江苏省南通市海门中学2015_2016学年高二数学上学期第一次调考试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省南通市海门中学高二（上）第一次调考数学
试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解题过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上.
1．若直线x+（a﹣1）y+1=0与直线ax+2y+2=0垂直，则实数a的值为 ．
2．已知椭圆方程为=1，则它的离心率是 ．
3．若方程x2+y2﹣2ax﹣4y+5a=0表示圆，则a的取值范围是 ．
4．以（﹣2，0）为圆心，并与圆x2+y2=1相外切的圆的方程 ．
5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该
椭圆的标准方程是 ．
6．椭圆kx2+8ky2=8的一个焦点为，则k的值为 ．
7．圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是 ．
8．设椭圆=1右焦点为F2，点P是圆x2+y2﹣6x+8=0上的动点，则PF2的最大值为 ．
9．设圆C：x2+y2﹣2x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，若∠ACB=120°，则c=
．
10．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：3x﹣4y+a=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数a= ．
11．已知圆C：（x+1）2+y2=25，定点A（1，0），M为圆上的一个动点，连接MA，作MA
的垂直平分线交半径MC于P，当M点在圆周上运动时，点P的轨迹方程为 ．
12．设F1、F2为椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∠PF1F2=60°，则椭圆的离心率是 ．
13．直线ax+by=1（a，b是实数）与圆x2+y2=1相交于A、B两点，且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间的距离的最小值为 ．　
14．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ 的面积最大时，此时实数a的值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在平面直角坐标系xOy中，设直线l1：kx﹣y=0，直线l2：（2k﹣1）x+（k﹣1）
y﹣7k+4=0．
（1）若直线l1∥l2，求实数k的值；
（2）求证：直线l2过定点C，并求出点C的坐标；
（3）当k=2时，设直线l1，l2交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，求点A到直线BC 的距离d．
16．在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点到两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P在椭圆C上，F1、F2为椭圆C的左右焦点，若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，求圆C的方程；
（2）若点M满足MA=2MO，求点M的轨迹方程；
（3）若圆C上存在点N，使NA=2NO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
18．如图，已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若点Q的坐标为（2，0），求切线QA、QB的方程；
（2）求四边形QAMB的面积的最小值及此时点Q的坐标；
（3）若AB=，且Q在x轴正半轴上，求四边形QAMB外接圆的方程．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0）．P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF．
（1）若a=3，b=，求x0的值；
（2）若x0=0，求椭圆的离心率；
（3）求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切．
20．已知⊙O：x2+y2=1和点M（4，2）．
（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x﹣1截得的弦长为4的⊙M的方程；
（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是
否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年江苏省南通市海门中学高二（上）第一次调考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．若直线x+（a﹣1）y+1=0与直线ax+2y+2=0垂直，则实数a的值为 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直时，A1A2+B1B2=0，列出方程求出a的值．【解答】解：当直线x+（a﹣1）y+1=0与直线ax+2y+2=0垂直时，
1•a+2（a﹣1）=0，
解得a=．
故答案为：．
【点评】本题考查了两条直线互相垂直的应用问题，是基础题目．
2．已知椭圆方程为=1，则它的离心率是 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆方程=1，可得a2=4，b2=1．再利用椭圆的离心率计算公式e==即可得出．
【解答】解：由椭圆方程=1，可得a2=4，b2=1．
∴椭圆的离心率e====．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率计算公式e==，属于基础题．　
3．若方程x2+y2﹣2ax﹣4y+5a=0表示圆，则a的取值范围是　a＞4或a＜1　．
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件进行求解即可．
【解答】解：方程x2+y2﹣2ax﹣4y+5a=0表示一个圆，
则4a2+16﹣20a＞0，
即a2﹣5a+4＞0，
解得a＞4或a＜1，
故答案为：a＞4或a＜1．
【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用，根据二元二次方程表示圆的条件是解决本题的关键．
4．以（﹣2，0）为圆心，并与圆x2+y2=1相外切的圆的方程　（x+2）2+y2=1　．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】求出所求圆的半径，然后求出所求圆的标准方程即可．
【解答】解：因为以（﹣2，0）为圆心，并与圆x2+y2=1相外切，
所以，设所求圆的半径为r，所以2=r+1，所以r=1，
所以所求圆的标准方程为：（x+2）2+y2=1．
故答案为：（x+2）2+y2=1．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，圆的标准方程的求法，考查计算能力．　
5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（﹣2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该
椭圆的标准方程是 ．
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】先根据题意a=2b，c=2并且a2=b2+c2求出a，b，c的值，代入标准方程得到答案．
【解答】解：已知∴∴为所求；
故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．
6．椭圆kx2+8ky2=8的一个焦点为，则k的值为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出．
【解答】解：椭圆kx2+8ky2=8化为=1，
由于它一个焦点为，
∴=，
解得k=．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是　x2+（y﹣5）2=25　．
【考点】圆的标准方程．
【专题】直线与圆．
【分析】由题意求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程．
【解答】解：圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，
设圆的圆心（0，r），半径为r．
则：．
解得r=5．
所求圆的方程为：x2+（y﹣5）2=25．
故答案为：x2+（y﹣5）2=25．
【点评】本题考查圆的方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键．
8．设椭圆=1右焦点为F2，点P是圆x2+y2﹣6x+8=0上的动点，则PF2的最大值为　3　．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】数形结合；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由圆x2+y2﹣6x+8=0可得（x﹣3）2+y2=1，可得圆心C，半径r．则|PF2|最大值
=|CF2|+r．
【解答】解：椭圆=1，可得==1．
∴右焦点为F2（1，0），
由圆x2+y2﹣6x+8=0可得（x﹣3）2+y2=1，可得圆心C（3，0），半径r=1．
∴|CF2|=2．
则|PF2|最大值=|CF2|+r=2+1=3．
故答案为：3．
【点评】本题了考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．设圆C：x2+y2﹣2x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，若∠ACB=120°，则c=　﹣2　．【考点】圆的一般方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】依题意，可求得圆x2+y2﹣2x+2y+c=0的圆心C（1，﹣1），半径
r=，|AB|=2，由∠ACB=120°，可求得c．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y+c=0的圆心C（1，﹣1），半径r=，
令x=0得：y2+2y+c=0，
设A（0，y1），B（0，y2），
则y1，y2是方程y2+2y+c=0的两根，
∴y1，2=
∴|AB|=|y1﹣y2|=2，①
∵∠ACB=120°，
∴|AB|=r=，②
由①②得：c=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查方程思想与运算能力，属于中档题．
10．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：3x﹣4y+a=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数a=　±5　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】把直线与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x A+x B，然后利用直线方程求得y A+y B的表达式，进而可求得AB的中点的坐标，同时利用向量的平行四边形法则可求得=+=2，进而可求得M的坐标代入圆的方程求得a．
【解答】解：直线l：3x﹣4y+a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点
联立两方程得：25x2+6ax+a2﹣64=0
∴x A+x B=﹣，y A+y B=kx A+1+kx B+1=
所以AB中点C的坐标为（﹣，）
利用向量的平行四边形法则可求得=+=2
说明M点的坐标为AB中点的两倍，M（﹣，）
M点在圆上，代入方程化简得： a2=4
所以a=±5
故答案为：±5．
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，平面向量的基本性质．考查了学生数形结合思想的应用和基本运算的能力．
11．已知圆C：（x+1）2+y2=25，定点A（1，0），M为圆上的一个动点，连接MA，作MA
的垂直平分线交半径MC于P，当M点在圆周上运动时，点P的轨迹方程为 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据圆C的标准方程得到点C（﹣1，0），半径R=5．再由线段中垂线定理，可化简出PC+PA=5，从而得出点P的轨迹C是以C、A为焦点，2a=5的椭圆．最后根据椭圆的基本概念，即可得出点P的轨迹对应的椭圆的标准方程．
【解答】解：∵圆C方程为：（x+1）2+y2=25，
∴点C（﹣1，0），半径R=5，
∵MA的垂直平分线交半径MC于P，
∴PM=PA，可得PC+PA=CM．
∵点M是圆C上的动点，∴CM长为圆C的半径5，
∴动点P满足PC+PA=5，点P的轨迹是以C、A为焦点，2a=5的椭圆．
可得a2=，c=1，b2=a2﹣c2=，
∴轨迹的方程为．
故答案为：．
【点评】本题借助一个动点的轨迹，得到椭圆的第一定义，进而求出其轨迹方程．着重考查了线段的垂直平分线定理和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题．
12．设F1、F2为椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∠PF1F2=60°，则椭圆的离心率是　2﹣　．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】数形结合；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】把x=c代入可得，解得y，利用∠PF1F2=60°，即可得出．
【解答】解：把x=c代入可得，解得y=±，
∵∠PF1F2=60°，
∴=，
化为e2+2e﹣1=0，又0＜e＜1，
解得e=2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】本题了考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．直线ax+by=1（a，b是实数）与圆x2+y2=1相交于A、B两点，且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间的距离的最小值为　﹣1　．【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】根据题意画出图形，过O作OC垂直于弦AB，由△AOB是直角三角形且
|OA|=|OB|=1，可得此三角形为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一可得C为斜边AB的中点，利用勾股定理求出|AB|的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的半径
可求出|OC|的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知的直线的距离，令求出的距离等于求出的|OC|的长，可得a与b的关系式，从而用b表示出a且得到b的范围，最后利用两点间的距离公式表示出所求两点间的距离d，把表示出的a代入得到关于b的二次三项式，设被开方数为f（b），可得此函数为开口向上，且对称轴为x=2的抛物线，根据b的范围判定得到函数为减函数，把b的最大值代入d可求出d的最小值．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
过O作OC⊥AB，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，
又|OA|=|OB|=1，根据勾股定理得：|AB|=，
∴|OC|=|AB|=，
∴圆心到直线的距离为=，即2a2+b2=2，即a2=﹣b2+1，
∴﹣≤b≤，
则点P（a，b）与点（0，1）之间距离d==，
设f（b）=b2﹣2b+2，此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线，
∴当﹣≤b≤＜2时，函数为减函数，
∵f（）=3﹣2，
∴d的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，以及二次函数的图象与性质，利用了数形结合及函数
的数学思想，其中表示出所求的距离d，由自变量b的范围，根据二次函数的图象与性质判断得出函数f（b）为减函数是解本题的关键．
14．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ
的面积最大时，此时实数a的值为 ．
【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆．
【分析】求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可．
【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）的圆心（a，a）半径为1，
圆心到直线的距离d=，半弦长为： =，
∴△CPQ的面积S===，
当a2=时10a2﹣4a4取得最大值，最大值为：，
∴△CPQ的面积S的最大值为： =．
此时a=
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形面积的最值的求法，点到直线的距离公式的应用等知识，考查分析问题解决问题的能力．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在平面直角坐标系xOy中，设直线l1：kx﹣y=0，直线l2：（2k﹣1）x+（k﹣1）
y﹣7k+4=0．
（1）若直线l1∥l2，求实数k的值；
（2）求证：直线l2过定点C，并求出点C的坐标；
（3）当k=2时，设直线l1，l2交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，求点A到直线BC 的距离d．
【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】直线与圆．
【分析】（1）由已知条件利用直线平行的性质能求出k．
（2）直线l2转化为（2x+y﹣7）k﹣（x+y﹣4）=0，由k的系数为0，能求证明直线l2过定点C（3，1）．
（3）当k=2时，直线l1：2x﹣y=0，直线l2：3x+y﹣10=0，解方程组求出A（2，4），从而求出B（2，0），再求出直线BC的方程，然后利用点A（2，4）到直线BC的距离求出d．
【解答】（1）解：∵直线l1：kx﹣y=0，直线l2：（2k﹣1）x+（k﹣1）y﹣7k+4=0，
直线l1∥l2，
∴，
解得k=．
（2）证明：∵直线l2：（2k﹣1）x+（k﹣1）y﹣7k+4=0，
∴（2x+y﹣7）k﹣（x+y﹣4）=0，
由，得x=3，y=1，
∴直线l2过定点C（3，1）．
（3）当k=2时，直线l1：2x﹣y=0，直线l2：3x+y﹣10=0，
解方程组，得x=2，y=4，A（2，4），
过A作x轴的垂线，垂足为B，∴B（2，0），
∴直线BC的方程为：，即x﹣y﹣2=0，
∴点A（2，4）到直线BC的距离d==2．
【点评】本题考查直线方程中参数的求法，考查直线过定点的证明，考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质、点到直线的距离公式的合理运用．
16．在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点到两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P在椭圆C上，F1、F2为椭圆C的左右焦点，若∠F1PF2=，求△F1PF2的面积．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意设出椭圆标准方程，且求得a，把点代入椭圆方程求b，则答案可求；
（2）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2的值，最后利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）由题意，设椭圆C：（a＞b＞0），则2a=4，a=2．
∵点在椭圆上，
∴，解得b=，
∴所求椭圆的方程为；
（2）∵a=，b=，
∴c=，
设|PF1|=t1，|PF2|=t2，
则t1+t2=，①
t12+t22﹣2t1t2•cos60°=36，②
由①2﹣②得t1t2=4，
∴t1t2•sin60°=×4×=．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．涉及焦点三角形问题，常用椭圆定义及余弦定理解决，是中档题．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，求圆C的方程；
（2）若点M满足MA=2MO，求点M的轨迹方程；
（3）若圆C上存在点N，使NA=2NO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【考点】轨迹方程；直线和圆的方程的应用．
【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，即可得到圆的方程；
（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹方程；
（3）点N的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由N在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．
【解答】解：（1）联立直线l：y=2x﹣4与直线y=x﹣1得圆心C（3，2），
∴圆C的方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2=1．
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，
化简得：x2+（y+1）2=4；
（3）点N的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点N在圆C上，C（a，2a﹣4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
【点评】此题考查了圆的方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．
18．如图，已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若点Q的坐标为（2，0），求切线QA、QB的方程；
（2）求四边形QAMB的面积的最小值及此时点Q的坐标；
（3）若AB=，且Q在x轴正半轴上，求四边形QAMB外接圆的方程．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【专题】综合题；直线与圆．
【分析】（1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线QA、QB的方程；
（2）求出四边形QAMB的面积的表达式，利用|MQ|＞|MO|求出面积的最小值；
（3）设AB与MQ交于点P，通过MP⊥AB，MB⊥BQ，求出|MP|，求出|MQ|，确定Q的坐标，即可求四边形QAMB外接圆的方程．
【解答】解：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
则圆心M到切线的距离为2，∴ =2，
∴m=﹣或0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴切线QA、QB的方程分别为3x+4y﹣6=0和x=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵MA⊥AQ，∴S MAQB=|MA|•|QA|=≥=，此时Q（0，0）；﹣﹣﹣﹣﹣
（3）设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，|MP|=，
在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP|•|MQ|，解得|MQ|=4
设Q（x，0），则x2+16=32，Q在x轴正半轴上，∴x=4
∴四边形QAMB外接圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查圆的切线方程的求法，四边形面积的求法，两点间的距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0）．P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF．
（1）若a=3，b=，求x0的值；
（2）若x0=0，求椭圆的离心率；
（3）求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）根据a，b，c的关系易得c=2，由PA⊥PF及，解得；
（2）联立条件x0=0及PA⊥PF，计算得a2﹣c2=ac，所以e2+e﹣1=0，解之即可（注意舍去负值）．
（3）联立，以及PA⊥PF得，解得
，计算可得PF=，即得结论．
【解答】解：（1）因为a=3，b=，所以c2=a2﹣b2=4，即c=2，
由PA⊥PF得，，即，
又，所以，
解得或x0=﹣3（舍去）；
（2）当x0=0时，，
由PA⊥PF得，，
即b2=ac，故a2﹣c2=ac，
所以e2+e﹣1=0，解得（负值已舍）；
（3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且，①
由PA⊥PF得，，即，②
由①②得，，
解得或x0=﹣a（舍去）．
所以PF===|a﹣|
=a+=，
所以以F为圆心，FP为半径的圆与右准线相切．
【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分析能力与计算能力，属中档题．
20．已知⊙O：x2+y2=1和点M（4，2）．
（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x﹣1截得的弦长为4的⊙M的方程；
（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是
否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题．
【分析】（Ⅰ）找出圆的圆心坐标和半径，设切线方程的斜率为k，由M的坐标和k写出切线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d让d等于半径r得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；
（Ⅱ）根据点到直线的距离公式求出M到已知直线的距离d，然后利用勾股定理即可求出圆M的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；
（Ⅲ）假设存在这样的R点，设出R的坐标，并设出P的坐标，根据圆的切线垂直于过切点的半径得到三角形OPQ为直角三角形，根据勾股定理表示出PQ的长，然后利用两点间的距离公式表示出PR的长，设PQ与PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后两边平方化简得到一个关系式记作（*），又因为P在⊙M上，所以把P的坐标当然到⊙M的方程中，化简后代入到（*）中，根据多项式对应项的系数相等即可求出R的坐标和λ的值．
【解答】解：（Ⅰ）由⊙O：x2+y2=1得到圆心O（0，0）半径r=1，
设切线l方程为y﹣2=k（x﹣4），
易得，解得，
∴切线l方程为；
（Ⅱ）圆心M到直线y=2x﹣1的距离d==，
设圆的半径为r，则，
∴⊙M的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2=9；
（Ⅲ）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，
根据题意可得，
∴，
即x2+y2﹣1=λ2（x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2）（*），
又点P在圆上∴（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，
即x2+y2=8x+4y﹣11，代入（*）式得：
8x+4y﹣12=λ2[（8﹣2a）x+（4﹣2b）y+（a2+b2﹣11）]，
若系数对应相等，则等式恒成立，∴，
解得，
∴可以找到这样的定点R，使得为定值．
如点R的坐标为（2，1）时，比值为；点R的坐标为时，比值为．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题．　。