高中数学第2章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第1课时)对数函数的图象及性质

5．已知 f(x)＝log3x. (1)作出这个函数的图象； (2)若 f(a)<f(2)，利用图象求 a 的取值范围.
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对数函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域． (1)f(x)＝ log11x＋1；
2
(2)f(x)＝ 21－x＋ln(x＋1)； (3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8).
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[解] (1)要使函数 f(x)有意义，则 log1x＋1>0，即 log1x>－1，解得 0<x<2，即函
x≠1.
故函数 y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义
域为x12<x<2，且x≠1
.
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[规律方法] 求对数型函数的定义域时应遵循的原则 分母不能为 根指数为偶数时，被开方数非负 对数的真数大于，底数大于且不为 提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定 义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大 于 0；若自变量在底数上，应保证底数大于 0 且不等于 1.
第二章 基本(jīběn)初等函数(Ⅰ)
2.2.2 对数函数 及其性质 (duì shù hán shù)
第1课时 对数函数的图象(tú xiànɡ)及性质
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学习目标：1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点) 2.能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性 质．(重点)
2
2
数 f(x)Βιβλιοθήκη 定义域为(0,2)．x＋1>0， (2)函数式若有意义，需满足2－x≥0，
2－x≠0
即xx><－2，1， 解得－1<x<2，故函数的
定义域为(－1,2)．
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(3)由题意得2－x－4x1＋>80>，0， 2x－1≠1，
x<2， 解得x>12，
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[基础自测] 1．思考辨析 (1)对数函数的定义域为 R.( ) (2)y＝log2x2 与 logx3 都不是对数函数．( ) (3)对数函数的图象一定在 y 轴右侧．( ) (4)函数 y＝log2x 与 y＝x2 互为反函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2．把本例(2)改为 f(x)＝log2x＋1＋2，试作出其图象． [解] 第一步：作 y＝log2x 的图象，如图(1)所示．
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(1)
(2)
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第二步：将 y＝log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度，得 y＝log2(x＋1)的
⑥y＝log2x.其中是对数函数的为( )
π
A．③④⑤
B．②④⑥
C．①③⑤⑥
D．③⑥
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(2)若函数 y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则 a＝________. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则 f 12＝________.
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2．函数 y＝logax 的图象如图 2-2-1 所示，则实数 a 的可能取值为( )
图 2-2-1
A．5
B.15
C.1e
D.12
A [由图可知，a>1，故选 A.]
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3．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________． f(x)＝log2x [设对数函数的解析式为 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)．由 f(4)＝2 得 loga4＝2，∴a＝2，即 f(x)＝log2x.] 4．函数 f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________.
(3)
(4)
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[规律方法] 函数图象的变换规律 1一般地，函数 y＝fx±a＋ba，b 为实数的图象是由函数 y＝fx的图象沿 x 轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿 y 轴向上或向下平移|b|个单位长度得到 的. 2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a| 的图象是关于直线 x＝a 对称的轴对称图形；函数 y＝|fx|的图象与 y＝fx的图 象在 fx≥0 的部分相同，在 fx<0 的部分关于 x 轴对称.
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[当 堂 达 标·固 双 基]
1．（2019 年上虞区期末）下列函数是对数函数的是( ) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1) C．y＝logax2(a>0，且 a≠1) D．y＝ln x 【答案】D [结合对数函数的形式 y＝logax(a>0 且 a≠1)可知 D 正确．]
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2．函数 y＝ax 与 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线 y＝x 对称．
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例 3 (1)当 a>1 时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x 与 y＝logax 的图象为( )
A
B
C
D
(2)已知 f(x)＝loga|x|，满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图象.
[提示] 底数 a 与 1 的关系决定了对数函数的升降； 当 a>1 时，对数函数的图象“上升”；当 0<a<1 时，对数函数的图象“下降”．
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3．反函数 指数函数 y＝axx(a>0，且 a≠1)和对数函数 y＝llooggxax(a(a>>00且且aa≠≠11))互为反函数．
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(1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选 D.
(2)因为函数 y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
2a－1>0， 所以2a－1≠1，
a2－5a＋4＝0，
解得 a＝4.
(3)设对数函数为 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)， 由 f(16)＝4 可知 loga16＝4，∴a＝2， ∴f(x)＝log2x，
思路探究：(1)结合 a>1 时 y＝a－x＝1ax 及 y＝logax 的图象求解．
(2)由 f(－5)＝1 求得 a，然后借助函数的奇偶性作图．
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(1)C [(1)∵a>1，∴0<1a<1，∴y＝a－x 是减函数，y＝logax 是增函数，故选 C.] (2)[解] ∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即 a＝5， ∴f(x)＝log5|x|， ∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
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2．对数函数的图象及性质
a 的范围
0<a<1
a>1
图象
定义域 值域 性 定点 质 单调性
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(0，＋∞)
R
((1,0)，即 x＝11时，y＝0
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增增函函数数
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思考 2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
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[自 主 预 习·探 新 知]
1．对数函数的概念 函数 y＝lol_o_g_ax_x(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 xx 是自变量，函数的定义 域是(0，＋＋∞∞))． 思考 1：函数 y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
[提示] 不是，其不符合对数函数的形式．
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母题探究：1.把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－ x)”，则函数 y＝a－x 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
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C [∵在 y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0， ∴图象只能在 y 轴的左侧，故排除 A，D； 当 a＞1 时，y＝loga(－x)是减函数， y＝a－x＝1ax 是减函数，故排除 B； 当 0＜a＜1 时，y＝loga(－x)是增函数， y＝a－x＝1ax 是增函数，∴C 满足条件，故选 C.]
图象，如图(2)所示． 第三步：将 y＝log2(x＋1)的图象在 x 轴下方的部分作关于 x 轴的对称变换，得 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示． 第四步：将 y＝|log2(x＋1)|的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度，即得到所求的 函数图象，如图(4)所示．
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y＝loga4x 的图象，你能指出 a1，a2，a3，a4 以及 1 的大小关系吗？
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图 2-2-2
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提示：作直线 y＝1，它与各曲线 C1，C2，C3，C4 的交点的横坐标就是各对数 的底数，由此可判断出各底数的大小必有 a4>a3>1>a2>a1>0.
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(－1，＋∞) [由 x＋1>0 得 x>－1，故 f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]
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[合 作 探 究·攻 重 难]
对数函数的概念及应用
例 1 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1； ②y＝logax2(a>0，且 a≠1)；③y＝log( 3－1)x； ④y＝13log3x；⑤y＝logx 3(x>0，且 x≠1)；
16－4x>0， (2)要使函数有意义，需满足x＋1>0，
x＋1≠1， 解得－1<x<0 或 0<x<4， 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
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[探究问题]
对数函数的图象问题
1．如图 2-2-2，曲线 C1，C2，C3，C4 分别对应 y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，
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4．（2019 年重庆校级月考）函数 f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点________．
【答案】(3,0) [由 2x－5＝1 得 x＝3， ∴f(3)＝loga1＝0. 即函数 f(x)恒过定点(3,0)．]
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[跟踪训练] 2．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋x－1 3； (2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．
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[解] (1)要使函数有意义，需满足xx－ －23>≠00，， 解得 x>2 且 x≠3， 所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
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2．（2019 年河北模拟）函数 f(x)＝ lg x＋lg(5－3x)的定义域是( )
A.0，53
B.0，53
C.1，53
D.1，53
【答案】C
[由l5g－x≥ 3x>0， 0，
x≥1， 得x<53，
即 1≤x<53.]
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3．（2018·全国卷Ⅲ）下列函数中，其图象与函数 y＝ln x 的图象关于直线 x＝ 1 对称的是( ) A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x) C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x) 【答案】B [法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线 x ＝1 的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数 f(x)＝ln x 的图 象上，所以 y＝ln(2－x)．故选 B. 法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数 y＝ln x 的图象上也在所求函数的 图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除 A，C，D，选 B.]
∴202f1/1212/13＝log221＝－1.]
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[规律方法]
判断一个函数是对数函数的方法
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[跟踪训练] 1．若函数 f(x)＝(a2＋a－5)logax 是对数函数，则 a＝________. 2 [由 a2＋a－5＝1 得 a＝－3 或 a＝2. 又 a>0 且 a≠1，所以 a＝2.]