高中物理 第一章 静电场 第6讲 匀强电场中电势差与电场强度的关系 示波管原理学案 教科版选修3-1.doc

第6讲 匀强电场中电势差与电场强度的关系 示波管原理
[目标定位] 1.理解在匀强电场中电势差与电场强度的关系：U AB ＝Ed 或E ＝
U AB
d
，了解其适用条件.2.了解示波管的构造和工作原理，掌握带电粒子在电场中的加速和偏转问题．
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．关系式：U AB ＝Ed ．
物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于场强与这两点间沿电场线方向的距离的乘积． 2．场强的大小：E ＝U d
．
物理意义：匀强电场中电场强度等于沿场强方向每单位距离上的电势差． 3．沿电场线的方向电势越来越低．
例1 如图1所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa ＝50 V ，φc ＝20 V ，则a 、c 连线中点b 的电势φb 为( )
图1
A ．等于35 V
B ．大于35 V
C ．小于35 V
D ．等于15 V
解析 从电场线疏密可以看出E a ＞E b ＞E c ，由公式U AB ＝Ed 可以判断U ab ＞U bc ，所以φb ＜φa ＋φc
2
＝35 V. 答案 C
U AB ＝Ed 只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地
分析有关问题．
(1)如图1中电场线分布可知，ab 段上任一点的场强都大于bc 段上任一点的场强，由U ＝Ed 知，U ab ＞U bc .
(2)在同一幅等势面图中，若相邻等势面间的电势差取一定值，相邻等势面间的间距越小(等
势面越密)，场强E ＝U d
就越大．
例2 如图2所示，A 、B 是匀强电场中相距4 cm 的两点，其连线与电场方向成60°角，两点间的电势差为200 V ，则电场强度大小为( )
图2
A ．8 V/m
B ．50 V/m
C ．5×103
V/m D ．1×104 V/m
解析 由电势差和电场强度的关系U ＝Ed ，得E ＝U d ＝U AB cos 60°
＝1×104
V/m ，D 正确．
答案 D
关于场强E 的几个表达式的比较
(1)E ＝F q
是电场强度的定义式，适用于任意电场．
(2)E ＝kQ r
2是真空中点电荷电场强度的决定式，只适用于真空中的点电荷． (3)E ＝
U AB
d
是匀强电场中电场强度与电势差间的关系式，只适用于匀强电场． 二、示波管的原理
1．构造
示波管是示波管的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由一对X 偏转电极板和一对Y 偏转电极板组成)和荧光屏组成，如图3所示．
图3
2．原理：
(1)电子在电子枪中被加速
脱离阴极的电子在电场力的作用下加速，阴极和阳极间的电压U 0越高，由qU 0＝12mv 2
知，电
子获得的速度越大． (2)电子在匀强电场中偏转
如图4甲所示，质量为m 、电荷量为q 的粒子，以初速度v 0垂直于电场方向进入两平行板间场强为E 的匀强电场，极板间距离为d ，两极板间电势差为U ，板长为l .
图4
①运动性质
沿初速度方向：做速度为v 0的匀速直线运动．
沿电场力方向：做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a ＝qE m ＝qU
md
的匀加速直线运动． ②运动规律
③一个重要的结论： 由
y tan θ＝l 2，可知x ＝l
2
. 如图乙所示，粒子射出电场时速度方向的反向延长线过水平位移的中点，即粒子就像是从极板间l
2处射出的一样． 深度思考
质子1
1H 和α粒子4
2He 由静止经同一电场加速后再垂直进入同一偏转电场，它们离开偏转电场时偏移量相同吗？为什么？
答案 相同．设加速电场的电压为U 0，有
qU 0＝1
2
mv 20①
偏移量y ＝12at 2＝12·qU md (l v 0
)2
②
联立①②，得y ＝Ul 2
4U 0d
.
即偏移量与m 、q 均无关．
例3 如图5所示，在P 板附近有一电子由静止开始向Q 板运动，则关于电子到达Q 时的速率与哪些因素有关的下列解释正确的是( )
图5
A ．两极板间的距离越大，加速的时间就越长，则获得的速率越大
B ．两极板间的距离越小，加速的时间就越短，则获得的速率越小
C ．两极板间的距离越小，加速度就越大，则获得的速率越大
D ．与两板间的距离无关，仅与加速电压U 有关
解析 由动能定理得eU ＝12mv 2
，当两极板间的距离变化时，U 不变，v 就不变．故D 正确．
答案 D
1．两类带电体
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除特殊说明外，一般忽略粒子的重力(但并不忽略质量)．
(2)带电微粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除特殊说明外，一般不忽略重力． 2．处理加速问题的分析方法
(1)根据带电粒子所受的力，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等．
(2)一般应用动能定理来处理问题，若带电粒子只受电场力作用： ①若带电粒子的初速度为零，则它的末动能12mv 2
＝qU ，末速度v ＝
2qU
m
.
②若粒子的初速度为v 0，则12mv 2－12
mv 2
0＝qU ，末速度v ＝
v 20＋
2qU
m
.
例4 如图6为一真空示波管的示意图，电子从灯丝K 发出(初速度可忽略不计)，经灯丝与
A 板间的电压U 1加速，从A 板中心孔沿中心线KO 射出，然后进入两块平行金属板M 、N 形成
的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M 、N 间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P 点．已知M 、N 两板间的电压为U 2，两板间的距离为d ，板长为L ，电子的质量为m ，电荷量为e ，不计电子受到的重力及它们之间的相互作用力．
图6
(1)求电子穿过A 板时速度的大小； (2)求电子从偏转电场中射出时的偏移量；
(3)若要电子打在荧光屏上P 点的上方，可采取哪些措施？
解析 (1)设电子经电压U 1加速后的速度为v 0，由动能定理有eU 1＝12mv 2
解得v 0＝
2eU 1
m
.
(2)电子沿极板方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动．设电子在偏转电场中运动的时间为t ，加速度为a ，电子离开偏转电场时的偏移量为y .由牛顿第二定律和运动学公式有t ＝L
v 0
a ＝eU 2md
y ＝12
at 2 解得y ＝U 2L 2
4U 1d
.
(3)减小加速电压U 1或增大偏转电压U 2. 答案 (1)
2eU 1
m (2)U 2L 2
4U 1d
(3)见解析
无论粒子的质量m 、电荷量q 如何，只要经过同一电场U 1加速，再垂直进入同一偏转电场U 2，
它们飞出时的偏移量y 相同(y ＝U 2l 24U 1d )，偏转角θ(tan θ＝U 2l
2U 1d
自己证明)也相同．所以同性
粒子运动轨迹完全重合.
1．(公式U AB ＝Ed 和E ＝
U AB d 的理解与应用)对公式E ＝U AB
d
的理解，下列说法正确的是( ) A ．此公式适用于计算任何电场中A 、B 两点间的电势差 B ．A 点和B 点间距离越大，则这两点的电势差越大 C ．公式中d 是指A 点和B 点之间的距离 D ．公式中的d 是A 、B 两个等势面间的垂直距离 答案 D 解析 公式E ＝
U AB
d
只适用于匀强电场，A 错，公式中的d 是A 、B 两个等势面间的垂直距离，A 点和B 点间距离大，等势面间的垂直距离不一定大，故B 、C 错，D 正确．
2．(公式U AB ＝Ed 和E ＝
U AB
d
的理解与应用)平行的带电金属板A 、B 间是匀强电场，如图7所示，两板间距离是5 cm ，两板间的电压是60 V.
图7
(1)两板间的场强是________；
(2)电场中有P 1和P 2两点，P 1点离A 板0.5 cm ，P 2点离B 板也是0.5 cm ，P 1和P 2两点间的电势差U 12＝________.
答案 (1)1.2×103
V/m (2)48 V
解析 (1)两板间是匀强电场，由U AB ＝Ed 可得两板间的场强E ＝U AB d ＝60 V 5×10－2 m
＝1.2×103
V/m.
(2)P 1、P 2两点间沿场强方向的距离：d ′＝4 cm. 所以U 12＝Ed ′＝1.2×103
×4×10－2
V ＝48 V.
3．(带电粒子在电场中的加速)如图8所示，M 和N 是匀强电场中的两个等势面，相距为d ，电势差为U ，一质量为m (不计重力)、电荷量为－q 的粒子，以速度v 0通过等势面M 射入两等势面之间，则该粒子穿过等势面N 的速度应是( )
图8
A.
2qU
m
B ．v 0＋ 2qU m
C. v 20＋2qU
m D.
v 20－
2qU
m
答案 C
解析 qU ＝12mv 2－12
mv 2
0，v ＝
v 20＋
2qU
m
，选C.
4．(带电粒子在电场中的偏转)一束电子流在经U ＝5 000 V 的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图9所示．若两板间距离d ＝1.0 cm ，板长l ＝ 5.0 cm ，那么，要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最大能加多大电压？
图9
答案 400 V
解析 加速过程中，由动能定理有：
eU ＝1
2
mv 20
进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速直线运动
l ＝v 0t
在垂直于板面的方向电子做匀加速直线运动， 加速度a ＝F m ＝
eU ′
dm
偏移的距离y ＝12at 2
电子能飞出的条件y ≤d
2
联立解得U ′≤2Ud 2l 2＝2×5 000×1.0×10－4
（5.0×10－2）2
V ＝4.0×102
V 即要使电子能从平行板间飞出，两极板上所加电压最大为400 V.
题组一 公式U AB ＝Ed 和E ＝
U AB
d
的理解与应用 1．(多选)关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是( ) A ．任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积 B ．沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等 C ．电势降低最快的方向必是场强方向
D ．在相同距离的两点上，电势差大的，其场强也大 答案 BC
解析 U AB ＝Ed 中的d 为A 、B 两点沿电场方向的距离，选项A 、D 错误；由U AB ＝Ed 可知沿电场线方向，电势降低最快，且相同距离上电势降落必相等，选项B 、C 正确．
2．如图1所示，A 、B 两点相距10 cm ，E ＝100 V/m ，AB 与电场线方向的夹角θ＝120°，求
A 、
B 两点间的电势差为( )
图1
A ．5 V
B ．－5 V
C ．10 V
D ．－10 V 答案 B
解析 A 、B 两点在场强方向上的距离d ＝AB －
·cos (180°－120°)＝10×1
2
cm ＝5 cm.由于
φA ＜φB ，则根据U AB ＝Ed 得U AB ＝－Ed ＝－100×5×10－2 V ＝－5 V.
3．如图2所示，一电场的电场线分布关于y 轴(沿竖直方向)对称，O 、M 、N 是y 轴上的三个点，且OM ＝MN .P 点在y 轴右侧，MP ⊥ON .则下列说法正确的是( )
图2
A ．M 点的电势比P 点的电势高
B ．将负电荷由O 点移动到P 点，电场力做正功
C ．M 、N 两点间的电势差大于O 、M 两点间的电势差
D ．M 、N 两点间的电势差等于O 、M 两点间的电势差 答案 A
解析 根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断M 点的电势比P 点的电势高，A 正确．负电荷由O 点移到P 点，电场力做负功，B 错误．由U ＝Ed 进行定性分析可知，C 、D 错误．
4．(多选)如图3所示，A 、B 两板间电压为600 V ，A 板带正电并接地，A 、B 两板间距离为12 cm ，C 点离A 板4 cm ，下列说法正确的是( )
图3
A ．E ＝2 000 V/m ，φC ＝200 V
B ．E ＝5 000 V/m ，φ
C ＝－200 V C ．电子在C 点具有的电势能为－200 eV
D ．电子在C 点具有的电势能为200 eV 答案 BD
解析 A 板接地，则其电势为零，又因为A 、B 两板间的电压为600 V ，则B 板电势为－600 V ，由此知C 点电势为负值，则A 、B 两板间场强E ＝U d ＝
600 V
12 cm
＝50 V/cm ＝5 000 V/m ，φC ＝E ×d C
＝50 V/cm ×(－4 cm)＝－200 V ，A 错误，B 正确；电子在C 点具有的电势能为200 eV.C 错误，D 正确．
5．如图4所示，A 、B 、C 三点都在匀强电场中，已知AC ⊥BC ，∠ABC ＝60°，BC －
＝20 cm ，把一个电荷量q ＝10－5
C 的正电荷从A 移到B ，电场力做功为零；从B 移到C ，电场力做功为－1.73×10－3
J ，则该匀强电场的电场强度大小和方向为( )
图4
A ．865 V/m ，垂直AC 向左
B ．865 V/m ，垂直A
C 向右 C ．1 000 V/m ，垂直AB 斜向上
D ．1 000 V/m ，垂直AB 斜向下 答案 D
解析 把电荷q 从A 移到B ，电场力不做功，说明A 、B 两点在同一等势面上，因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB 即为等势线，电场强度方向垂直于等势面，可见，
选项A 、B 错误；U BC
＝W BC q ＝－1.73×10－310
－
5
V ＝－173 V ，B 点电势比C 点低173 V ，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB 斜向下，电场强度大小E ＝U d
＝U
BC －
sin 60°
＝
1730.2×
3
2
V/m ≈1 000 V/m ，因此选项D 正确，C 错误．
题组二 带电粒子在电场中的加速
6．如图5所示，在点电荷＋Q 激发的电场中有A 、B 两点，将质子和α粒子分别从A 点由静止释放到达B 点时，它们的速度大小之比为( )
图5
A ．1∶2
B ．2∶1 C.2∶1 D ．1∶ 2 答案 C
解析 质子和α粒子都带正电，从A 点释放将受静电力作用加速运动到B 点，设A 、B 两点间的电势差为U ，由动能定理可知，对质子：12m H v 2
H ＝q H U ，
对α粒子：12m αv 2
α＝q αU .
所以
v H
v α＝ q H m α
q αm H ＝ 1×4
2×1
＝2∶1. 7．(多选)图6为示波管中电子枪的原理示意图，示波管内被抽成真空．A 为发射电子的阴极，
K 为接在高电势点的加速阳极，A 、K 间电压为U ，电子离开阴极时的速度可以忽略，电子经
加速后从K 的小孔中射出时的速度大小为v .下面的说法中正确的是( )
图6
A ．如果A 、K 间距离减半而电压仍为U ，则电子离开K 时的速度仍为v
B ．如果A 、K 间距离减半而电压仍为U ，则电子离开K 时的速度变为v
2
C ．如果A 、K 间距离不变而电压减半，则电子离开K 时的速度变为
22
v D ．如果A 、K 间距离不变而电压减半，则电子离开K 时的速度变为v
2
答案 AC
解析 电子在两个电极间的加速电场中进行加速，由动能定理eU ＝12
mv 2
－0得v ＝
2eU
m
，
当电压不变，A 、K 间距离变化时，不影响电子的速度，故A 正确；电压减半，则电子离开K 时的速度为
2
2
v ，C 正确． 题组三 带电粒子在电场中的偏转
8．喷墨打印机的简化模型如图7所示，重力可忽略的墨汁微滴，经带电室带负电后，以速度
v 垂直匀强电场飞入极板间，最终打在纸上，则微滴在极板间电场中( )
图7
A ．向负极板偏转
B ．电势能逐渐增大
C ．运动轨迹是抛物线
D ．运动轨迹与带电量无关 答案 C
解析 微滴带负电，进入电场，受电场力向上，应向正极板偏转，A 错误；电场力做正功，电势能减小，B 错误；微滴在电场中做类平抛运动，沿v 方向：x ＝vt ，沿电场方向：y ＝12at 2
，
又a ＝qU md ，得y ＝qU
2mv 2d x 2
，即微滴运动轨迹是抛物线，且运动轨迹与电荷量有关，C 正确、D
错误．
9.如图8所示，有一带电粒子贴着A 板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U 1时，带电粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U 2时，带电粒子沿②轨迹落到B 板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为( )
图8
A ．U 1∶U 2＝1∶8
B ．U 1∶U 2＝1∶4
C ．U 1∶U 2＝1∶2
D ．U 1∶U 2＝1∶1 答案 A
解析 由y ＝12at 2＝12·Uq md ·l
2
v 20
得：
U ＝2mv 2
0dy ql 2，所以U ∝y
l
2，可知A 项正确．
10．如图9所示的示波管，当两偏转电极XX ′、YY ′电压为零时，电子枪发射的电子经加速电场加速后会打在荧光屏上的正中间(图示坐标系的O 点，其中x 轴与XX ′电场的场强方向重合，x 轴正方向垂直于纸面向里，y 轴与YY ′电场的场强方向重合，y 轴正方向竖直向上)．若要电子打在图示坐标系的第Ⅲ象限，则( )
图9
A ．X 、Y 极接电源的正极，X ′、Y ′接电源的负极
B ．X 、Y ′极接电源的正极，X ′、Y 接电源的负极
C ．X ′、Y 极接电源的正极，X 、Y ′接电源的负极
D ．X ′、Y ′极接电源的正极，X 、Y 接电源的负极 答案 D
解析 若要使电子打在题图所示坐标系的第Ⅲ象限，电子在x 轴上向负方向偏转，则应使X ′接正极，X 接负极；电子在y 轴上也向负方向偏转，则应使Y ′接正极，Y 接负极，所以选项D 正确．
题组四 综合应用
11．电子的电荷量的绝对值为e ，质量为m ，以速度v 0沿电场线方向射入场强为E 的匀强电场中，如图10所示．电子从A 点射入，到B 点速度变为零．问：
图10
(1)A 、B 两点间的电势差是多大？ (2)A 、B 两点间的距离是多大？
答案 (1)mv 2
02e (2)mv 20
2eE
解析 (1)由题意可知全过程只有电场力做功，则有eU AB ＝12
mv 2
0，
解得U AB ＝mv 20
2e
.
(2)由U AB ＝Ed ，可得d ＝U AB E ＝mv 20
2eE
.
12．如图11所示，质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，以初速度v 0垂直射入场强大小为E 、方向竖直向下的匀强电场中，射出电场的瞬时速度的方向与初速度方向成30°角．在这一过程中，不计粒子重力．求：
图11
(1)该粒子在电场中经历的时间； (2)粒子在这一过程中电势能的增量． 答案 (1)
3mv 03Eq (2)－16
mv 2
0 解析 (1)分解末速度v y ＝v 0tan 30°，在竖直方向v y ＝at ，a ＝qE
m
，联立三式可得
t ＝
3mv 0
3Eq
. (2)射出电场时的速度v ＝v 0cos 30°＝23
3
v 0，由动能定理得电场力做功为
W ＝12mv 2－12mv 20＝16
mv 2
0，
根据W ＝E p1－E p2得 ΔE p ＝－W ＝－16
mv 2
0.
13．一束电子从静止开始经加速电压U 1加速后，以水平速度射入水平放置的两平行金属板中间，如图12所示，金属板长为l ，两板距离为d ，竖直放置的荧光屏距金属板右端为L .若在
两金属板间加直流电压U 2时，光点偏离中线打在荧光屏上的P 点，求OP －
.
图12
答案
U 2l 2U 1d (l
2
＋L ) 解析 电子经U 1的电场加速后，由动能定理可得
eU 1＝
mv 20
2
①
电子以v 0的速度进入U 2的电场并偏转
t ＝l v 0② E ＝U 2
d ③
a ＝eE m ④
v ⊥＝at ⑤
由①②③④⑤得射出极板的偏转角θ的正切值tan θ＝
v ⊥v 0＝U 2l 2U 1d
. 所以OP －
＝(l 2＋L )tan θ＝U 2l 2U 1d (l
2
＋L )．。