湖南省张家界一中2013届高三数学上学期第三次月考试卷 理(含解析)新人教A版

2012-2013学年某某省某某一中高三（上）第三次月考数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）．
1．（5分）（2012•某某二模）已知全集U=R，A={A|x|x2﹣2x＜0}，B={x|2x﹣2≥0}则A∩（C u B）=（）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0≤x≤2}D．{x|0＜x≤2}
考
点：
交、并、补集的混合运算．
专
题：
计算题．
分析：由全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|2x﹣2≥0}={x|x≥1}，先求出C U B={x|x＜1}，再求A∩（C u B）．
解答：解：∵全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|2x﹣2≥0}={x|x≥1}，
∴C U B={x|x＜1}，
∴A∩（C u B）={x|0＜x＜1}．
故选B．
点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
2．（5分）（2008•某某）函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（）
A．
x=﹣B．
x=﹣
C．
x=
D．
x=
考
点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
分
析：
令2x+=求出x的值，然后根据k的不同取值对选项进行验证即可．解
答：
解：令2x+=，∴x=（k∈Z）
当k=0时为D选项，
故选D．
点
评：
本题主要考查正弦函数对称轴的求法．属基础题．
3．（5分）已知：，则的夹角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
考
点：
数量积表示两个向量的夹角．
专
题：
平面向量及应用．
分
析：
由已知，利用平方法，求得=0，进而根据向量垂直的充要条件，确定的夹角
解
答：
解：∵，
故===5
故=0
故的夹角为90°
故选D
点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据已知求出向量的数量积是解答的关键．
4．（5分）（2009•某某二模）在如图所示的程序框图中，当n∈N*（n＞1）时，函数f n（x）表示函数f n﹣1（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinx+cosx，则输出的函数f n（x）可化为（）
A．
sin（x﹣）B．
﹣sin（x﹣）
C．
sin（x+）
D．
﹣sin（x+）
考
点：
循环结构．
专
题：
阅读型．
分析：先根据流程图弄清概括程序的功能，然后计算分别f1（x），f2（x）、f3（x）、f4（x）、f5（x），得到周期，从而求出f2009（x）的解析式．
解答：解：由框图可知n=2009时输出结果，
由于f1（x）=sinx+cosx，
f2（x）=﹣sinx+cosx，
f3（x）=﹣sinx﹣cosx，
f4（x）=sinx﹣cosx，
f5（x）=sinx+cosx，，
所以f2009（x）=f4×501+5（x）=sinx+cosx=sin（x+）．故选C．
点评：本题主要考查了直到型循环结构，以及从识别流程图，整体把握，概括程序的功能，同时考查周期性，属于中档题．
5．（5分）已知奇函数，则m=（）
A．﹣2 B．2C．﹣1 D．1
考
点：
函数奇偶性的性质．
专
题：
函数的性质及应用．
分
析：
特值法：由奇函数性质可得f（﹣1）=﹣f（1），代入解析式可得一方程，解出即可．
解答：解：由所给解析式可得，f（1）=﹣1+2=1，f（﹣1）=1﹣m，又因为f（x）为奇函数，
所以有f（﹣1）=﹣f（1），即1﹣m=﹣1，解得m=2．
故选B．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，属基础题，解决本题采用了特值法，比较简单明了，用奇函数定义也可，但过程显得复杂．
6．（5分）p：“|a|＜1，|b|＜1”是q：“|1﹣ab|＞|a﹣b|”的（）条件．A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充要D．既不充分也不必要
考
点：
充要条件．
专证明题．
题：
分析：由p：“|a|＜1，|b|＜1”成立，利用不等式的性质可以推出q：“|1﹣ab|＞|a﹣b|”成立．但由q：“|1﹣ab|＞|a﹣b|”成立，不能推出p成立，由此可得结论．
解答：解：若p：“|a|＜1，|b|＜1”成立，则有 a2＜1，且 b2＜1，即 a2﹣1＜0，且 b2﹣1＜0．
∴|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2=a2•b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
∴|1﹣ab|2＞|a﹣b|2，∴q：“|1﹣ab|＞|a﹣b|”成立，故充分性成立．
由q：“|1﹣ab|＞|a﹣b|”成立，可得|1﹣ab|2＞|a﹣b|2，可得（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
但不能推出 a2﹣1＜0，且 b2﹣1＜0，也有可能是a2﹣1＞0且 b2﹣1＞0．
故不能推出p：“|a|＜1，|b|＜1”成立，故必要性不成立，
故p是q的充分不必要条件，
故选A．
点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，不等式的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
7．（5分）线段PQ过△ABO的重心G分别交OA，OB于P、Q两点，且，．则=（）
A．B．3C．D．
考
点：
向量在几何中的应用．
专
题：
平面向量及应用．
分
析：
设G分的比是λ，可得=+，结合已知可得
=+，又由G为△ABO的重心，满足=+，进而根据平面向量的基本定理，可得答案．
解
答：
解：设G分的比是λ，则有
=λ，
即﹣=λ（﹣）
即=+λ﹣λ
即（1+λ）=+λ
=+
又∵，．
∴=+
又由G为△ABO的重心
故=+
故==
故=，=
∴+=3．
故选B
点
评：
本题考查的知识点是向量在几何中的应用，本题的关键是由已知给出向量用基底
，表示的形式．
8．（5分）已知函数．则f（2012）=（）A．l og25 B．1C．2D．﹣1
考
点：
函数的值．
专
题：
计算题．
分析：由题意可得f（2012）=f（2011）﹣f（2010）=f（2010）﹣f（2009）﹣f（2010）=﹣f（2009）=﹣f（2008）+f（2007）=﹣f（2007）+f（2006）+f（2007）=f（2006），根据此规律可求
解解：由题意可得，f（2012）=f（2011）﹣f（2010）
答：=f（2010）﹣f（2009）﹣f（2010）=﹣f（2009）
=﹣f（2008）+f（2007）
=﹣f（2007）+f（2006）+f（2007）
=f（2006）
∴当x＞0时，函数的函数值是以6为周期周期性出现
∴f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f（1）﹣f（0）=f（0）﹣f（﹣1）﹣f（0）=﹣f（﹣1）=﹣1
故选D
点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是根据前几项的值寻求项出现的规律
二、填空题：（本大题共有7小题，每小题5分，共35分．）9．（5分）函数的定义域是（﹣1，0]．
考
点：
对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
专
题：
计算题．
分析：根据偶次根式被开方数大于等于0建立关系式，解之即可求出函数的定义域，注意对数的真数大于0．
解
答：
解：∵
∴≥0=
即0＜x+1≤1解得﹣1＜x≤0
∴函数的定义域是（﹣1，0]
故答案为：（﹣1，0]
点评：本题主要考查了根式函数的定义域，以及对数函数的定义域，同时考查了计算能力，属于基础题．
10．（5分）设为纯虚数，则a=．
考
点：
复数代数形式的乘除运算．
专
题：
计算题．
分
析：利用复数的代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化，利用纯虚数的概念即可求得a的值．
解
答：
解：∵Z1=a+2i，Z2=3﹣4i，
∴===，
又为纯虚数，
∴3a﹣8=0，
∴a=．
当a=时，6+4a≠0，满足题意．
故答案为：．
点
评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
11．（5分）已知正数x、y满足的最小值为．
考
点：
简单线性规划的应用．
专
题：
计算题．
分
析：
先将z=4﹣x化成z=2﹣2x﹣y，再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z1=﹣2x﹣y过点A（1，2）时，z1最大值即可．
解答：解：根据约束条件画出可行域
∵z=4﹣x化成z=2﹣2x﹣y
直线z1=﹣2x﹣y过点A（1，2）时，z1最小值是﹣4，∴z=2﹣2x﹣y的最小值是2﹣4=，
故答案为．
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
12．（5分）在△ABC中，已知：，若△ABC有两解，则实数x所满足的条件是．
考
点：
正弦定理．
专
题：
计算题；解三角形．
分析：根据余弦定理列出关于a的方程，△ABC有两解即为方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于零即可得到x的X围．
解答：解：根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得3=a2+x2﹣xa，化简得a2﹣xa+x2﹣3=0 因为△ABC有两解，所以△=x2﹣4（x2﹣3）＞0，解得﹣2＜x＜2；
又根据根与系数关系得x2﹣3＞0，解得x＞或x＜﹣；
所以x的取值X围是＜x＜2
故答案为：．
点
评：
本题考查学生灵活运用余弦定理的能力，理解三角形有两解是解题的关键．
13．（5分）下列命题：
（1）若x2+y2=0（x，y∈C），其中C为复数集，则xy=0；
（2）命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
（3）半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为；
（4）若α、β为锐角，，则；其中真命题的序号是（2）（4）．
考
点：
命题的真假判断与应用．
专
题：
阅读型．
分析：（1）说明若x2+y2=0（x，y∈C），其中C为复数集，则xy=0不成立，只要在复数集中找到x、y的值，使x2+y2=0，xy≠0即可；
（2）把已知的命题的条件和结论分别否定作为条件和结论，即可得到原命题的否命题；
（3）先由弧长公式l=r•|α|求得弧长，再运用面积公式S=求出面积；
（4）根据给出的α、β为锐角，结合求出α+2β的
一个较小的X围，然后利用拆角的方法把α+2β拆为（α+β）+β，再利用和角的正切求tan（α+2β），最后结合角的X围求出α+2β．
解答：解：（1）若x，y∈C，其中C为复数集，则当x=1，y=i时有x2+y2=12+i2=1﹣1=0，此时xy=i．
所以，若x2+y2=0（x，y∈C），其中C为复数集，则xy=0不正确．即（1）不正确；（2）命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”．所以（2）正确；
（3）半径为2，圆心角的弧度数为的扇形的弧长为，所以其面积为
S=．
所以半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为不正确，即（3）不正确；
（4）因为α、β为锐角，且，则0＜α+β＜，，
所以0＜α+2β＜π．
又tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]==．
所以，则．
则命题（4）正确．
故答案为（2）（4）．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了特值验证思想，要说明一个命题为假命题，只要能举出一个反例即可，判断命题（4）时运用了拆角技巧，同时考查了角X 围的确定，若该命题不把角的X围有效缩小，而是只以α，β为锐角来处理，将会得到错误的答案，此题是中档题．
14．（5分）已知在正项数列{a n}中，a1=1，前n项的和S n满足：．则此数列的通项公式a n=．
考
数列的概念及简单表示法．
点：
探究型；等差数列与等比数列．
专
题：
根据题目给出的递推式，取n=n+1时得到另外一个式子，两式作差后两边平方运算，分
析：
得到，构造数列设，则数列{b n}为等差数列，写出等差数列的通项公式，把b n代入后可求a n，结合
可对求出的a n进行取舍．
解
解：∵2①
答：
∴2②
②﹣①得：2，
所以，
两边平方得：，
即
设，则b n+1﹣b n=4，
而．
所以数列{b n}是首项为2，公差为4的等差数列，b n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．
则，即，又a n＞0＞0，故，
从而，解得：，
而a1=1，由2（a1+a2）=，即，解得a2=﹣1±，
取﹣1＞0，则只有符合．
所以，此数列的通项公式．
故答案为有（n∈N*）．
点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了利用递推式求数列的通项公式，在递推式中替换n=n+1（或n﹣1）得另外一个递推式，两式联立求解是解答此类问题常用的方法，解答该题的关键是两式作差后两边平方，然后构造函数，这也是该题的难点所在，该题是中档题．
15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n），则
（1）S（3）= 22 ．
（2）S（n）=．
考
点：
函数的值．
专
题：
计算题；新定义．
分析：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8），分别寻求每一项的值，然后可求
（2）先根据题意求出当n=1时，S（1）=N（1）+N（2），S（2）=N（1）+N（2）+N （3）+N（4），S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8），S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求
解答：解：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22 （2）由题意可得，当n=1时，S（1）=N（1）+N（2）=1+1=2
当n=2时，S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）=[N（1）+N（3）]+N（2×1）+N（4×1）=（1+3）+1+1
=22+2
当n=3时，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8）
=[N（1）+N（3）+N（5）+N（7）]+[N（2）+N（6）]+[N（4）+N（8）]
=（1+3+5+7）+（1+3）+（1+1）
=24+22+2
当n=4，S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16）
=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（6）+N（10）+N（14）]+[N（4）+N（8）+N（12）+N（16）]
=（1+3+5+7+9+11+13+15）+（1+3+5+7）+（1+1+3+1）
=64+16+6
=26+24+22+2
n=5，S（5）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（32）
=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（31）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（30）]+[N（4）+N（8）+…N（32）]
=（1+3+5++…+31）+（1+3+5+…+15）+（1+1+3+1+5+3+7+1）
=256+64+22=28+26+24+22+2
∴S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n）
=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（2n﹣1）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（2n﹣2）]+[N
（4）+N（8）+…N（2n）] =22n﹣2+22n﹣4+…+22+2
=
=2=
故答案为：22，
点评：本题以新定义为载体，主要考查了函数的函数值的求解，解题的关键是根据前几项的值寻求函数值出现的规律
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知函数），
（1）当x为何值时，f（x）取得最大值，并求函数f（x）的值域；
（2）解不等式f（x）≥1．
考
点：
两角和与差的正弦函数；复合三角函数的单调性．
专
题：
三角函数的图像与性质．
分
析：
（1）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为y=2sin（x﹣），根据x的X 围可得 x﹣的X围，从而求得函数f（x）最大值以及它的值域．
（2）由（1）可得，当x∈[0，π]时，f（x）≥1恒成立，由此求得不等式f（x）≥1在[0，π]上的解集．
解
答：
解：（1）∵函数=2（﹣cosx）=2sin（x﹣），x∈[0，π]，
∴x﹣∈[﹣，]，故当 x﹣=时，即x=时，函数取得最大值为2．再由当 x﹣=﹣时，函数取得最小值为1，故函数的值域为[1，2]．
（2）由（1）可得，当x∈[0，π]时，f（x）≥1恒成立，故不等式f（x）≥1在[0，π]上的解集为∈[0，π]．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
17．（12分）（1）已知：对∀x∈R，关于x的不等式：mx2+mx+1＞0恒成立，某某数m的取值X围．
（2）命题p：∃x0∈R，sinx﹣cosx＞m，q：∀x∈R，m2+mx+1＞0，若p∨q为真命题，p∧q 为假命题，某某数m的取值X围．
考
点：
复合命题的真假；一元二次不等式的解法．
专
题：
不等式的解法及应用．
分
析：（1）由题意可得，m=0，或，由此求得实数m的取值X围．
（2）由题意可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．先求得当p真q 假时，实数m的取值X围，以及当p假q真时，实数m的取值X围，再把这两个X围取并集，即得所求．
解
答：
（1）解：∵对∀x∈R，关于x的不等式：mx2+mx+1＞0恒成立，∴m=0，或
．
解得 m=0，或0＜m＜4，故实数m的取值X围为[0，4）．
（2）由题意可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．
若p是真命题，则∃x0∈R，sin（x﹣）＞成立，
∴＜1，即 m＜2，故实数m的取值X围为（﹣∞，2）．
若命题q是真命题，则有m=0，或．解得 m=0，或0＜m＜4，故实
数m的取值X围为[0，4）．
当p真q假时，实数m的取值X围为（﹣∞，0]，当p假q真时，实数m的取值X围为[2，4）．
综上，所求的实数m的取值X围为（﹣∞，0]∪[2，4）．
点评：本题主要考查复合命题的真假，一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
18．（12分）设函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≥4．
（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值X围．
考
点：
带绝对值的函数．
专
题：
不等式的解法及应用．
分析：（1）当a=﹣1时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|，由此利用零点分段讨论法能求出不等式f （x）≥4的解集．
（2）|x﹣2|+|x﹣a|表示的是在数轴上到2，a两点距离，距离最小值就是|a﹣2|，若f（x）≥2对x∈R恒成立，则只要满足|a﹣2|≥2，由此能求出实数a的取值X围．
解解：（1）当a=1时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|，
答：由x﹣2=0，得x=2；由x+1=0得x=﹣1．
①当x≥2时，f（x）=x﹣2+x+1=2x﹣1≥4，解得x≥；
②当﹣1≤x＜2时，f（x）=2﹣x+x+1=3＜4，不等式f（x）≥4不成立；
③当x＜﹣1时，f（x）=2﹣x﹣1﹣x=1﹣2x≥4，解得x＜﹣．
综上所述不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤﹣或x≥}．
（2）|x﹣2|+|x﹣a|表示的是在数轴上到2，a两点距离，距离最小值就是|a﹣2|，若f（x）≥2对x∈R恒成立，
则只要满足|a﹣2|≥2，解得a≤0或a≥4．
∴实数a的取值X围是：a≤0或a≥4．
点评：本题考查不等式的解集的求法，考查带绝对值的函数，解题时要认真审题，注意零点分段讨论法和绝对值的含义的合理运用．
19．（13分）某科研小组对热能与电能的转化和燃煤每分钟的添加量之间的关系进行科学研究，在对某发电厂A号机组的跟踪调研中发现：若该机组每分钟燃煤的添加量设计标准为a 吨，在正常状态下，通过自动传输带给该机组每分钟添加燃煤x吨，理论上可以共生产电能x3﹣x+10千瓦，而由于实际添加量x与设计标准a存在误差，实际上会导致电能损耗2|x﹣a|千瓦，最后实际产生的电能为f（x）千瓦．
（1）试写出f（x）关于x的函数表达式；当0＜a＜1时，求f（x）的极大值．
（2）该科研小组决定调整设计标准a，控制添加量x，实现对最终生产的电能f（x）的有效控制的科学实验，若某次实验中（单位：吨），用电高峰期
间，要求该厂的输出电能为每分钟不得低于9千瓦，否则供电不正常．试问这次实验能否实现这个目标？请说明理由．
考
点：
函数模型的选择与应用．
专
题：
综合题；函数的性质及应用．
分
析：（1）由题设知f（x）=，从而得到
，由此能求出0＜a＜1时f（x）的极大值．（2）由a∈[，1]，x∈[，]，知f（x）在（，a]上是增函数，在（a，1）上是减函数，在（1，）上是增函数，从而得到f（x）min=min{f（），f（1）}，由
此能求出结果．
解
答：
解：（1）由题设知f（x）=x3﹣x+10﹣2|x﹣a|，x＞0
∴f（x）=，
∴，
当a＞1时，x∈（0，a），f′（x）=3x2+1＞0，f（x）是增函数；
x∈[a，+∞），f（x）=3x3﹣3＞0，f（x）是增函数．
当0＜a＜1时，x∈（0，a），f′（x）=3x2+1＞0，f（x）是增函数；
x∈（a，1），f′（x）=3x2﹣3＜0，f（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）=3x2﹣3＞0，f（x）是增函数．
∴x=a时，f（x）有极大值f（a）=a3+a+10﹣2a=a3﹣a+10．
（2）∵a∈[，1]，x∈[，]，
∴由（1）知f（x）在（，a]上是增函数，在（a，1）上是减函数，在（1，）上是增函数，
∴f（x）min=min{f（），f（1）}，
∵f（）=（）3++10﹣2a=，
f（1）=8+2a，f（2）﹣f（）=4a﹣．
∴当时，f（1）≥f（），
当时，f（1）＜f（），
故当a∈[，）时，f（x）min=f（1）=2a+8≥9，可以实现目标．
当a∈[，1]时，f（x）min=f（）=﹣2a∈[，]，
从而a∈[，]时，f（x）min=f（）≥9，a∈[，1]时，f（x）min=f（）＜9，综上所述，a∈[]时，能实现目标；a∈[，1]时，不能实现目标．
点评：本题考查函数在生产生活中的合理运用，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
20．（13分）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数图象上任意两点，且
x1+x2=1．
（Ⅰ）求y1+y2的值；
（Ⅱ）若（其中n∈N*），求T n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设（n∈N*），若不等式a n+a n+1+a n+2+…+a2n﹣1＞
对任意的正整数n恒成立，某某数a的取值X围．
考
点
：
数列与函数的综合；数列与不等式的综合．
专
题
：
等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）在x1+x2=1的条件下，代入表达式化简即可求得y1+y2的值；
（Ⅱ）用（Ⅰ）结论易求2T n的值，从而得到T n的值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可把不等式表示出来，不等式a n+a n+1+a n+2+…+a2n ﹣1＞
对任意的正整数n恒成立，该问题可转化关于n的函数的最值问题，构造函数，借助函数单调性易求最值，从而问题得以解决；
解
答
：
解：（Ⅰ）y1+y2=
==
==2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x1+x2=1时，y1+y2=2，
由①，得
②，
①+②得，
，
∴T n=n+1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，
不等式a n+a n+1+a n+2+…+a2n﹣1＞即为
，
设H n =，则 H n+1=，
∴，
∴数列{H n}是单调递增数列，∴（H n）min =T1=1，
要使不等式恒成立，只需，即，∴或，解得．
故使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值X围是．
点评：本题考查数列与函数、数列与不等式的综合问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大．
21．（13分）（2012•雁江区一模）已知函数f（x）=ax2+ln （x+1）．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，
某某数a 的取值X围．
（Ⅲ）求证：
（其中
n∈N*，e是自然对数的底数）．
考
点
：
不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．
专
题
：
综合题．
分
析
：
（Ⅰ）把a=﹣代入函数f（x），再对其进行求导利用导数研究函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面
区域内，将问题转化为当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，只要求出ax2+ln（x+1）﹣x的最小值即可，令新的函数，利用导数研究其最值问题；
（Ⅲ）由题设（Ⅱ）可知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式
对所要证明的不等式进行放缩，从而进行证明；
解答：解：（Ⅰ）当时，（x＞﹣1），
（x＞﹣1），
由f'（x）＞0解得﹣1＜x＜1，由f'（x）＜0，
解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）（Ⅱ）因函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，
则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，
设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0），
只需g（x）max≤0即可．（5分）
由=，
（ⅰ）当a=0时，，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）
上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）
（ⅱ）当a ＞0时，由，因x ∈[0，+∞），所以，
①若，即时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间
上单调递增，
同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（8分）
（ⅲ）当a＜0时，由，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a﹣1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值X围是（﹣∞，0]．（10分）
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立
（或另证ln（x+1）≤x在区间（﹣1，+∞）上恒成立），（11分）
又，
∵
=
=
=，
∴．（14分）
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，解题过程中多次用到了转化的思想，第二题实质还是函数的恒成立问题，第三问不等式的证明仍然离不开前面两问所证明的不等式，利用它们进行放缩证明，本题难度比较大，是一道综合题；。