全国高中应用物理知识竞赛辅导第四章圆周运动

第四章 圆周运动你看过杂技表演中的“飞车走壁”吗？瞧！那演员骑着摩托车飞驰在圆形的陡壁上，那陡峭的壁上似乎连一只小鸟也站不住，高速摩托车却能在上边飞驰……“花样滑冰”运动员在冰上翩翩起舞，他们在拐弯时总是将身体自然向内侧倾斜……公路转弯处，外道总比内道高一些，当你骑着自行车拐弯时，你和车子总是要向弯道的内侧倾斜．当你在游乐场坐过山车运动到最高点时，会产生什么样的感觉？下雨天，你打着雨伞一边行走，一边转动着雨伞的手柄，雨伞上的水滴随着雨伞的转动而被甩出去．我们生活的地球在不停地自转着，每昼夜整整转过一圈，大约是4万公里，所以毛主席有“坐地日行八万里”的诗句．我们随地球自转的线速度已接近喷气式飞机的速度了，你有没有担心你会像雨伞上的水滴一样被甩出地球？日常生活中，我们时常还可以看到一些物体在做圆周运动：钟表上的指针转动，它上面的每 一个点，除了圆心处以外，都在做圆周运动．还有在圆形跑道上奔跑的运动员……这些常见的运动遵循什么规律呢？如果你能把生活中各种做圆周运动的物理现象弄明白，并能利用其规律指导你的学习和生活，你的认识将达到一个新的境界．知识要点（1）理解匀速圆周运动的角速度、线速度和周期的概念，掌握它们之间的联系．（2）知道向心力的特点，理解向心力在圆周运动中的作用．（3）能用牛顿第二定律分析圆周运动的向心力．（4）能举例说明在实际中物体做圆周运动的向心力．（5）分析生活和生产中的离心现象．应用举例例l 收割机的拨禾轮上面常装有4～6个压板，如图4—1所示，拨禾轮一边旋转，一边随收割机前进，压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割机器，另一方面把切下来的作物铺放在收割机台上．因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进的方向相反．已知收割机前进的速率为1.2 m /s ，要求压板运动到最低点挤压作物的速率为0.5 m /s ．拨禾轮的转速为22 r min ／．求拨禾轮的半径应为多少．分析与解答：压板同时参与了两个运动：随收割机以速度1v 前进，同时绕轮心做匀速圆周运动，设拨禾轮的半径为R ，则轮边缘最低点相对轮心的速度为2v R ω=，方向与收割机前进的方向相反，所以压板运动到最低点时挤压作物的速度为21v v v =-，21 1.7 m/s v v v =+=， 又2v R ω=，式中222 3.14rad/s 2.3rad/s 60ω⨯⨯==， 所以 21.7m 0.74m2.3v R ω===． 说明：（1）该题为匀速直线运动与匀速圆周运动的合成问题，而两个运动的参照物又不同，关键是弄明白速度矢量的合成的关系，从而求出轮边缘相对轮心的速度为2v ．（2）依题意，压板运动到最低点挤压作物的速度（相对地面）方向与收割机的前进方向相反，大小为0.5 m s ／．其效果是：一方面把农作物压向切割机器，从而提高了切割器的切割速率；另一方面把切下来的作物铺放在收割机台上．如果该速度为零，则相当于压板无拨禾作用，同时割下来的作物不可能全部铺放在收割机台上而被回收．例2 建筑工地上常使用打夯机夯实地基，图4—2是其结构原理图．长为l 的连杆（质量可忽略）同定在轮盘A 上，轮盘A 和连杆固定在一起可一块绕轴O 旋转，连杆另一端固定一质量为m 的铁块，电动机通过皮带轮带动轮盘A 和连杆，可在竖直平面内做近似的匀速圆周运动．当旋转的角速度达到一定数值，可使质量为M （不包括铁块的质量m ）的打夯机离开地面，然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用．试分析连杆转动的最小角速度．分析与解答：当铁块运动到最高点时，受重力mg 和杆的拉力1F 作用，这两个力的合力提供铁块此时做圆周运动所需的向心力．当铁块的角速度逐渐增大时，所需的向心力增大，将导致拉力1F 的增大，根据牛顿第三定律可知，此时铁块对打夯机向上的托力2F =1F ，所以当21F F Mg =>时，打夯机将脱离地面．设为使打夯机脱离地面连杆转动的最小角速度为ω，由牛顿第二定律对M 有20F Mg -=， 对m 有21F mg ml ω+=， 因 21F F =，由以上几式解得 ω=说明：（1）打夯机是利用质量中心偏离中心轴的振动来实现务实地基所需要的冲击力，关键是利用隔离法，分析铁块和打夯机的受力情况，进而找到打夯机离开地面的原因——当铁块运动到最高点时，铁块对打夯机向上的拉力21F F Mg =>．（2）在生产、生活中，有许多情况是要防止构件质量中心偏离中心轴的有害振动，因为产生的振动会严重磨损转轴和轴承．所以像运转的电风扇、转动的车轮、旋转的机床、发电机、电动机等，其转动部分均需要经过严格的动平衡测试，以保证其转动部分的质量中心过转轴的轴线，避免产生这种有害的振动．例3 在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右转弯时，司机左侧的路面比右侧要高一些．请你说明其中的原因，并设计确定路面倾角θ与路面宽、拐弯路段的半径及车速v 的关系．（已知当地重力加速度为g ）分析与解答：汽车在公路的拐弯处做水平面内的圆周运动．如果拐弯处的路面是水平的，则汽车做圆同运动的向心力仅由路面的静摩擦力提供，这样一方面加大了汽车轮胎的磨损，同时由于车速受到弯道半径和路面所提供的摩擦力的限制，容易发生事故．若将路面造得外高内低，则汽车转弯所需的向心力由重力mg 、地面支持力N 和静摩擦力的合力来提供．对于给定的车速v ，当路面倾角θ合适，则重力和支持力的合力恰好等于向心力，此时车轮与路面之间的横向摩擦力等于零．为了研究问题方便，我们可将问题简化为如图4—3所示的情景，设弯道半径为R ，路面与水平面间的夹角为θ，当车速为v 的汽车转弯时摩擦力等于零时，根据牛顿第二定律，有2tan v mg m Rθ=．考虑到实际情况下这个高度差h 很小，即θ角很小，因此有tan θθ≈．若路面弯道半径R 确定，则对于给定车速v ，路面倾角θ为2v gRθ=． 即路面倾角θ与车速2v 成正比，与弯道半径R 成反比，确定了θ的大小，则可确定L 与h 的比值，即tan h Lθθ≈=． 说明：（1）高速公路的设计，必须要考虑到既能达到高速，又要确保安全的原则，特别在道路转弯处更是易发事故路段，因此在设计时必须考虑到车速与θ的关系．（2）当公路修好后，则转弯处的限定车速v 也就确定了．当汽车运动的实际速度大于v ，包括静摩擦力在内的合力不足以提供所需的向心力，则车将做离心运动而冲出路面或向外翻倒，这是很危险的．若车速小于等于限定速度v ，则汽车将要受到指向路面外侧的摩擦力作用，使合力能满足汽车转弯时所需要的向心力．（3）在铁路的弯道设计时，也要考虑到上述关系．要使火车以某一速度v 通过某弯道时，内、外轨道均不受（或尽量减小）侧压力作用，则内、外轨也必须有一定的高度差，当火车速率超过限定速率v ，重力和支持力的合力F 小于需要的向心力，差由外轨对轮缘向内的弹力弥补，从而使外轨受到向外的侧压力；当火车速率小于规定速率v ，F 大于需要的向心力，差由内轨对轮缘向外的弹力平衡，使内轨受到向内的侧压力．长时间的运行，会使内轨（或外轨）“疲劳”而发生事故．例4 在化工厂、制药厂、医学检验等工作中经常使用离心分离器，将“悬浮”在液体中的微小颗粒沉淀析出．试分析这种“离心沉淀”为什么比“重力沉淀”快．分析与解答：采用实验方法，比较“离心沉淀”与“重力沉淀”两种情况中微粒向容器底部运动的加速度，就可判定其沉淀的快慢．取试管，其内装密度为0ρ的液体，内有密度为0()ρρρ>、体积为V ∆的微小颗粒．先分析“重力沉淀”．将装有相同液体的两相同试管连接固定，如图4—4所示．液体中的微小颗粒受力：重力G Vg ρ=∆，浮力10F Vg ρ=∆（因下沉速度很小，可忽略黏滞阻力）．由牛顿第二定律得微粒下沉的加速度为0011Vg Vg a g V ρρρρρ∆-∆⎛⎫==- ⎪∆⎝⎭．再分析“离心沉淀”．如同4—5所示，当离心分离器带着试管以角速度ω高速旋转时，两试管几乎处于水平状态．其中的液体随着试管做匀速转动，组成液体的各个小单元都在绕转轴做圆周运动．液体中密度较大的杂质微粒做匀速圆周运动时需要的向心力较大，当其所受周围液体对它产生的作用力不足以提供所需的向心力时，物质颗粒将做离心运动沉淀到试管底部，从而加速了沉淀过程．设在试管中有一个与转轴相距r 、体积为V ∆的小液滴，则其做圆周运动的向心力为220F Vr ρω=∆，此向心力是周围的液体所提供的．若在该处不是V ∆的小液滴，而代之以“悬浮”在液体中的体积为V ∆的微粒，则此微粒随离心分离器旋转所需的向心力为22F Vr ρω'=∆，而周围的液体所能提供的向心力只有220F Vr ρω=∆，由于0ρρ>，所以22F F '>，即微粒周嗣液体对它产生的作用力小于它所需的向心力，微粒便向管底“下沉”（同理忽略液体对微粒的黏滞阻力），其下沉加速度为2220021Vr Vr a r V ρωρωρωρρ∆-∆⎛⎫==- ⎪∆⎝⎭． 比较1a 和2a ，只要2r g ω>，即ω，离心沉淀比重力沉淀快．例如，离心分离器以3000r /min 即以314rad/s ω=旋转，液体中微粒与轴相距0.2m r =，g 取29.8m s ／，则2123140.220009.8a a ⨯=≈（倍）． 说明：（1）这是一道联系实际的论证题，需要自己建立实验模型来进行动力学分析和论证．该题采用比较法说明“离心沉淀”的加速度比“重力沉淀”大得多，解题的关键是分析物体颗粒的受力情况．（2）自己查找资料分析“飞球调速器”的原理．实践探索1．杂技演员在排练“水流星”节目时，在线的一端系一个小桶，手执线的另一端，若手的位置基本不动，用力使小桶在竖直面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）A ．当转速相同时，线越长越容易断B ．当周期相同时，线越短越容易断C ．当角速度相同时，线越短越容易断D ．当线速度相同时，线越短越容易断2．如图4—6所示，表演“飞车走壁”的杂技演员骑着摩托车飞驶在圆台形筒壁内，圆台筒同定不动，其轴线沿竖直方向．演员驾驶摩托车先后在M 和N 两处紧贴着内壁分别在图中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，如果此时不计车轮与筒壁的摩擦力，则（ ）A．M处的线速度一定大于N处的线速度B．M处的角速度一定小于N处的角速度C．M处的运动周期一定等于N处的运动周期D．M处对筒壁的压力一定大于N处对筒壁的压力3．将一个动力传感器连接到计算机上，我们就可以测量快速变化的力．如图4—7所示是用这种方法测得的某小滑块在半球形碗内在竖直平面内来回滑动时，对碗的压力随时间变化的曲线．由此曲线提供的信息做出下列几种判断，其中正确的是（）A．滑块在碗中滑动的周期是0.6sB．在0.8st=时刻，滑块的速度为零C．从0.5st=的过程中，滑块的重力势能减小t=到0.8sD．滑块滑动过程中机械能守恒4．麦收时，常要用拖拉机拉着一个圆柱形的石滚子在场院里压麦秸．如果石滚子在拖拉机的牵引下做匀速圆周运动，如图4—8甲所示，其中的虚线表示它的运动轨迹．那么关于石滚子经过某点P时受到拖拉机对它的牵引力F的方向，图4—8乙中几种情况中可能正确的是（）5．由上海飞往美同洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的同一乘客对座椅的压力（）A．相等B．前者一定稍大于后者C．前者一定稍小于后者D．均可能为零6．图4—9为一实验小车中利用光脉冲测量车速和行程的装置示意图．A为光源，B为光电接收器，A ，B 均固定在车身上，C 为小车的车轮，D 为与C 同轴相连的齿轮．车轮转动时，A 发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B 接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示．若实验显示单位时问内的脉冲数为n ，累计脉冲数为N ，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是__________；小车速度的表达式为v =__________；行程的表达式为s =__________．7．飞行员在做特技飞行时，使飞机向下俯冲后拉起，若其运动轨迹可看做是半径为6km R =的竖直方向上圆周的一部分，如图4—10所示，过最低点时飞行员下方的座椅对他的支持力等于其重力的7倍，飞机过最低点的速度大小为__________m /s ．8．有一种利用转筒测子弹运动速度的装置，其原理如图4—11所示，直径为d 的纸质圆筒绕轴心O 以角速度ω逆时针转动．一子弹对准圆筒并沿直径射入圆筒．若圆筒旋转不到半个周期时，子弹在圆筒上先后留下a ，b 两个弹孔，且aOb θ∠=．则该待测子弹速度大小的测量值为__________．9．试仅从动力学角度分析说明为什么凸桥（拱形桥）比平桥更坚固．10．在日落很久以后，我们常能在空中看到明亮的人造卫星．有一颗在赤道上方运行的人造卫星．在日落2h 后仍能在正上方看到它．若已知地球半径为66.38l0m ⨯，试求这颗卫星的最低高度．11．早在19世纪，匈牙利物理学家厄缶就明确指出：“沿水平地面向东运动的物体，其重量（即列车的视重或列车对水平轨道的压力）一定要减轻．”后来，人们常把这类物理现象称之为“厄缶效应”．我们设想，在地球赤道附近的地平线上，有一列质量是M 的列车，正在以速率v 沿水平轨道匀速向东行驶，如图4—12所示．已知：地球的半径R ，地球的自转周期T ．今天我们像厄缶一样，如果仅仅考虑地球的自转影响（火车随地球做线速度为2πR T的圆周运动）时，火车对轨道的压力为N ；在此基础上，又考虑到这列火车相对地面义附加了一个线速度v 做更快的匀速圆周运动，并设此时火车对轨道的压力为N '．那么，单纯地由于该火车向东行驶而引起火车对轨道的压力减轻的数量（N N '-）为多少?。