寒假培优同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方

幂的运算一
1．同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n (m, n是自然数)
同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。

学习这个法则时应注意以下几个问题：
（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如： (2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。

（3）指数都是正整数
（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是自然数)。

（5）不要与整式加法相混淆。

乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x5·x4=x5+4=x9；
而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，
如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。

例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5
解：(1) (- )(- )2(- )3分析：①(- )就是(- )1，指数为1
=(- )1+2+3②底数为- ，不变。

=(- )6③指数相加1+2+3=6
= ④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂
解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂
=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂
=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：
=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)
=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12
例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6
解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂
=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6
=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行计算。

=-(x-y)10
例3．计算：x5·x n-3·x4-3x2·x n·x4
解：x5·x n-3·x4-3x2·x n·x4 分析：①先做乘法再做减法
=x5+n-3+4-3x2+n+4②运算结果指数能合并的要合并
=x6+n-3x6+n③3x2即为3·(x2)
=(1-3)x6+n④x6+n，与-3x6+n是同类项，
=-2x6+n合并时将系数进行运算(1-3)=-2底数和指数不变。

2．幂的乘方(a m)n=a mn，与积的乘方(ab)n=a n b n
(1)幂的乘方，(a m)n=a mn，(m, n都为正整数)运用法则时注意以下以几点：
①幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。

如[(x+y)2]3的底数为(x+y)，是一个多项式，
[(x+y)2]3=(x+y)6
②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。

如： (a3)4=a7； [(-a)3]4=(-a)7； a3·a4=a12
(2)积的乘方(ab)n=a n b n，（n为正整数）运用法则时注意以下几点：
①注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得
的幂相乘。

②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：(-3a2b)3如(a1·a2·……a n)m=a1m·a2m·……a n m 例4．计算：①(a2m)n②(a m+n)m③(-x2yz3)3④-(ab)8
解：①(a2m)n分析：①先确定是幂的乘方运算
=a(2m)n②用法则底数a 不变指数2m和n相乘
=a2mn
②(a m+n)m分析：①底数a不变，指数(m+n)与m相乘
=a(m+n)m②运用乘法分配律进行指数运算。

=
③(-x2yz3)3分析：①底数有四个因式：(-1), x2, y, z3分别3次方
=(-1)3(x2)3y3(z3)3②注意(-1)3=-1, (x2)3=x2×3=x6
=-x6y3z9
④-(ab)8分析：①8次幂的底数是ab。

=-(a8b8) ②“-”在括号的外边先计算(ab)8再在结果前面加上“-”号。

=-a8b8
例5．当ab= ，m=5, n=3, 求(a m b m)n的值。

解：∵ (a m b m)n分析：①对(ab)n=a n b n会从右向左进行逆运算 a m b m=(ab)m
=[(ab)m]n
=(ab)mn②将原式的底数转化为ab，才可将ab代换成。

∴当m=5, n=3时，
∴原式=( )5×3 =( )15( )15应将括起来不能写成15。

例6．若a3b2=15，求-5a6b4的值。

解：-5a6b4分析：a6b4=(a3b2)2
=-5(a3b2)2应用(ab)n a n b n
=-5(15)2 =-1125
例7．如果3m+2n=6，求8m·4n的值。

解：8m·4n分析：①8m=(23)m=23m 4n=(22)n=22n
=(23)m·(22)n②式子中出现3m+2n可用6来代换
=23m·22n=23m+2n=26=64
（一）同底数幂的乘法
一、基础训练
1、a16可以写成（）
A．a8+a8 B．a8·a2 C．a8·a8 D．a4·a4
2、下列计算正确的是（）
A．b4·b2=b8 B．x3+x2=x6 C．a4+a2=a6 D．m3·m=m4
3、计算（－a）3·（－a）2的结果是（）
A．a6 B．－a6 C．a5 D．－a5
4、计算：
（1）m3·m4·m·m7; （2）（xy）2·（xy）8·（xy）18;
（3）（－a）2·（－a）4·（－a）6; （4）（m+n）5·（n+m）8;
5、一种电子计算机每秒可进行1015次运算，它工作107秒可进行多少次运算？
二、能力提升
1．下面的计算错误的是（）
A．x4·x3=x7 B．（－c）3·（－c）5=c8 C．2×210=211 D．a5·a5=2a10
2．x2m+2可写成（）
A．2x m+2 Bx2m+x2 C．x2·x m+1 D．x2m·x2
3．若x，y为正整数，且2x·2y=25，则x，y的值有（）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
4．若a m=3，a n=4，则a m+n=（）
A．7 B．12 C．43 D．34
5．若102·10n=102010，则n=_______．
6．计算
（1）（m－n）·（n－m）3·（n－m）4（2）（x－y）3·（x－y）·（y－x）2 （3）x·x2+x2·x 7．已知：3x=2，求3x+2的值． 8．已知x m+n·x m－n=x9，求m的值．
9．若5
2x+1=125，求（x －2）2011+x 的值． 10．
（二）幂的乘方
一、基础训练
1、如果正方体的棱长是（1－2b ）3
，那么这个正方体的体积是（ ）．
A ．（1－2b ）6
B ．（1－2b ）9
C ．（1－2b ）12
D ．6（1－2b ）6
2、计算（－x 5）7+（－x 7）5的结果是（ ）．
A ．－2x 12
B ．－2x 35
C ．－2x 70
D ．0
3、如果x 2n =3，则（x 3n ）4=_____．
4、下列计算错误的是（ ）．
A ．（a 5）5=a 25
B ．（x 4）m =（x 2m ）2
C ．x 2m =（－x m ）2
D ．a 2m =（－a 2）m
5、在下列各式的括号内，应填入b 4的是（ ）．
A ．b 12=（ ）8
B ．b 12=（ ）6
C ．b 12=（ ）3
D ．b 12=（ ）2
6、计算:
（1）（m 3）4+m 10m 2+m·m 3·m 8 （2）[（a －b ）n ] 2 [（b －a ）n －1]
2
（3）[（a －b ）n ] 2 [（b －a ）
n －1] 2 （4）（m 3）4+m 10m 2+m·m 3·m 8
（5）[（－1）m ]2n +1m-1+0
2012―（―1）2011
二、 能力提升
1、若x m ·x 2m =2，求x 9m =___________。

2、若a 2n =3，求（a 3n ）4=____________。

3、已知a m =2,a n =3,求a 2m+3n =___________.
4、若644×83=2x ，求x 的值。

5、已知a 2m =2，b 3n =3，求（a 3m ）2－（b 2n ）3+a 2m ·b 3n 的值．
6、若2x =4y+1，27y =3x- 1，试求x 与y 的值．8、已知a 3=3，b 5=4，比较a 、b 的大小．
7、已知a=355，b=444，c=533，请把a ，b ，c 按大小排列．
35,335,311,377,a a b c d b c d
+====+=已知求证:。