2021年高考数学总复习第36讲：平面向量的综合应用练习题及答案解析

2021年高考数学总复习第36讲：平面向量的综合应用
1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→
＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|＝( ) A ．10 B ．25 C ．5
D ．15
C [由于F 1＋F 2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝(－2)2＋(－1)2＝ 5.] 2．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos π6，sin π6，b ＝⎝⎛⎭⎫cos 5π6，sin 5π
6，则|a －b |＝( ) A ．1 B ．6
2 C ．3
D ．
102
C [因为a －b ＝⎝⎛⎭⎫cos π6
－cos 5π6，sin π6－sin 5π
6＝(3，0)，所以|a －b |＝ 3.] 3．已知圆O 是△ABC 的外接圆，其半径为1，且AB →＋AC →＝2AO →，AB ＝1，则CA →·CB →
＝( )
A ．32
B ．3
C ．3
D ．23
B [因为AB →＋A
C →＝2AO →
，所以点O 是BC 的中点，即BC 是圆O 的直径，又AB ＝1，圆的半径为1，所以∠ACB ＝30°，且AC ＝3，则CA →·CB →＝|CA →|·|CB →
|cos ∠ACB ＝3.]
4．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，若函数f (x )＝13x 3＋1
2|a |x 2＋a ·b x ＋1在R 上存在极
值，则a 和b 夹角的取值范围为( )
A ．⎣⎡⎭⎫0，π
6 B ．⎝⎛⎦⎤
π3，π C ．⎝⎛⎦⎤π3，2π3
D ．⎣⎡⎦⎤π3，π
B [f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ，设a 和b 的夹角为θ，因为f (x )有极值，所以Δ＝|a |2－4a ·b >0，即Δ＝|a |2－4|a |·|b |·cos θ>0，即cos θ<1
2
，所以θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.] 5．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →
＝48，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝16x
D ．y 2＝42x
B [如图所示，由AF →＝FB →
，得F 为线段AB 的中点，
∵|AF →|＝|AC →|，∴∠ABC ＝30°，由BA →·BC →＝48，得|BC →
|＝4 3.则|AC |＝4，∴由中位线的性质，有p ＝12
|AC →
|＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x .]
6．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →
＝________.
－8 [设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2，∴CA →·AB →
＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.]
7．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →
＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等
腰直角三角形，则△OAB 的面积为________.
1 [由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →
，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →，得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |＝1，由|OA →|＝|OB →
|，得|a －b |＝|a ＋b |，所以a ·b ＝0. 所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →
|＝2，故S △OAB ＝12×2
×2＝1.]
8．(2020·山东济钢中学月考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(2，n )． (1)若m ＝3，n ＝－1，且a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值； (2)若|a ＋b |＝5，求a ·b 的最大值．
解 (1)因为m ＝3，n ＝－1，所以a ＝(1,3)，b ＝(2，－1)， 因此a ＋λb ＝(1＋2λ，3－λ)， 又a ⊥(a ＋λb )，
所以a (a ＋λb )＝1＋2λ＋3(3－λ)＝0，解得λ＝10. (2)因为a ＝(1，m )，b ＝(2，n )， 所以a ＋b ＝(3，m ＋n )，又|a ＋b |＝5， 所以9＋(m ＋n )2＝25，即(m ＋n )2＝16， 因此a ·b ＝2＋mn ≤2＋⎝⎛
⎭⎫m ＋n 22
＝2＋4＝6，
当且仅当m ＝n 时取等号；。