河北省石家庄市2019-2020学年高考第四次质量检测数学试题含解析

河北省石家庄市2019-2020学年高考第四次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ）
A ．0.2
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.8 【答案】B
【解析】
【分析】
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为
510.5102
==. 故选：B
【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题. 2．已知向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a b ⨯r r 为a r 与b r 的“向量积”，且a b ⨯r r 是一个向量，它的长度
sin a b a b θ⨯=r r r r ，若()2,0u =r ，(1,u v -=r r ，则()u u v ⨯+=r r r （ ）
A ．B
C ．6
D ．【答案】D
【解析】
【分析】
先根据向量坐标运算求出(u v +=r r 和cos ,u u v +r r r ，进而求出sin ,u u v +r r r ，代入题中给的定义即可求解.
【详解】
由题意()(v u u v =--=r r r r ，则(u v +=r r ，cos ,2u u v +=r r r ，得1sin ,2u u v +=r r r ，由定义
知()
1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=r r r r r r r r r ， 故选:D.
此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.
3．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．2e
B ．4e
C ．2e -
D ．4e
- 【答案】D
【解析】
【分析】
通过分析函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程组2ln 1040
at a at -=⎧⎨+-=⎩即得解. 【详解】
如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，
因为0x >时，()0f x ≥恒成立，
于是两函数必须有相同的零点t ，
所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩
24at t e =-=，
解得4a e
- 故选：D
本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y b x a --的取值范围是（ ） A ．[]22-,
B ．4747,⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦
C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
D ．6767,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 【答案】B
【解析】
【分析】 由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2
211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则
PQ y b k x a
-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】
Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，
P ∴在圆()2
211x y -+=上， (),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，
Q ∴在圆()()22
341x y ++-=上， 则PQ y b k x a
-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ，
由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，
设两圆内公切线方程为y kx m =+，
则2211343411k m k k m k m k m
k ⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩
， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，
可得2m k =+，2222111k m
k k k ++∴==++，
化为23830k k ++=，473
k -±=， 即4747,AB CD k k ---+==， 4747PQ y b k x a ----+∴≤=≤-， y b x a --的取值范围4747,3
3⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦，故选B. 【点睛】
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
5．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：
若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A ．324
B ．522
C ．535
D ．578
【答案】D
【解析】
【分析】
因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.
【详解】
从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:
436,535,577,348,522,535,578,324,577,L，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L，故第6个数据为578.选D.
【点睛】
本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.
6．下列命题为真命题的个数是（）（其中π，e为无理数）
3
2
>；②
2
ln
3
π<；③
3
ln3
e
<.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数
()2
ln,0
3
f x x x
=->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()
f f e
π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln,0
f x e x x x
=->，利用导数求得函数的最大值为()0
f e=，进而得到()30
f<，即可判定是正确的.
【详解】
由题意，对于①中，由2
39
,() 2.25
24
e
===，可得 2.25
e>，根据不等式的性质，
3
2
>成立，所以是正确的；
对于②中，设函数()
2
ln,0
3
f x x x
=->，则()10
f x
x
'=>，所以函数为单调递增函数，
因为e
π>，则()()
f f e
π>
又由()
221
ln10
333
f e e
=-=-=>，所以()0
fπ>，即2
ln
3
π>，所以②不正确；
对于③中，设函数()ln,0
f x e x x x
=->，则()1
e e x
f x
x x
-
'=-=，
当(0,)
x e
∈时，()0
f x
'>，函数()
f x单调递增，
当(,)
x e
∈+∞时，()0
f x
'<，函数()
f x单调递减，
所以当x e
=时，函数取得最大值，最大值为()ln0
f e e e e
=-=，
所以()3ln330
f e
=-<，即ln33
e<，即
3
ln3
e
<，所以是正确的.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，
利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
7．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A ．19
B ．29
C ．13
D ．49
【答案】B
【解析】
【分析】
根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222
C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为11
22C C ，最后简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C
将选中2名女生平均分为两组：112122C C A 将选中2名男生平均分为两组：112122
C C A 则选出的4人分成两队混合双打的总数为：
221111112223322212133
222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C = 所以所求的概率为
42189
= 故选：B
【点睛】 本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以m m A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.
8．若双曲线C ：2
21x y m
-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）
A ．49
B ．94
C ．23
D ．32
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值.
【详解】 由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m
=>，320x y +=可化为32
y x =-32=，解得49
m =. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
9．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，
2CE ED =，则BE AB ⋅=u u u r u u u r
（ ）
． A ．3-
B ．6-
C ．4
D ．9 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 可得结果.
【详解】
根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD =
在ADC V 中，又2AC =,60BAC ∠=︒
则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-
则DC =则CD AB ⊥
则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：B
【点睛】
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x
f x m =-，则()2019f =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2 【答案】B
【解析】
【分析】
根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1．
【详解】
∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-；
∴(2)()()f x f x f x +=-=-；
∴(4)()f x f x +=；
∴()f x 的周期为4；
∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-；
∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=；
∴1m =；
∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；
∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
11．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．12-
D ．12
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值．
【详解】
解：()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++Q 在复平面内所对应的点在虚轴上，
2a 10∴-=，即1a 2
=
． 故选D ．
【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
12． 下列与
的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A ．2kπ＋45°(k ∈Z)
B ．k·360°＋π(k ∈Z)
C ．k·360°－315°
(k ∈Z) D ．kπ＋ (k ∈Z) 【答案】C
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.
【详解】
与的终边相同的角可以写成2kπ＋ (k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确. 故答案为C
【点睛】
（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与α终边相同的角β=0360k ⋅+α 其中k z ∈.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P Q 、是面对角线11A C 上两个不同的动点.以下四个命题：①存在P Q 、两点，使BP DQ ⊥；②存在P Q 、两点，使BP DQ 、与直线1B C 都成45︒的角；③若||1PQ =，则四面体BDPQ 的体积一定是定值；④若||1PQ =，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
对于①中，当P 点与1A 点重合，Q 与点1C 重合时，可判断①正确；当点P 点与1A 点重合，BP 与直线1B C 所成的角最小为60o ，可判定②不正确；根据平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，
高之和为PQ 的棱锥，可判定③正确；四面体BDPQ 在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.
【详解】
对于①中，当P 点与1A 点重合，Q 与点1C 重合时，BP DQ ⊥，所以①正确；
对于②中，当点P 点与1A 点重合，BP 与直线1B C 所成的角最小，此时两异面直线的夹角为60o ，所以②不正确；
对于③中，设平面1111D C B A 两条对角线交点为O ，可得PQ ⊥平面OBD ，
平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，
所以四面体BDPQ 的体积一定是定值，所以③正确；
对于④中，四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，
四面体BDPQ 在四个侧面上的投影，均为上底为22
，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】
本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 14．若x ，y 均为正数，且x y xy +=，则x y +的最小值为________.
【答案】4
【解析】
【分析】
由基本不等式可得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,则2
2x y x y +⎛⎫+≤ ⎪
⎝⎭
,即可解得4x y +≥.
【详解】
方法一：2
42x y x y xy x y +⎛⎫+=≤⇒+≥ ⎪⎝⎭
，当且仅当2x y ==时取等. 方法二：因为x y xy +=，所以
11
11x y xy x y
+=⇒+=， 所以11()22124x y
x y x y x y y x
⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等. 故答案为:4. 【点睛】
本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.
15．已知函数21,0()(2),0
x x f x f x x -⎧-≤=⎨
->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】(,3)-∞ 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象，再画3
2
y x a =+的图象，求出一个交点时的a 的值，然后平行移动可得有两个交点时的a 的范围． 【详解】
函数()f x 的图象如图所示：
因为方程3
()2
f x x a =
+有且只有两个不相等的实数根， 所以()y f x =图象与直线3
2
y x a =+有且只有两个交点即可，
当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a =时，3
2
y x a =+与函数()f x 有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得3a <， 故答案为：(,3)-∞． 【点睛】
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为1
2n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列，()()111n
n n n a b a a +=
--，数
列{}n b 的前项和为n T ，则满足2017
2018
n T >的最小正整数n 的值为______________. 【答案】1 【解析】 【分析】
本题先根据公式11,1
,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…
初步找到数列{}n a 的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得m
的值，即可确定数列{}n a 的通项公式，代入数列{}n b 的表达式计算出数列{}n b 的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和n T ，再代入不等式2017
2018
n T >进行计算可得最小正整数n 的值． 【详解】
由题意，当1n =时，11
1124a S m m +==+=+．
当2n …
时，11222n n n n n n a S S m m +-=-=+--=． 则4
4216a ==，5522230a -=-=．
1a Q ，4a ，52a -成等差数列，
15422a a a ∴+-=，即430216m ++=⨯，
解得2m =-．
12a ∴=．
2n n a ∴=，*n N ∈．
∴11
1211
(1)(1)(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b a a +++===-------． 12n n T b b b ∴=++⋯+
12231111111
212121212121
n n +=
-+-+⋯+------- 11
121
n +=--．
Q
2017
2018 n
T>
，
1
12017
1
212018
n+
∴->
-
．
即
1
11
212018
n+
<
-
，
1
212018
n+
∴->，即1
22019
n+>，
10
210242019
=<
Q，11220482019
=>，
111
n
∴+…，即10
n…．
∴满足
2017
2018
n
T>的最小正整数n的值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前n项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，三棱台ABC EFG
-的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB2GF,BF CF
==. （1）求证：AB CG
⊥；
（2）若BC CF
=，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
6
4
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF，易证四边形CDFG为平行四边形，即//
CG DF，由于BF CF
=，D为BC的中点，可得到DF BC
⊥，从而得到CG BC
⊥，即可证明CG⊥平面ABC，从而得到
CG AB
⊥；（Ⅱ）易证DB，DF，DA两两垂直，以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz
-，求出平面BEG的一个法向量为()
,,
n x y z
=
v
，设AE与平面BEG所成角为θ，则sin cos,
AE n
AE n
AE n
u u u v v
u u u v v
u u u v v
θ
⋅
=〈〉=
⋅
，即可得到答案．
【详解】
解：（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF.
由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴
DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB Ì平面ABC ， ∴CG AB ⊥. （Ⅱ）连结AD .
由ABC ∆是正三角形，且D 为中点，则AD BC ⊥. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF
AD ⊥，DF BC ⊥，
∴DB ，DF ，DA 两两垂直.
以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
设2BC =，则()
003A ,,，13,3,22E ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，()1,0,0B ，()
1,3,0G -， ∴13,3,2AE u u u v ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()
2,3,0BG =-u u u v ，33,3,2BE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v . 设平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =v
.
由0{0BG n BE n ⋅=⋅=u u u v v u u u v v 可得，230{3330
2x y x y z -+=-++=. 令3x =，则2y =，1z =-，∴()
3,2,1n =-v
.
设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6
sin cos ,4AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉==⋅u u u v v
u u u v v u u u
v v .
【点睛】
本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题． 18．已知函数2
1()(1)ln ,2
f x ax a x x a R =
-++∈． （1）当0a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性．
【答案】（1）222ln 20x y ++-=；（2）当0a …时,()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减；当
01a <<时,()f x 在(0,1)和1,a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上单调递增,在11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时,()f x 在(0,)+∞上单调
递增；当1a >时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭和(1,)+∞上单调递增,在1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. 【解析】 【分析】
(1)根据导数的几何意义求解即可. (2)易得函数定义域是(0,)+∞,且(1)(1)
()ax x f x x
--'=
.故分0a …,01a <<和1a =与1a >四种情况,分别
分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可. 【详解】
（1）当0a =时,1()ln ,()1f x x x f x x '=-+=-+
,则切线的斜率为11(2)122
f '=-+=-. 又(2)2ln2f =-+,则曲线()f x 在点(2,(2))f 的切线方程是1
(2ln 2)(2)2
y x --+=--, 即222ln 20x y ++-=. （2）2
1()(1)ln 2
f x ax a x x =
-++的定义域是(0,)+∞. 21(1)1(1)(1)
()(1)ax a x ax x f x ax a x x x
-++--'=-++==
. ①当0a …时,10ax -<,所以当(0,1)x ∈时,()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减；
②当01a <<时,
11a >,所以当(0,1)x ∈和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当11,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,1)和1,a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
上单调递增,在11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；
③当1a =时,1
1a =,所以()0f x '…在(0,)+∞上恒成立.所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ④当1a >时,1
01a
<<,
所以10,
x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和(1,)+∞时,()0f x '>；1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<. 所以()f x 在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞上单调递增,在1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. 综上所述,当0a …时,()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时,()f x 在(0,1)和
1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时,()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时,()f x 在
10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
和(1,)+∞上单调递增,在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.
19．某企业现有A ．B 两套设备生产某种产品，现从A ，B 两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在[)20,40内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A 设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从B 设备抽取的样本频数分布表. 图1：A 设备生产的样本频率分布直方图
表1：B 设备生产的样本频数分布表 质量指标值 [15,20)
[20,25)
[)25,30
[)30,35
[)35,40
[)40,45
频数
2
18
48
14
16
2
（1）请估计A ．B 设备生产的产品质量指标的平均值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件利润240元；质量指标值落在[)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品
定为三等品，每件利润120元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A，B两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？
【答案】（1）A x=30.2，B x=29；（2）B设备
【解析】
【分析】
（1）平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；
20,40内的产品才视为合格品，列出A、B设备利润分布列，算出期望即可作出（2）要注意指标值落在[)
决策.
【详解】
（1）A设备生产的样本的频数分布表如下
0.0417.50.1622.50.4027.50.1232.50.1837.50.1042.530.2
x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
A
根据样本质量指标平均值估计A设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.
B设备生产的样本的频数分布表如下
17.50.0222.50.1827.50.4832.50.1437.50.1642.50.0229
x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
B
根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.
（2）A设备生产一件产品的利润记为X，B设备生产一件产品的利润记为Y，
()(24020180141209)195.3543
E X =
⨯+⨯+⨯= 111
()240180120200236E Y =⨯+⨯+⨯=
()()E X E Y <
若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大B 设备的生产规模. 【点睛】
本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是一道中档题.
20．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥. （1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；
（2）求数列13n n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
【答案】（1）见解析（2）112
231
n n S +=-+ 【解析】 【分析】
（1）根据题目所给递推关系式得到
11
3n n
n n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和n S . 【详解】
（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-
11
*,2,
3n n
n n a b n N n a b ---∈≥=-
所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，()()1111113,22n
n n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+
∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=， ∴213n n a =+，
∴()()1
113431
1231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
∴1
11111
1241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11
1
1122431231
n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题. 21．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,二阶矩阵B 满足1001AB ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
.
（1）求矩阵B ;
（2）求矩阵B 的特征值． 【答案】（1）1101B ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
（2）特征值为1或1-． 【解析】 【分析】
（1）先设矩阵B ,根据1001AB ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
,按照运算规律,即可求出矩阵B . （2）令矩阵B 的特征多项式等于0,即可求出矩阵B 的特征值． 【详解】
解：（1）设矩阵a b B c d ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
由题意, 因为1001AB ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
,
所以11100101a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1001a c b d c d +=⎧⎪+=⎪⎨
-=⎪⎪-=⎩ ,即1101
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=⎪⎪=-⎩ 所以2101B ⎡⎤
=⎢
⎥
-⎣⎦
, （2）矩阵B 的特征多项式()()()11f
λλλ=+-,
令()0f λ=,解得1λ=或1-, 所以矩阵B 的特征值为1或1-． 【点睛】
本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.
22．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：
（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？
（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
【答案】（1）有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）80 243
【解析】
【分析】
(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值2
K,从而由参考数据作出判断.
(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻
人的概率为1
3
，是老年人的概率为
2
3
.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.
【详解】
（1）由题意可知
()2
2
10050202010800
12.69810.828
6040703063
K
⨯-⨯
==≈>
⨯⨯⨯
，
∴有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为1
3
，是老年人的概率为
2
3
.
5
∴人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率
23
2
5
1280
33243 P C
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
⎛⎫
⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.
23．已知*,,a b c R ∈，1a b c ++=，求证：
（1≤；
（2）11133131312
a b c ++≥+++. 【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1222
a b b c c a +++≤≤≤可证明；
（2）利用基本不等式得4(31)431a a ++≥=+，即43331a a ≥-+，同理得其他两个式子，三式相加可证结论．
【详解】
（1222
a b b c c a +++≤≤≤，
∴2=+++a b c ()()()()3a b c a b b c c a ≤++++++++=，当且仅当a=b=c 等号成立，
≤
（2）由基本不等式4(31)431a a ++≥=+， ∴43331a a ≥-+，同理43331b b ≥-+，43331
c c ≥-+， ∴1114(
)93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++，当且仅当a=b=c 等号成立 ∴11133131312
a b c ++≥+++． 【点睛】
本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立．解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法．。