1.2.1-1.2.2 第2课时 导数的运算法则

2.已知函数y=2ln x-2x,则y'= 2 -2xln 2. ( √ )
x
提示:y'=(2ln x)'-(2x)'= 2 -2xln 2,故正确.
x
3.已知函数y=3sin x+cos x,则y'=3cos x+sin x. ( ✕ ) 提示:由y=3sin x+cos x,知y'=(3sin x)'+(cos x)'=3cos x-sin x,故错误. 4.函数f(x)=xex的导数是 f'(x)=ex(x+1). ( √ ) 提示:f'(x)=(xex)'=(ex)'x+exx'=xex+ex=ex(x+1),故正确.
u ln 2 (x-1) ln 2
(4)函数y1=sin3x可看作函数y1=u3和u=sin x的复合函数,函数y2=sin 3x可看作函数y2=
sin v和v=3x的复合函数,
∴yx'=(u3)'·(sin x)'+(sin v)'·(3x)'=3u2·cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x.
[cf(x)]'=③ cf'(x)
'
f(x)
f'(x)g(x)-f (x)g'(x)
g(x)
=④
[g(x)]2
说明 “±”前后一致
g(x)=c
g(x)≠0
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
2 |复合函数的概念及求导法则
1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称 这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作⑤ y=f(g(x)) .
-3
-
1 2
-3
u2
1
·(-4x)=-2
-3
(1-2x2) 2
·(-4x)
=2x(1-2x2) 2 .
(2)设y=log2u,u=2x+1,则yx'=yu'·ux'=u
2 ln
2
=(2x
2 1)
ln
2
.
(3)设y=eu,u=cos x+1,
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
则yx'=yu'·ux'=eu·(-sin x)
=-ecos x+1sin x.
1-
(4)y=
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选修2-2 人教A版
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
第2课时 导数的运算法则
1 |导数的运算法则
名称 和差的
导数 积的 导数
商的 导数
内容 [f(x)±g(x)]'=① f'(x)±g'(x)
[f(x)·g(x)]'=② f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
ex
ex
(3)(tan x)'=cos-2x.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.已知函数f(x)=(x+1)(x+2),则 f'(x)=2x+1. ( ✕ ) 提示:因为f(x)=(x+1)(x+2)=x2+3x+2,所以f'(x)=2x+3,故错误.
(2)函数y=
(2
1 x-1)3
可看作函数y=
u
-3
和u=2x-1的复合函数,
∴yx'=yu'·ux'=(u-3
)'·(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-
6 (2x-1)4
.
(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,
∴yx'=yu'·ux'=(5log2u)'·(1-x)'= -5 = 5 .
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
跟踪训练1(★★☆)求下列函数的导数.
(1)y=
1 1-2x2
;(2)y=log2(2x+1);
(3)y=ecos
x+1;(4)y=sin2
2x
π 3
.
解析
(1)y=(1-2x2)-
1 2
,
设y=
u
-
1 2
,u=1-2x2,
则y'=(
u
-
1 2
)'(1-2x2)'=
提示:根据复合函数的定义可知,函数y=log3t与t=x+1复合而成函数y=log3(x+1),故
正确.
7.函数f(x)=ln(1-x)的导数是
f'(x)=
1 1-x
.
(
✕
)
提示:f'(x)= 1 (1-x)'=- 1 ,故错误.
1-导数及其应用
1 |复合函数求导 复合函数求导,需要注意的两个方面 (1)正确区分所给函数是不是复合函数.基本初等函数中,如果用一个含有变量的式 子代替自变量,得到的新函数式一般是复合函数.例如y=ex中,用2x-1代替x,得到新函 数u=e2x-1,则新函数是由指数函数与一次函数合成的复合函数. (2)若是复合函数,能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.这个问题与上面 互逆,需要准确把握幂函数、指数函数、对数函数,以及三角函数等基本初等函数 的概念.
2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为⑥ yx'=yu'·ux' ,即 y对x的导数等于⑦ y对u的导数 与⑧ u对x的导数 的乘积.
3.常见类型求导速算
(1)y=exf(x),y'=ex[ f'(x)+f(x)];
(2)y= f (x) ,y'= f'(x)-f (x) ;
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
复合函数求导的步骤
导师点睛 确定复合函数关系的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外 及内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数,逐步确定复 合过程.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
(★★☆)求下列函数的导数.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
5.若函数f(x)=
ex x2
,则
f'(x)=
e
x
(x x3
2)
.
(
✕
)
提示:f'(x)=
(e
x
)'x2 -e x4
x
(x2
)'
=
e
x
(x2 -2 x4
x)
=
e
x
(x-2) x3
,故错误.
6.函数y=log3(x+1)是由y=log3t及t=x+1两个函数复合而成的. ( √ )
1
(1)y=e2x+1;(2)y= (2x-1)3 ; (3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
解析 (1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数,
∴yx'=yu'·ux'=(eu)'·(2x+1)'=2eu=2e2x+1.