广东省中山市毕业班2018届高考数学一轮复习模拟试题(1)--有答案

一轮复习数学模拟试题01
满分150分.用时120分钟．
第一部分（选择题 满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若A ∩B {1,3}=，则b a +的值是( )．
A.10
B.9
C.4
D.7 2．如图在复平面内，复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,， 则复数21z z -的值是( )．
A ．i 21+-
B ．i 22--
C ．i 21+
D ．i 21- 3．若点),9(a 在函数x y 3log =的图象上，则6
tan
π
a 的值为( )． A.0 B.
3
3
C.1
D.3 4．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则下列结论正确的是( )．
A ．1=⋅ B.||||a = C ．b b a ⊥-)( D ．// 5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其 中支出在[50，60)元的同学有30人，
则n 的值为( )．
A.100
B.1000
C.90
D.900
6．如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底 面的中心）P-ABCD 的底面边长为6cm ，侧棱长为 5cm ，则它的侧视图的周长等于( )．
A.17cm
B.cm 5119+
C.16cm
D.14cm
7．若实数x ，y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+-≥+,1001,0x y x y x ，则目标函数|3|y x z -=
的最大值为( )．
A.6
B.5
C.4
D.3
8．按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是15， 则判断框中的整数H=( )．
A.3
B.4
C.5
D.6 9．给出下面结论：
①命题”
“023,:02
00≥+-∈∃x x R x p 的否定为 ”
“023,:2<+-∈∀⌝x x R x p
②函数x x f x 32)(+=的零点所在区间是（-1，0）； ③函数x y 2sin =的图象向左平移
3
π
个单位后，得到函数 )3
2sin(π
+
=x y 图象；
④对于直线m ，n 和平面α，若n ,⊥⊥m m α，则α//n . 其中正确结论的个数是( )．
A.1
B.2
C.3
D.4 10.定义
n
p p p n
+++ 21为n 个正数n p p p ,,21的“均倒数”．若已知数列}{n a 的前n 项的“均倒数”为
121
+n ，又41+=n n a b ，则11
103221111b b b b b b +++ =( )． A.
111 B.109 C.1110 D.12
11
第二部分 （非选择题 满分100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
11.已知833833,322322=+=+
， ,15
441544=+，若t a t a
t a ,(,66=+ 均为正实数），类比以上等式，可推测a,t 的值，则t a -=_________.
12.已知：33
)6cos(=-a π，则)6
5cos()6(sin 2a a +--ππ的值为________.
13.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且]2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，
甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：1)3(=f ；乙：函数)(x f 在]2,6[--上是减函数；丙：函数)(x f 关于直线x=4对称；丁：若)1,0(∈m ，则关于x 的方程0)(=-m x f
在[0，6]上所有根之和为4．其中结论正确的同学是____．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14.（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，AB CD ⊥
于点D ，且AD=3DB ，设θ=∠COD ，则2
tan 2
θ
=________.
15.（坐标系与参数方程）已知直线4sin cos :=-θρθρl ，
圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.
（相交或相切或相离？）
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）
某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从—批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
1 2 3 4 5 频率
0.05 m 0.15 0.35 n (1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m ，n 的值；
(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级不相同的概率．
17.（本小题满分12分）
已知：函数x x x f ωω2sin 22sin 3)(-=的最小正周期为π3. (1)求函数)(x f 的解析式；
(2)在ABC ∆中，若1)(=C f ，且)cos(cos sin 22
C A B B -+=，求A sin 的值.
18.（本小题满分14分）
已知正项等差数列}{n a 中，11=a ，且9733,2,a a a +成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设}{n a 的前n 项和为1
)18()(,++=
n n
n S n S n f S ，试问当n 为何值时，)(n f 最大，并求出)(n f 的最大值．
19.（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，平面⊥ACE 平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，
2,//,90===∠BC AC BC EF ACB ，
AE=EC=1.
(1)求证：⊥AE 平面BCEF ；
(2)求三棱锥D-ACF 的体积．
20.（本小题满分14分）
某种上市股票在30天内每股的交易价格P （元）、日交易量Q （万股）与时间t （天）的对应关系分别如下：[有序数对(t ，P)落在图甲中的折线上，日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如表乙所示．]
(1)根据图甲的图象，写出该种股票每股交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t （天）的一次函数关系式；
(3)用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？
（注：各函数关系式都要写出定义域．）
21.（本小题满分14分）
设函数a x a e a x x f x
+-+-=)1()()(，R a ∈．（注：e 为自然对数的底数．）
(1)当1=a 时，球的单调区间；
(2)(i)设)(x g 是)(x f 的导函数，证明：当2>a 时，在),0(+∞上恰有—个0x 使得0)(0=x g (ii)求实数a 的取值范围，使得对任意的]2,0[∈x ，恒有0)(≤x f 成立．
参考答案
一．选择题：
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
B
D
C
A
D
B
A
B
C
二．填空题： 11．-29. 12．332+． 13．甲、乙、丁. 14．3
1
. 15．相交 解答过程分析：
10．选D ．解析：由已知得
1
21
21+=
+++n a a a n n n n S n n a a a =+=+++∴)12(21
当2≥n 时，141-=-=-n S S a n n n 当1=n 时也成立，14-=∴n a n
1
1
11,4
11+-=⋅∴
=+=
∴+n n b b n a b n n n n
11
103221111b b b b b b +
++∴
)31
21()211(-+-=1110)111101(=-++ . 11．填-29．解析：类比等式可推测35,6==t a ，则.29-=-t a 12．填
3
3
2+。

解析： )6(cos 1)6(sin 22αππα--=- )65cos(,32)33(12απ+=-=33
)6
cos()]6(cos[-=--=--=απαππ
33
23
332)65cos()6(sin 2+=+=+--∴αππα. 13．填甲、乙、丁．
解析：)(x f 满足)()4(x f x f -=-，则)(x f 的最小正周期8=T ，
又]2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，且定义在R 上)(x f 是奇函数，则)(x f 大致图像如下：
故甲、乙、丁正确． 14．填
3
1. 解析：设半径为r ，则r BD r AD 2
1,23==
，由BD AD CD ⋅=2得r CD 23
=，从而 3
π
θ=
，故3
1
2tan 2
=θ
. 15.填相交。

解析：法一：在极坐标系中，点(4，0)和)2,
0(π
为圆直径端点，作圆C ，又过两点(4，0)和)2
,4(π
-作直线l ，可得圆与直线相交.
法二：方程②代入①得4sin cos 4cos 42=-θθθ，22sin 2cos 1=-+∴θθ，
2
2
)4
sin(
=
-θπ
，在]2,0[π内有两解，∴直线与圆相交。

法三：圆C 的直角坐标方程是x y x 42
2
=+，即4)2(2
2
=+-y x ．圆心C(2，0)，半径r=2 直线l 的直角坐标方程为04=--y x ．所以圆心C 到直线l 的距离222
|
402|=<=--=
r d . 三.解答题：
16.解：(1)由频率分布表得：45.0,135.015.005.0=+∴=++++n m n m …2分
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，则35.01.045.0,1.020
2
=-=∴==
m n ．…5分 (2)由(1)得等级为3的零件有3个，记作321,,x x x ，等级为5的零件有2个，记作21,y y
从21321,,,,y y x x x 中任取2个零件，有),(),,(),,(),,)(,(),,(),,(22123221113121y x y x x x y x y x x x x x
),(),,(),,(212313y y y x y x 共10种 …………8分
记事件A 为“从21321,,,,y y x x x 中任取2个零件，其等级不相同”，则A 包含的基本事件是 ),)(,(),,(),,)(,)(,(231322122111y x y x y x y x y x y x 共6个 ………10分
所求概率5
3
106)(==A P …………12分
17．解：
(1)x x x f ωω2sin 22sin 3)(-=x x ωω2cos 12sin 3+-=1)6
2sin(2-+=π
ωx …3分
依题意：函数)(x f 的周期为π3，即3
1
,322=∴=ωπωπ， ……5分
1)632sin(2)(-+=π
x x f ……6分
(2)11)6
32sin(2)(=-+=πC C f 1)632sin(=+∴πC ，
)6
5,6(632),,0(ππππ∈+∴∈C C ，2,2632π
ππ=∴=+∴C C . ……8分
在ABC Rt ∆中，)cos(cos sin 2,2
2C A B B B A -+==
+π
0sin sin cos 22=--∴A A A ，即01sin sin 2=-+A A ，解得：25
1sin ±-=
A ……11分
2
1
5sin ,1sin 0-=
∴<<A A . …………12分 （注：17题原题题干后面加上条件“0>ω”。

)
18．解：(1)设公差为d ，则d a d a d a 81,61,21973+=+=+= …………2分 9733,2,a a a + 成等比数列，)81)(21(3)63(2d d d ++=+∴ …………3分 0,0122>=--∴d d d ，n n a d n =⋅-+=∴=∴1)1(1,1. …………6分
(2)2
)
1(,n n S n a n n +== ，21+=∴+n n S S n n . …………8分
1)18()(++=
∴n n
S n S n f 36
20)2)(18(2++=++=n n n n n n 321
2012120361=+≤++=
n
n ……12分
当且仅当n n 36=
，即6=n 时，)(n f 取得最大值32
1. ………14分 19.解：(1)∵平面⊥ACE 平面ABCD ，且平面 ACE 平面ABCD=AC
AC BC ⊥ ⊂BC 平面BCEF ⊥∴BC 平面AEC ………2分 ⊂AE 平面AEC AE BC ⊥∴， …………3分 又1,2===EC AE AC 222CE AE AC +=∴ EC AE ⊥∴ …4分 且C EC BC =⋂，⊥∴AE 平面ECBF ． ……6分
(2)设AC 的中点为G ，连接EG ，CE AE = AC EG ⊥∴ ……7分 ∵平面⊥ACE 平面ABCD ，且平面 ACE
平面，AC ABCD =，
⊥∴EG 平面ABCD ………9分
(法二：由(1)可知⊥BC 平面AEC ，⊂EG 平面AEC EG BC ⊥∴，……8分 又C BC AC = ⊥∴EG 平面ABCD ． ………9分 BC EF // ，⊂/EF 平面ABCD ，
所以点F 到平面ABCD 的距离就等于点E 到平面ABCD 的距离
即点F 到平面ABCD 的距离为EG 的长 …………………11分
EG s V V V ACD ACD E ACD F ACF D ∆---===∴3
1
12221
21=⨯⨯=⋅=∆AD AC S ACD 222
1==AC EG …………13分 622213
1=
⨯⨯=∴-ACF D V 即三棱锥D-ACF 的体积为62
． …………14分 20．解：(1)设⎪⎩⎪⎨⎧
∈≤<+∈≤<+=*),3020(*),200()(22
1
1N t t b t k N t t b t k t P ，依题意及由图象甲可得：
⎩⎨
⎧=+=6202211b k b 及⎩
⎨⎧=+=+5306202222b k b k
解得：⎪⎩⎪⎨⎧==512
11k b 及⎪⎩
⎪⎨
⎧-==101822k b ……4分 故所求P 满足的函数关系式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈≤<+-∈≤<+=*),,3020(810*),200(25
1
)(N t t t N t t t t P …………5分
(2)依题意设*,300,)(33N t t b t k t Q ∈≤<+=，把前两组数据代入得：⎩⎨⎧=+=+30
1036
43333b k b k
解得：⎩⎨⎧=-=4013
3b k ，
故Q 的一次函数关系式是*,300,40)(N t t t t Q ∈≤<+-= ……8分
(3)依题意：当*,200N t t ∈≤<时，125)15(5
1)40)(251(2
+--=+-+=t t t y
当*,3020N t t ∈≤<时，40)60(10
1
)40)(8101(2--=
+-+-=t t t y 故y 关于t 的函数关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤<--∈≤<+--=*),3020(40)60(10
1*),200(125)15(5
122N t t t N t t t y ，………12分
若*,200N t t ∈≤<，则15=t 时，125max =y （万元）
若*,3020N t t ∈≤<，则12040)6020(10
1
2=--<
y （万元） ∴第15天日交易额最大为125万元． ……14分 21.解：解：(1)当1=a 时，x
x
xe x f e x x f =∴+-=)(,1)1()( …………1分
0>x e ，令0)('<x f 得：0<x ；令0)('>x f 得：0>x
所以函数)(x f 的减区间是)0,(-∞；增区间是),0(+∞ …………3分
(2)(i)证明：
)1()(')(+-==a x e x f x g x )2()('),1(+-=∴-+a x e x g a x ………4分 02,2>-∴>a a ，且0,0>>x e x ，
令0)('<x g 得：20-<<a x ；令0)('>x g 得：2->a x
则函数)(x g 在)2,0(-a 上递减；在),2(+∞-a 上递增 ………6分 0)2(,0)0(<-∴=a g g ，又01)(>-+=a e a g a
所以函数)(x g 在)2,0(-a 上无零点，在),2(+∞-a 上有惟一零点
因此在),0(+∞上恰有一个0x 使得0)(0=x g . …………8分
(ii)若2≤a ，则02≥+-a ，对0)2()('],2,0[≥+-=∈∀a x e x g x x
恒成立，
故函数)(x g 在]2,0[上是增函数，0)0()(=≥∴g x g ，因此函数)(x f 在]2,0[内单调递增， 而0)0(=f ，0)0()(=≥∴f x f ，不符题意。

………10分
2>∴a ，由(i)知)(x f 在),0(0x 递减，),(0+∞x 递增， 设)(x f 在[0，2]上最大值为M ，则)}2(),0(max{f f M =，
故对任意的]2,0[∈x ，恒有0)(≤x f 成立等价于⎩⎨⎧≤≤0
)2(0
)0(f f ， ……12分
由0)2(≤f 得：022)2(2
≤+-+-a a e a ，23
4
2322222>-+=--≥∴e e e a ，
又0)0(=f ，3
2
222--≥∴e e a 。

……14分。