sinx ；
(5)(ax)′＝ □09 axlna
；(6)(ex)′＝ □10 ex ；
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1．(2019·海南模拟)曲线 y＝2x－x 1在点(1,1)处的切线方程为(
)
A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0
答案 B 解析 y′＝2x2－x－1－122x＝－2x－1 12，当 x＝1 时，y′＝－1，所以切线 方程是 y－1＝－(x－1)，整理得 x＋y－2＝0.故选 B.
程可表示为 y＝ex0x－x0ex0＋ex0 或 y＝－12x1x＋14x21，所以e－x0＝ x0e－x0＋x21，ex0＝x421，
所
以 ex0＝1－x0，解得 x0＝0，所以直线 l 的方程为 y＝x＋1.
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触类旁通 (1)求曲线切线方程的步骤 ①求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0)) 处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件理
• 4．(2017·镇江期末)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2) 处的切线方程为________．
• 解析 ∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k ＝ －5y′(|xx＝－00＝)，－即5e50x＝＋－y＋5，2＝∴0切. 线方程为y－(－2)＝
• 答案 5x＋y＋2＝0
• 5．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的 图 象 在 点 (1 ， f(1)) 处 的 切 线 过 点 (2,7) ， 则 a ＝ ________.
• (2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再 求导．
•
【训练1】 (1)f(x)＝x(2 则x0＝________.
017＋ln
答案
13 4
• 3．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x) 为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
• 解析 因为f(x)＝(2x＋1)ex， • 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
• 所以f′(0)＝3e0＝3. • 答案 3
知识梳理 1．导数的概念
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且 x0∈(a，b)，若 Δx 无限 趋近于 0 时，比值ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0无限趋近于一个常数 A，则 称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导 数，记作 f′(x0)． 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则 f(x)在各点的导 数也随着 x 的变化而变化，因而是自变量 x 的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作 f′(x) ．
• 2．导数的几何意义
• 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
2025年高考数学总复习课件19第三章第一节导数的概念及运算
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)．( × )
(3)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( × )
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
2．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则 lim
变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线
越“陡峭”．
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
自查自测
知识点二 导数的运算
1．(多选题)(教材改编题)下列导数的运算中正确的是( ABD )
A．(3x)′＝3x ln 3
x sin x－ cos x
导数的概念及运算
考向3
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
求参数的值或取值范围
【例3】(1)(2024·江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
－sin x
f ′(x)＝_________
f (x)＝cos x
f (x)＝ex
f (x)＝ax(a>0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f (x)＝log x(a>0，且a≠1)
ex
f ′(x)＝____
ax ln a
f ′(x)＝_________
1
f ′(x)＝____
x
1
x ln a
f ′(x)＝____
在点(0，f (0))处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
高三数学(理)一轮总复习课件：3.1导数的概念及其运算
解:原式=������������������
h →0
f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h) 2h
=12
������������������
h →0
������(������0+h)-f(������0) ℎ
+
������������������
-h →0
f(x0-h)-f(x0) -h
∴f'(x)= ������������������
������x →0
������������yx=������������x������→ ������0
(x+2)(x-1+2+������x)=-(x+12)2.
题型一 题型二 题型三 题型四
迁移训练1
题型二 导数的运算
重点难点
例2
规律总结 迁移训练2
������x
f(x)的导函数,导函数有时也记
作 y'.
4.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=C
f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f'(x)=cos x
f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex
f(x)=logax
f(x)=ln x
处的导数,记作
f'(x0)或
y'|x=x0
,即
f'(x0)=������������x������→������0
������y ������x
=
������������������
高考数学一轮复习 第三章 一元函数的导数及其应用 第1节 导数的概念及运算课件
所以 a＋1＝－2，得 a＝－3. 答案：－3
2021/12/11
第十五页，共三十六页。
2021/12/11
考点 1 导数的运算(多维探究) 角度 根据求导法则求函数的导数 [典例 1] 求下列函数的导数． (1)f(x)＝x2e＋x x； (2)f(x)＝x3＋2x－xx22ln x－1； (3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.
2021/12/11
第二十五页，共三十六页。
由题意知 k1k2＝－1，即 1·－x120＝－1，解得 x20＝1， 又 x0>0，
所以 x0＝1. 又因为点 P 在曲线 y＝1x(x>0)上，所以 y0＝1， 故点 P 的坐标为(1，1)． 答案：(1，1)
2021/12/11
第二十六页，共三十六页。
第十六页，共三十六页。
解：(1)f′(x)＝（2x＋1）（exe－x）（2x2＋x）ex＝1＋xex－x2. (2)由已知 f(x)＝x－ln x＋2x－x12. 所以 f′(x)＝1－1x－x22＋x23＝x3－x2－x3 2x＋2. (3)因为 y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin 4x， 所以 y′＝－12sin 4x－12x·4cos 4x＝－12sin 4x－2xcos 4x.
第三章
一元函数的导数(dǎo shù)及其应用
2021/12/11
第一页，共三十六页。
第 1 节 导数的概念及运算
课程标准
考情ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ引
核心素养
1.了解导数概念的实际背景，知道导数
是瞬时变化率的数学表达，体会导数的
2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算pptx课件
(4)sin
π3′＝
23′＝0.
(5)(2x)′＝2xln 2.
究函数的极
Ⅱ，11,22
求参数范围 运算求解
值、最值
综合性
逻辑推理 数学运算
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
利用导数研 2022新高考 究函数的单 比较大小
Ⅰ，7 调性
逻辑思维
数学运算
综合性
运算求解
逻辑推理
2022新高考 利用导数研
Ⅰ，22；
求 值 ； 研 究 不 逻辑思维
究函数的零
2021新高考
逻辑思维
综合性
数学运算 逻辑推理
2022新高考 导数的概念 由 切 线 条 数 求 运算求解 综合性 数学运算
Ⅰ，15 和运算 取值范围
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高考
Ⅰ，7； 导数的概念 求切线方程
2022新高考 和运算
运算求解 创新性 数学运算
Ⅱ，14
求解函数的单 2021新高考 利用导数证 调 性 、 极 值 点 逻辑思维
第一讲 导数的概念及运算
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数 y＝f(x)，把式子fxx22－－fx1x1称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，还可以表示为ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
2．导数的概念
导数及其应用
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标 利用导数研 讨 论 函 数 的 单
Ⅰ，19；
调 性 ； 由 单 调 逻辑思维 究函数的单
高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件理新人教版
【训练 1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝coesx x；
(3)y＝xsin2x＋π2 cos2x＋π2 ； (4)y＝ln(2x－5).
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝coesx
5.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方 程为y＝2x，则a＝________.
解析 y′＝a－x＋1 1，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，所 以 a＝3.
答案 3
考点一 导数的运算 【例 1】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin2xcos2x；(4)y＝ln 1＋2x.
由yy＝ ＝2axx－ 2＋1（，a＋2）x＋1消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0. 由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8.
法二 同法一得切线方程为 y＝2x－1. 设 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切于点(x0，ax20＋(a＋ 2)x0＋1). ∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2). 由2aax20x＋0＋（（aa＋＋22））x0＝＋21，＝2x0－1，解得ax0＝＝8－. 12， 答案 8
【训练 2】 若存在过点(1，0)的直线与曲线 y＝x3 和 y＝ax2
＋145x－9(a≠0)都相切，则 a 的值为( )
A.－1 或－2654
B.－1 或241
C.－74或－2654
D.－74或 7
解析 由 y＝x3 得 y′＝3x2，设曲线 y＝x3 上任意一点(x0，x30)
高考数学一轮复习 第3章第1节 导数的概念及运算知识研习课件 文 新课标
• 考点三 导数的几何意义及应用 • 【案例3】 已知函数f(x)＝x3＋x－16. • (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； • (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的
方程及切点坐标；
(3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－14x＋3 垂直， 求切点坐标与切线方程．
• 点评：应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个 步骤．Δx→0⇔－Δx→0⇔3Δx→0等是活用导数的定义的 关键，变形时注意分子分母中自变量改变量的一致性．
【即时巩固 1】 已知 liΔxm→0 fx0－23ΔΔxx－fx0＝1，则
f′(x0)等于( 3
A.2
) B．1
C．0
D．－32
解析：考查导数的定义．
• 1．函数在点x0处的导数是数值，在区间(a，b)上的导数 是函数．
• 2．求函数的导数要熟练掌握求导公式．
• 3．搞清导数的物理意义，明确导数在解决实际问题(如 速度、加速度等问题)中的应用．
• 4．利用导数可求曲线在点P(x0，f(x0))处的切线方程，体 现了导数在解析几何中的工具性作用，也成为联结函数 与不等式知识的纽带．
【即时巩固 3】 已知曲线 y＝13x3＋43.
(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点 P(2,4)处的切线方程；
(3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程． • 解：(1)因为y′＝x2， • 所以在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝22＝4， • 所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为 • y－4＝4(x－2)， • 即4x－y－4＝0.
• 若y＝sin x，则y′＝
cos x .
• 若y＝cos x，则y′＝ －sin x .
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5
2. f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则 x0＝(C )
A. 2
B．－ 2
C．± 2
D．±1
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6
解析：用幂函数的导数公式求出 f′(x)，解方程可得答 案．
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7
3. 函数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx 时，函数值
相应的增量为 f(1＋Δx)－f(1) .
.
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12
解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)⇒f′(1)＝2＋2f′(1)，所以 f′(1)＝－2，f(x)＝x2－4x，f′(x)＝2x－4，所以 f′(0)＝－4.
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13
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14
一 利用定义求函数的导数
【例 1】(1)用定义法求 y＝x2 的导数． (2)航天飞机升空后一段时间内，第 t s 时的高度 h(t)＝5t3 ＋30t2＋45t＋4，其中 h 的单位为 m，t 的单位为 s. ①h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么； ②求第 2 s 内的平均速度； ③求第 2 s 末的瞬时速度．
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1
第1讲 导数的概念及运算
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2
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3
1. 物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 S＝21gt2
其中 t 为经历的时间，g＝9.8 m/s2，若 V＝Δlit→m0
S1＋Δt－S1 Δt
＝9.8 m/s，则下列说法正确的是( C )
A．0～1 s 时间段内的速率为 9.8 m/s
h2＋Δt－h2
值为 v＝
Δt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝[5(2＋Δt)3＋30(2＋Δt)2＋45(2＋Δt)
＋ 4 － (5×23 ＋ 30×22 ＋ 45×2 ＋ 4)]/Δt ＝
5Δt3＋60Δt2＋225Δt
Δt
＝5(Δt)2＋60(Δt)＋225，
当 Δt 趋向于 0 时，v 趋向于 225，
因此，第 2 s 末的瞬时速度为 225 m/s.
B．在 1～(1＋Δt)s 时间段内的速率为 9.8 m/s
C．在 1 s 末的速率为 9.8 m/s
D．若 Δt＞0，则 9.8 m/s 是 1～(1＋Δt)s 时段的速率
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4
S1＋Δt－S1
解析：由导数的物理意义可知，V＝Δlit→m0
Δt
指
的是物体在 1 秒末的瞬时速度，由此可知正确答案是 C.
2 s 内的平均速度；③求出 2 秒末的瞬时变化率，取极限值
求第 2 s 末的瞬时速度． ppt精选
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【解答过程】(1)y′＝Δlixm→0
Δy Δx
fx＋Δx－fx x＋Δx2－x2
＝
Δx
＝ Δx
x2＋2x·Δx＋Δx2－x2
＝
Δx
＝2x＋Δx， 所以 y′＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 (2x＋Δx)＝2x.
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24
二 导数的运算
【例 2】求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；
(2)y＝ln(x＋2)；
(3)y＝eexx＋－11；
(4)y＝xx＋＋csoinsxx.
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25
【思路点拨】根据函数的求导公式可得答案．
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26
【 解 答 过 程 】 (1)y′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx.
A．与 x0，h 都有关 B．仅与 x0 有关而与 h 无关 C．仅与 h 有关而与 x0 无关 D．与 x0、h 均无关
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23
解析：因为函数 f(x)在 x＝x0 处可导，所以可得 f′(x0) ＝lhi→m0 fx0＋hh－fx0，所以此极限仅与 x0 有关而与 h 无关， 故选 B.
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15
【思路点拨】(1)利用导数定义求函数的导数时，先算
函数的增量 Δy，再算比值ΔΔyx＝fx＋ΔΔxx－fx，再求极限 y′ ＝Δlixm→0 ΔΔyx；(2)①由 h(t)表示航天飞机发射 t 秒后的高度分
h2－h0 别说明 h(0)，h(1)，h(2)的意义；②直接由 2－0 得到第
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19
【温馨提示】(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)得导数 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx.简记作：一差、二比、三极 限．
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20
【跟踪训练 1】在曲线 y＝x2＋1 的图象上取一点(1,2)及邻
之间的函数关系式为 S＝14t2，t＝3 s 时，此木块在水平方向上
的瞬时速度为 1.5 m/s .
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10
解析：v＝S3＋ΔΔtt－S3＝14Δt＋23，当 Δt 趋向于 0 时， v 趋向于 1.5，故所求瞬时速度为 1.5 m/s.
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11
5.已知 f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则 f′(0)＝ 4
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17
(2)①h(0)表示航天飞机发射前的高度；
h(1)表示航天飞机升空后 1 s 的高度；
h(2)表示航天飞机升空后 2 s 的高度；
②航天飞机升空后第 2 秒内的平均速度为
－v ＝h22－－h00＝5×23＋30×222＋45×2＋4－4
＝125(m/s)．
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18
③航天飞机升空后在 t＝2 时的位移增量与时间增量的比
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8
解析：因为函数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx，所以函数在 1＋Δx 处的函数值为 f(1＋Δx)，所以函 数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx 时，函数值相 应的增量为 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)．
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9
4. 一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离 S(m)与时间 t(s)
近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔΔyx为( )
A．Δx＋Δ1x＋2
B．Δx－Δ1x－2
C．Δx＋2
D．2＋Δx－Δ1x
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21
解析：ΔΔyx＝f1＋ΔΔxx－f1＝[1＋ΔxΔ2x＋1]－2＝2＋Δx.
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22
【跟踪训练 2】设函数 f(x)在 x＝x0 处可导，则 lhi→m0 fx0＋hh－fx0( )
(2)y′＝x＋1 2(x＋2)′＝x＋1 2.
ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ －2ex
(3)y′＝
ex－12
＝ex－12.
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27
x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′
(4)y′＝
x＋sinx2
－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1
＝
x＋sinx2