四川省成都市龙泉一中2011届高三第二次诊断性考试模拟试卷(数学理)

成都龙泉第一中学校高2011级3月月考
数 学 试 题（理科）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2、本堂考试120分钟，满分150分。

3、本堂考试附有答题卡。

答题时，请将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案规范地填涂在答题卡上；
4、答题前，请将自己的姓名、学号用2B 铅笔规范地填涂在答题卡上，并在答题卷上密封线内用钢笔工整地填上自己的班级、姓名和学号。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合21
{|},{|M y y N x y x
==
==，则M N ⋂=（D ） A (0,)+∞ B [0,)+∞ C (1,)+∞ D [1,)+∞ 2、复数z 满足2zi i =-（i 为虚数单位），则z =（C ）
A 2i -
B 12i +
C 12i -+
D 12i --
方程是B
A.2
2
1090x y x +--= B. 2
2
1090x y x +-+= C. 2
2
1090x y x ++-= D. 2
2
1090x y x +++= 4. 设α和β是两个不重合的平面，给出下列命题：
①若α内两条相交直线分别平行于β内的两条直线 ，则//αβ； ②若α外一条直线l 与α内一条直线平行，则//l α； ③设l α
β=，若α内有一条直线垂直于l ，则αβ⊥；
④直线l α⊥的充要条件是l 与α内的两条直线垂直。

上面的命题中，真命题的序号是 （ A ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 5．设12123x x y +=
，21
223
x x y +=，命题甲：12x x ≠，命题乙：1212x x y y <，则甲是乙成
立的（ C ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要
条件．
7.函数()sin()(0)6
f x x ωω=+>的导函数'()f x 的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称
轴的方程是（ A ）
A.9
π=
x B.6
π=
x C.3
π=
x D.2
π=
x
8.设点P 是三角形ABC 内一点（不包括边界），且AP m AB n AC →
→
→
=+,.m n R ∈,则
22(2)m n +-的取值范围为（B ）
A. B. (1,5) C. 1
(,5)2 D. 2
9.设12,,
,n a a a 是1,2，…，n 的一个排列，把排在i a 的左边且比i a 小的数的个数为i a
（i =1,2，…n）的顺序数，如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0，则在1至 8这8个数的排列中，8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为（C ）
A. 48
B. 120
C. 144
D. 192
10.椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的左准线为l ，左右焦点分别为21,F F ,抛物线2C 的准线
为l ，焦点为2F ，曲线21,C C 的一个交点为P ，则2
11
21PF PF PF F F -
等于（B ）
A. -1
B. 1
C. 2
1- D. 21
11.设关于x 的不等式2
3344
a x x
b ≤
-+≤的解集恰好是[,]a b ，则a b +的值为（ A ） A ．5 B ．4 C ．83 D ．16
3
12．某百货大楼在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下的规定获得相应金额的奖券：
根据上述促销的方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，设购买商品得到的优惠率=
购买商品获得的优惠额
商品的标价
，试问：对于标价在［625，800］之内的商品，顾客要得到不小
于
1
3
的优惠率，应购买商品的标价范围是（ B ） A ．［525，600］
B ．［625，750］
C ．［650，760］
D ．［700，800］
第Ⅱ卷 （非选择题）
二、填空题（本大题共四个小题，每小题4分，共16分）
13、6
的展开式中的常数项为 -540 。

14．已知R 上的奇函数()f x 对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立， 则(2010)f 等于
0 .
15．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1:2:1，用分层
抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为400h ，410h ，440h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 415 _ _h 。

16.已知在三棱锥T-ABC 中，TA,TB,TC 两两垂直，T 在地面ABC 上的投影为D ，给出下列命题：
①TA⊥BC, TB⊥AC, TC⊥AB; ②△ABC 是锐角三角形; ③
2222
1111
TD TA TB TC =++
; ④22221
()3
ABC
TAB TAC TBC S
S S S =++(注：ABC
S 表示△ABC 的面积)
其中正确的是___①②③____(写出所有正确命题的编号)。

三、解答题(共76分)
17．（本小题满分12分）四川灾后重建工程督导评估小组五名专家被随机分配到A 、B 、C 、D 四所不同的学校进行重建评估工作，要求每所学校至少有一名专家。

（1）求评估小组中甲、乙两名专家同时被分配到A 校的概率；
（2）求评估小组中甲、乙两名专家不在同一所学校的概率。

（3）记到A 校校进行重建评估工作的专家人数为ξ，求E ξ。

解：（1）记评估小组中甲、乙两名专家同时被分配到A 校的事件为E ，则P(E)=
40
1
A C A 44
2
533
=
，所以评估小组中甲、乙两名专家同时被分配到A 校的概率为
40
1。

（2）记评估小组中甲、乙两名专家被分配在同一所学校的事件为F ，那么P(F)=10
1
A C A 44
2534
=
，所以甲、乙两名专家不在同一所学校的概率为：P(F )=1－P(F)=10
9。

（3）随机变量ξ的可能取值为1,2，则P(ξ=2)= 41A C A C 44
253325=
；P(ξ=1)=1－P(ξ=2)=4
3。

所以ξ的分布列是：
1
2
P
所以ξ的数学期望E ξ=1×
43+2×41=4
5。

18．（本小题12分）在△ABC 中，c b a ,,分别为角A,B,C 所对的三边。

（1）若)60sin(sin , +==A B b a ，求角A ； （2）若BC=32，A=3
π
，设B=x ，△ABC 的面积为y ，求函数)(x f y =的关系式及其最值，并确定此时x 的值。

解：（1）由b a =得A A A B A cos 2
3sin 21)60sin(sin sin +=
+== ，即=-
A A co s 23
s in 21 0)60sin(=- A ，又0＜A ＜π，∴A=60o。

（2）∵
A BC
x AC sin sin =
，∴x x x BC AC sin 4sin 2
332sin 3sin =⋅=⋅=π。

同理：)3
2sin(4sin sin x C A BC AB -=⋅=π。

∴
x x x x x A x x y 2sin 32cos sin 6)3
2sin(sin 34sin )32sin(4sin 421+=-=-⋅⋅=
ππ=
3)6
2sin(3232cos 32sin 3+-=+-π
x x x ，
∵3
π
=
A ，∴0＜x ＜
32π，∴6π-＜62π-x ＜67π，当62π-x =2π，即3
π
=x 时，)(x f 有最大值33。

因此，当3
π
=
x 时，函数)(x f 取得最大值36。

19．（本小题12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，∠EAB=90o ，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE ⊥平面ABCD 。

（1）求直线FD 与平面ABCD 所成的角； （2）求点D 到平面BCF 的距离；
（3）求二面角B —FC —D 的大小。

解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD ，∠EAB=90o，即EA⊥AB，而平面ABFE 平面ABCD=AB ，∴EA⊥
平面ABCD 。

作FH∥EA 交AB 于H ，则FH⊥平面ABCD 。

连接DH ，则∠FDH 为直线FD 与平面ABCD 所成的角。

在Rt△FHD 中，∵FH=EA=1，DH=211AH AD 2222=+=+•， ∴222
1DH FH FDH tan ===
,∴∠FDH=22
arctan , 即直线FD 与平面ABCD 所成的角为2
2
arctan。

（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD ，EA⊥AB，∴EA⊥平面ABCD 。

分别以AD,AB,AE 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1), ∴).1,1,0(),0,0,1(),1,1,0(-===
∵,0,0=⋅=⋅BF AF BC AF ∴AF ⊥平面BCF ， 即AF =(0,1,1)为平面BCF 的一个法向量， 又)0,2,0(=DC ，
∴点D 到平面BCF 的距离为21
100
12100|
|2
2
2
=++⨯+⨯+⨯=
AF d 。

（3）∵)1,0,1(),0,2,0(-==DE DC ，设),,(1z y x n =为平面CDEF 的一个法向量，则
⎩
⎨⎧=+-=⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅00
0011z x y DE n DC n 令1=x ，得1=z ， 即)1,0,1(1=n 。

又（1）知，)1,1,0(2==AF n 为平面BCF 的一个法向量， ∵〈1n ,2n 〉2
1
|
|||2121=⋅n n ， 且二面角B —FC —D 的平面角为钝角， ∴二面角B —FC —D 的大小为120o 。

20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足121-=+n n a a 且1
11
,3+-==n n n n a a a b a ，数列}{n b 的前n 项和为n S 。

（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）求n S ；
（3）设)()12ln()12()(*N n x x x x f n n ∈-+-+-=，求证：)(x f ≥2
62
3-+n n S S 。

解：（1）由121-=+n n a a 得)1(211-=-+n n a a ，且211=-a ，
∴数列}1{-n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，1221-⋅=-n n a ， ∴12+=n n a 。

（2）由（1）知12+=n
n a ，∴1
21
121)12)(12(211+-+=++=++n n n n n n b ，
1
21
311211211211211211211211211
143322+-=+-++++-+++-+++-+=
++n n n n S 。

（3）),12ln()(',2221
26)121
1(32
1
2622
12312
62
31
1
111+-=-=-=+-+-
=
-+-++-
=-++++++n n n n n n n n n
x x f S S 当n x 2=时，0)('=x f ；x ＞n 2时)('x f ＞0，)(x f 在),2(+∞n 上递增；12-n ＜x ＜n 2时，
2
62
32)(min -+=
-=n n n S S x f ，
∴)(x f ≥
2
62
3-+n n S S 成立。

21．（本小题12分）已知椭圆C ：22
22x y a b
+=1（a>b>0
）的离心率为2，且在x 轴上的顶点
分别为12(2,0),(2,0).A A - （1）求椭圆方程；
（2）若直线l ：(2)x t t =>与x 轴交于点T ，P 为l 上异于T 的任一点，直线1PA PA 2、分别与椭圆交于M 、N 两点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

（1）由已知椭圆C
的离心率22
c e a a =
==
，可得1c b == ∴椭圆的方程为2
214
x y +=
（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，直线1A M 斜率为1k
则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+
由12
2
(2)
1
4
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得211112211824,4141k k x y k k -+==++ M ∴点坐标为（
21218241
k k -++，121441k k +） 同理，设直线2A N 的斜率为2k 则N 点坐标为（2
22
282
41k k -+，222441
k k -+） 由直线1A M 与直线2A N 的交点(,)p P t y 在直线l 上 又12(2),(2)p p y k t y k t =+=-，12(2)(2)k t k t ∴+=-，12122
k k k k t
-∴
=-+
又MN 的方程为
121
121y y y y x x x x --=-- 令0y =，得2112124
x y x y x y y t
-=
=-
即直线MN 与x 轴交点为4
(,0)t 又4
2,02t t
>∴<
<
又椭圆右焦点为0)
，故当t MN =
过椭圆的焦点． 说明:由于1A 、2A 两点已知，故易求得直线与椭圆的交点M 和N 的坐标，这样就易求出MN 与x 轴的交点，在计算过程中要注意计算的技巧．
22（理）、（本小题14分）已知函数()f x 的图像在[a,b]上连续不断，定义：
1()min{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，其中
min{()/)f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最小值，max{()/)f x x D ∈表示函数)(x f 在
D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数)(x f 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”
（1）若()cos ,[0,]f x x x π=∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；
（2）已知函数2
(),[1,4],f x x x =∈-试判断)(x f 是否为[-1,4]上的“k 阶收缩函数”，
如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由；
（3）已知0b >，函数3
2
()3,f x x x =-+是[0,b]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围 解：（1）由题意可得：1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈。

（2）2
1,[1,0)()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，221,[1,1)
(),[1,4]
x f x x x ∈-⎧⎪=⎨∈⎪⎩，22121,[1,0)
()()1,[0,1),[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩
当[1,0]x ∈-时，2
1(1),1,2;x k x k x k -≤+∴≥-≥ 当(0,1)x ∈时，1
1(1),,1;1
k x k k x ≤+∴≥
∴≥+ 当[1,4]x ∈时，22
16(1),,.15
x x k x k k x ≤+∴≥
≥+ 综上所述，16
5
k ≥。

即存在4k =，使得)(x f 是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。

（3）2
()363(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得0x =或2x =。

函数()f x 的变化情况如下：
（i ）当2b ≤时，()f x 在[0,]b 上单调递增，因此，32
2()()3f x f x x x ==-+，
1()(0)0f x f ==。

因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的“二阶收缩函数”，所以，
①21()()2(0)f x f x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立； ②存在[0,]x b ∈，使得)0()()(12-<-x x f x f 成立。

①即：3232x x x -
+≤对[0,]x b
∈恒成立，由32
32x x x -+≤解得01x ≤≤或2
x ≥。

要使32
32x x x -+≤
对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤。

②即：存在[0,]x b ∈，使得2
(31)0x x x -+<成立。

由2
(31)0x x x -+<解得0x <或3322
x -<<。

所以，只需32
b >。

综合①②可得
312
b <≤。

（i i ）当23b <≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，在[2,]b 上单调递减，因此，2()(2)4f x f ==，1()(0)0f x f ==，21()()4,0f x f x x x -=-=，显然当0x =时，21()()2(0)f x f x x -≤-不成立。

（i i i ）当3b >时，()f x 在[0,2]上单调递增，在[2,]b 上单调递减，因此，
2()(2)4f x f ==，1()()0f x f b =<，21()()4()4,0f x f x f b x x -=->-=，显然当0
x =
时，21()()2(0)f x f x x -≤-不成立。

综合（i ）（i i ）（i i i
）可得：312
b <≤。

22（文）．（本小题14分）
已知3
2
()f x ax bx cx d =+++（0a ≠）是定义在R 的函数，其图像交x 轴于A 、B 、C 三点，若点B 的坐标为（2,0），且()f x 在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性，在[0,2]和[4，5]上有相反的单调性。

（1） 求c 的值；
（2） 在函数()f x 的图像上是否存在一点M （00x y ，），使得()f x 在点M 处的切线斜
率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 求|AC|的取值范围。

解（1）因为()f x 在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性，所以x=0是()f x 的一个极值点，
故'(0)0f =，即2
320ax bx c ++=有一个解x=0，则c=0 （2）因为()f x 交x 轴于点B （2,0）， 所
以
8a+4b+d=0
，
即
d=
4(2)
b a -+，令
'()f x =，得
212232003b
ax bx x x a
+===-
，，，因为()f x 在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性 所以223
243
{
b
b -
≥-≤
所以63b
a
-≤
≤-，假设存在点M （00x y ，
）使得()f x 在点M 处的切线斜率为3b 则'()f x =3b 即2
003230ax bx b +-=
2(2)43(3)b a b ∆=-⨯⨯- =24364(9)b
b ab ab a
+=+
而630b
a
-≤≤-∴∆<，故不存在点00()M x y ，，使得()f x 在点M 处的切线斜率为3b 。

（4） 设()C(0)A αβ，0、，
，依题意可令
则(2)
2{b a d a αβαβ=-++=- 即
2
2{
b a
d
a
αβαβ+=--=-
||||AC αβ∴=-=
4(2))d b a =-+ 又63b
a
-≤≤-，
当
max 6|AC |b a =-=时， 当min 3|AF|3b a
=-=时，，
故3|AC |≤≤
说明：我们知道二次函数的表示方法有：一般式、顶点式、零点式、对于三次函数也有零点表示式，也就是说，如果三次函数与x 轴的3个交点的横坐标分别为123x x x 、、，那么其解析式可表示为11223()()()()f x a x x x x x x =---，这也是解。