浙江2010年10月办公自动化设备自考试题

2010年上海高考数学卷（文科）试题选讲
智康VIP 事业部 张 骏
2010-6-12
一、 填空题
3．行列式
cos
sin 6
6
sin
cos
6
6
π
π
π
π
的值是 。

分析：依据行列式的定义直接可求出该行列式的解为2
2
1
cos sin cos
6
6
3
2
π
π
π
-==。

行列式的计算这几年被添加到高中数学教学大纲中，对于这一内容的考核往往与复数、三角等的计算相结合。

7．圆C ：2
2
2440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。

分析：将圆C 的方程化为标准式，即()()22
121x y -+-=，则该圆是以()1,2为圆心、1
为半径的圆。

带入点到直线的距离公式d =
，可求出3d =。

此类问题一般将圆的一般式方程化为标准式方程。

当然，在解析几何中若需将圆锥曲线与直线方程联立时，则往往不需要化为标准式。

9．函数()()3log 3f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。

分析：原函数与反函数的图像关于直线y x =对称，则本题只需求出与原函数的图像与x 轴的交点关于直线y x =对称的点即可。

易知原函数的图像与x 轴的交点为()2,0-，则所求点为()0,2-。

本题依据反函数的性质直接求解，因而无需求出反函数。

二、 选择题
17．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） A ．()0,1 B ．()1,1.25 C ．()1.25,1.75 D ．()1.75,2
分析：易知()lg 2f x x x =+-在其定义域内为单调递增函数，则当0x x >时，()0f x >；当0x x <时，()0f x <。

()1.750f <，()20f >，故0x 属于区间()1.75,2。

答案为D 。

18．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
分析：由正弦定理知ABC ∆的三边满足::5:11:13a b c =。

由于边长比为5:12:13的三角形为直角三角形，参看下图，显然ABC ∆为钝角三角形。

答案为C 。

12
1355
11
三、 解答题
23．已知椭圆Γ的方程()22
2210x y a b a b
+=>>，()0,A b 、()0,B b -和(),0Q a 为Γ的三
个顶点。

（1）若点M 满足()
1
2
AM AQ AB =
+，求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E 。

若
2
122b k k a
⋅=-，证明：E 为CD 的中点；
（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是()8,1--，若椭
圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标。

分析：（1）设(),M M M x y ，则(),M M AM x y b =-，又(),A Q a b =-，()0,2AB b =-，
则
()13,222a b AQ AB ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由()
12AM AQ AB =+可求得,22a b M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
； （2）联立Γ、1l ，即22
221
1x y a b y k x p ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，化简，
得22
21122222110k k p p x x a b b b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭
，则()
()122
2211241F p p k k x x x k +=+=+， 同理，消去x 可得22
22
12c d b p
y y b a k +=-+，则CD 的中点为22122222
2
11,a k p b p b a k b a k ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭
， 将2122b k k a ⋅=-代入，可得CD 的中点为22121,k p p k k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭
，
联立Γ、2l ，即12y k x p y k x =+⎧⎨=⎩，解得21
221E E p x k k k p
y k k ⎧
=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩
，即22121,k p p E k k k k ⎛⎫
⎪--⎝⎭为CD 的中点；
（3）如图，若要12PP PP PQ +=，则四边形
12PPQP 为平行四边形。

y
P 1
Q
x
O
P 2
P
根据题意，椭圆方程为
22110025x y +=，()10,0Q ，11,2F ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，设()1:12l y k x +=-，
代入椭圆方程，消去y ，化简，
得()2
22114184100022k x k k x k ⎛⎫⎛
⎫+-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
则()
()12222111241F p p k k x x x k +=
+==+，解得12
k =，则2
2480x x --=， 由此解得()18,3P 、()26,4P --。