高中人教A版数学必修四：第2章 平面向量 2.3.1

第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
提能达标过关
1．若向量e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A ．e 1－e 2，e 2－e 1
B ．e 1－e 2，e 1＋e 2
C ．2e 2－e 1，－2e 2＋e 1
D ．2e 1＋e 2,4e 1＋2e 2
解析：选B 不共线的向量能作为基底，因为e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，所以向量e 1－e 2，e 2－e 1共线，排除A ；因为2e 2－e 1＝－(－2e 2＋e 1)，所以2e 2－e 1，－2e 2＋e 1共线，排除C ；因为2e 1＋e 2＝1
2(4e 1＋2e 2)，所以2e 1＋e 2,4e 1＋2e 2共线，排除D ，故选B.
2．若向量e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对； ③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；
④若存在实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．②
解析：选B 由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B.
3．如图所示，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB →⊥OC →，设OC →＝xOA
→＋yOB →，则( )
A ．x ＝－2，y ＝－1
B ．x ＝－2，y ＝1
C ．x ＝2，y ＝－1
D ．x ＝2，y ＝1
解析：选B 过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D ，连接BC .由|OB →|＝
1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △OCD 中，可得OD ＝2CD ＝2，则OC
→＝OD →＋OB →＝－2OA →＋OB →，故x ＝－2，y ＝1，故选B.
4．(2019·泉州南安第一中学检测)如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e 1，e 2表示为( )
A ．e 1＋e 2
B ．2e 1－e 2
C ．－2e 1＋e 2
D ．2e 1＋e 2
解析：选C 平移e 1，e 2，由图易知a ＝AD →＋DB →＝－2e 1＋e 2
.故选C.
5.(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO
→＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝( )
A ．1
B ．12 C.43
D ．23
解析：选D 由题知，AO →
＝12AD →＝12(AB →＋BD →)．又因为BD ＝AB ×cos 60°＝1，所以BD
→＝13BC →，故AO →＝12AB →＋16BC →，因此λ＋μ＝12＋16＝23
，故选D. 6．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .
解析：由⎩⎨⎧
a ＝e 1＋2e 2，
b ＝－e 1＋e 2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .
故e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝
23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13b . 答案：23 －13
7．(2019·江西临川二中高三月考)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，如图所示，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.
答案：90°
8．已知O 为△ABC 内一点，OB →＋OC →＝2AO →，且λAD →＝AC →，若B ，O ，D 三点共线，则实数λ的值为________．
解析：设点E 为边BC 的中点，则12(OB →＋OC →)＝OE →，由题意，得AO →＝OE →，
所以AO
→＝12AE →＝14(AB →＋AC →)＝14AB →＋λ4AD →，因此若B ，O ，D 三点共线，则14＋λ4＝1，即λ＝3.
答案：3
9．已知向量a ，b 的夹角为60°，试求下列向量的夹角． (1)－a 与b ； (2)2a 与23b .
解：(1)如图①，由向量夹角的定义，可知向量－a 与b 的夹角为120°. (2)如图②，向量2a 与2
3b 的夹角为60°.
10．(2018·江苏无锡一中高一月考)如图，在△ABC 中，已知M 为BC 边上一点，且满足AM
→＝34AB →＋14
AC →，求△ABM 与△ABC 的面积之比．
解：∵AM
→＝34AB →＋14
AC →，
∴AM
→＝34(MB →－MA →)＋14(MC →－MA →)，
∴34MB →＋14MC →
＝0， ∴MC
→＝3BM →， ∴S △ABM S △ABC ＝|BM
→||BC →|＝14
.
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