苏教版七年级数学下册7.5多边形的内角和与外角和(难题)专题训练(含答案)

苏教版七年级数学下册7.5多边形的内角和与外角和（难
题）专题训练（含答案）
一、选择题
1.关于正多边形，下列说法错误的是()
A. 正多边形的边长相等
B. 正多边形的每一个内角都相等
C. 正六边形有9条对角线.
D. 正多边形的对角线都相等
2.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、
∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？()
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
3.如图，一个多边形纸片按示的剪一个内角后得到一个内
为2340°的新边形则原多边的边数()
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
4.若一个多边形的各内角都相等，则此多边形的一个内角与一个外角的度数之比不可
能是()
A. 2：1
B. 1：1
C. 5：2
D. 5:4
5.①三角形三个内角的和为360°；②三角形一个外角大于它的任何一个内角；③三
角形一个外角等于它任意两个内角的和；④多边形形的外角和等于360°.⑤一个多边形的对角线可能会有12条；⑥一个正多边形的每个内角是135°，这个多边形是八边形。

上述正确说法的个数为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.社区有一个五边形的小公园，如图所示，张老师每天
晚饭后都要到公园里去散步，已知图形中的∠1=
95°.张老师沿公园边由A点经过B→C→D→E一直
到F时，他在行走过程中共转过的度数是()
A. 265°
B. 275°
C. 360°
D. 445°
二、填空题
7.过一个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边
形是_________边形．
8.把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，
若∠1=52°，∠2=18°，则∠3=______．
9.如图，用若干个完全相同的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的
拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是
___________________________．
10.一个多边形除了两个内角外，其余各内角的和为2030°，则这个多边形的边数是
_________．
11.若计算一个多边形内角和时，粗心的小明将其中一个内角没有加上去，而是加上了
这个内角所对应的外角，这样计算出来的结果是600°，则小明计算的这个多边形的边数为____．
12.如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180∘，AD=CD，∠ABD=m∘，则∠ADC的度
数为是______ ∘(用含m的代数式表示)
13.若一个凸多边形截去一个内角得到的新多边形的内角和是540°，则原多边形是
_______________边形．
三、解答题
(∠C+ 14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB、∠CBA的平分线交于点E，试说明：∠AEB=1
2∠D)．
15.(1)如图1，在△ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC=
70°，∠ACD=50°，求∠P的度数．
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，
∠A=90°，∠B=150°，求∠P的度数．
(3)如图3，若将(2)中“∠A=90°，∠B=150°”改为“∠A=α，∠B=β”，其余
条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．
16.如图所示，平面上有n(n为奇数，n≥5)个点，顺次连结相隔的两个点分别作一条
线段，则称这样围成的图形叫做回形n星形，相邻两条线段的夹角叫做内角，如图形1为回形五星形，图形2为回形七星形，
……．
(1)图1中的回形五星形的内角和∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________；
(2)猜想图2中的回形七星形的内角和是多少？并证明你的结论；
(3)猜想回形n星形的内角和是_______________________
17.∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠ABC=α、∠C=β．
(1)如图1，∠ADC和∠EAB的平分线DM、AM相交于点M，当α=136∘、β=96∘时，
∠M=__∘；
(2)如图2，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N(∠CDN=1
3
∠ADC,∠BAN=
1 3∠EAB)，求证：∠N=2
3
(α+β)−120∘；
(3)如图3，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、P n−1，∠P1+∠P2+∠P3+⋯+∠P n−1=__多少度(用含α、β、n的代数式表示)．
答案和解析1.D
解：A.正多边形的边长相等，正确；
B.正多边形的每一个内角都相等，正确；
C.正六边形有9条对角线，正确；
D.正六边形对角线都不都相等，此项错误．
2.A
解：在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠BOM=360°−220°=140°．
∵∠BOD+∠BOM=180°，
∴∠BOD=180°−∠BOM=180°−140°=40°．
3.B
解：设新多形是边形，由多边形内角和得
解得n=1，
原多边形5−1=14，
4.D
解：A.外角是：180×1
3
=60°，360÷60=6，故可能；
B.外角是：180×1
2
=90°，360÷90=4，故可能；
C.外角是：180×2
7=360
7
度，360÷360
7
=7，故可能；
D.外角是：180×4
9
=80°.360÷80=4.5，故不能构成．5.B
解：①三角形的内角和为180∘，故说法①错误；
②三角形一个外角大于与它不相邻的任一个内角，故说法②错误；
③三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故说法③错误；
④多边形的外角和等于360°，故说法④正确；
⑤根据多边形对角线条数公式可知一个多边形的对角线不可能会有12条，故说法⑤错误；
⑥一个正多边形的每个内角是135°，此时，它的一个外角为45°，则其边数为：360°÷45°=8，故说法⑥正确，
所以正确的说法有④⑥，共2个．
6.B
解：360°−(180°−95°)=275°，
故张老师共转了275°．
7.九
解：设这个多边形是n边形，
由题意得，n−2=7，
解得：n=9，
即这个多边形是九边形，
故答案为九．
8.32°
解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数(5−2)×180°=108°，
是：1
5
则∠3=360°−60°−90°−108°−∠1−∠2=32°．
9.7
解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，
所以(n−2)⋅180°=(360°−2×108°)n，
解得n=10，
所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7．
10.n=14或15
解：设多项式的边数为n，
根据题意得：0<(n−2)×180°−2030°<360°，
解得：135
18<n<155
18
，即整数n=14或15，
11.5或6
解：
设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，少加的内角为180°−a，则(n−2)⋅180°=600°−α+180°−α，
180°n−360°=780°−2α，
α=570°−90°n，
∵0°<α<180°
∴0°<570°−90°n<180°，
∴13
3<n<19
3
，
∵n只能为整数，
∴n=5或6，
12.(180−2m)
解：如图所示：延长BA到E，使AE=BC，连接DE，
，
，
∴∠C=∠DAE．
又AD=CD，AE=BC，
∴△DAE≌△DCB，
∴∠E=∠CBD,DE=BD．
∴∠E=∠ABD，
，
，
13.四或五或六
解：设新多边形的边数为n，则(n−2)⋅180°=540°，
解得n=5，
如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1，不变，减少1，所以，5−1=4，
5+1=6，
所以原来多边形的边数为4或5或6．
14.证明：∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，
∴∠EAB=1
2∠DAB，∠EBA=1
2
∠ABC，
∴∠AEB=180°−(∠EAB+∠EBA)
=180°−
1
2
(∠DAB+∠CBA)
=180°−
1
2
(360°−∠C−∠D)
=1
2
(∠C+∠D)．
15.(1)解：如图1，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，
∴∠PDC=1
2∠ADC=35ﾟ，∠PCE=1
2
∠ACE=1
2
(180ﾟ−∠ACD)=65ﾟ.∴∠P=
∠PCE−∠PDC=30ﾟ；
(2)解：如图2，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，
∴∠PDC=1
2∠ADC，∠PCE=1
2
∠BCE=1
2
(180ﾟ−∠BCD)，
∴∠P=∠PCE−∠PDC
=
1
2
(180ﾟ−∠BCD)−
1
2
∠ADC=90ﾟ−
1
2
∠BCD−
1
2
∠ADC =90ﾟ−
1
2
(∠BCD+∠ADC)
=90ﾟ−
1
2
(360ﾟ−∠A−∠B)
=1
2
(∠A+∠B)−90ﾟ=30ﾟ；
(3)∠P=1
2
(α+β)−90ﾟ．
16.解：：(1)180°；
(2)七星形的内角和是540°，
理由如下：连接A4A5、A3A6，
∵∠1+∠2=∠5=∠3+∠4，
∴内角和=∠A1+∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠1+∠2+∠6+∠7，=∠A1+∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠3+∠4+∠6+∠7，
=(∠A1+∠6+∠7)+(∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠3+∠4)，
=180°+360°=540°，
(3)猜想回形n星形的内角和是180°(n−4)．
17.(1)26；
(2)证明：如图2，延长AB交DN于T，交DC的延长线于K，
∵∠EAK是△ADK的外角，
∴∠EAK=∠K+∠KDA，
∴∠K=∠EAK−∠KDA，
∵∠KTD=∠NTA，
∴∠K+∠KDT=∠N+∠NAT，
∵∠CDN=1
3∠ADC，∠BAN=1
3
∠EAB，
∴∠K−∠N=∠NAT−∠KDT，
=1
3∠EAB−1
3
∠ADC，
=1
3
∠K，
∴∠N=2
3
∠K，
∵∠DCB、∠ABC是△BCK的外角，∴∠DCB=∠K+∠KBC，
∠ABC=∠K+∠KCB，
∴∠DCB+∠ABC=180°+∠K，∴∠K=(α+β)−180°，
∴∠N=2
3[{α+β)−180°]=2
3
(α+β)−120°；
(3)n−1
2
[(α+β)−180°]．。