【全国百强校】陕西省榆林市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题

……………
…
…
…
绝密★启用前 【全国百强校】陕西省榆林市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．从总体为N 的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为1%，则N =（ ） A ． 100 B ． 4000 C ． 101 D ． 4001 2．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为 A ． 25 B ． 16 C ． 13 D ． 35 3．“220a b +≠”的含义为（ ） A ． a b 和都不为0 B ． a b 和至少有一个为0 C ． a b 和至少有一个不为0 D ． a 不为0且 b 为0，或b 不为0且a 为0 4．已知空间向量()(),1,2,,1,1a b λλ=-=，则1λ=时a b ⊥的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 5．已知,x y 的取值如下表示： 从散点图分析， y x 与线性相关，且0.95.6ˆ3y x =+，则a 等于（ ）
○…………外……装…………○…………………线………※※要※※在※※装※※订※※线※○…………内……装…………○…………………线………6．如图1，已知M N 和分别是四面体OABC 的边,OA BC 的中点，且2MP MN =，若,,OA a OB b OC c ===，则OP 用,,a b c 表示为（ ） A 1
1
1
B ． 1
1
1
C ． 211
D ． 7．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，图2是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级， 一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）
①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个
②第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了
③8月是空气质量最好的一个月
④6月份的空气质量最差
A ． ①②③
B ． ①②④
C ． ①③④
D ． ②③④
8．甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如表：
…○…………装…………○……学校:_
_____
_
_
___姓名：___
_
_____
__班级：_…
○
…
…
…
…装
…
…
……
○
…
…
A ． 甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定
B ． 乙同学的数学成绩平均值是81.5
C ． 丙同学的数学成绩低于班级平均水平
D ． 在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三 9．南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率的值在 与 之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到 位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的 颗豆子中，落在圆内的有 颗，则估算圆周率的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 10．我市某机构为调查2017年下半年落实中学生“阳光体育”活动的情况，设平均每人每天参加体育锻炼时间为x （单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上，有10000名中学生参加了此项活动，图1是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6400，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（ ） 图1 A ． 0.64 B ． 0.36 C ． 6400 D ． 3600 11．设样本数据 的均值和方差分别为1和4，若 为非零常数， ，则 的均值和方差分别为（ ） A ． B ． C ． D ． 12．如图4，正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长都相等，则二面角1A BC A --的平面角的正切值为（ ）
线…………○……线…………○…… A ． B ． C ． 1 D ．
…装………………订…………○…__姓名：___
_
_____
__
___
_
_考
号：_
_
____
__
___ …装
…
…
……
…
…
订…
…
…
…
○
…
第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13，若//a b ，则x 的值为__________． 14．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～
18岁的男生体重()kg ，得到频率分布直方图如图5所示： 根据图2可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是__________． 15．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校,,A B C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人） 若从高校,B C 抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C 的概率P =__________． 16．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果()()2,1,4,4,2,0,AB AD =--= ()1,2,1AP =--，对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的说法的序号是__________． 三、解答题 17．已知命题P ：函数()()25x f x a =-是R 上的减函数；命题Q ： x R ∈时，不等
…
…
…
○
…
…
答
※
※
题
※
※
…
…
…
○
…
…
式220
x ax
-+>恒成立.若命题“P Q
∨”是真命题，求实数a的取值范围.
18．已知点()()()
2,0,2,1,1,2,3,0,4,,
A B C a AB b AC
---==.
（1，且//
c BC，求c；
（2
（3）若ka b
+与2
ka b
-垂直，求k的值.
19．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表：
（1）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程ˆ
ˆˆ
y bx a
=+；
（2）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小.
（注：
20．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加的5次预赛成绩记录如下：
甲：82，82，79，95，87 乙：95，75，80，90，85
（1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）求甲、乙两人的成绩的平均数与方差；
（3）若现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适说明理由？
21．当,x y Z
∈，则称点(),
P x y为平面上单调格点：设
求从区域Ω中任取一点P，而该点落在区域A上的概率；
求从区域Ω中的所有格点中任取一点P，而该点是区域A上的格点的概率.
22．如图，在四棱锥P ABCD
-中，等边PAD
∆所在的平面与正方形ABCD所在的
平面互相垂直，O AD
为的中点，E DC
为的中点，且2
AD=.
………○……………○…… （1）求证： PO ⊥平面ABCD ； （2）求二面角P EB A --的余弦值.
参考答案
1．B
【解析】 因为从总体为N 的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为40的样本， 某个零件第2次抽取的可能性为1%，所以
，解得4000N =，故选B ． 2．D
【解析】 由题意知，试验发生包含事件是从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，
构成一个两位数，共2520A =种结果， 满足条件的时间可以列举出： 31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共有12个， 根据古典概型的概率公式，得到123205P =
=，故选D ． 3．C
【解析】 由220a b +≠的等价条件是0a ≠或0b ≠，即两者中不全为0，
对照四个选项，可知a 和b 中至少有一个不为0，故选C ．
4．A
【解析】 由a b ⊥的充要条件为2120λ+-=，即1λ=±，
所以1λ=是a b ⊥的充分不必要条件，故选A .
5．D
【解析】 由题意得， 代入0.95.6ˆ3y
x =+，即，解得8.8a =，故选D ． 6．B 因为()2233OP OM MP OM MN OM MO OC CN =+=+=+++ ()
2221121111332333633OM MO OC CB OM OC OB OC a b c =+++⨯=+++-=++， 故选B .
7．A
【解析】 在A 中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，
共5个，故A正确；
在B
达标天数的比重下降了，所以B是正确的；
在C中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的；在D中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的，
综上，故选A.
8．D
【解析】由统计表可知，甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定，所以A正确；
B正确；
丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，所以C正确；
在6次测试成绩是甲第一、丙第二、乙第三，所以D是错误的，故选D．
9．D
【解析】设圆的半径为，则正方形的边长为，
根据几何概型的概率公式，可以得到，解得，故选D．
10．B
【解析】由图知，输出的S的值是运动事件超过20分钟的学生人数，
S=，
由于统计总人数10000，又输出的6400
所以运动事件不超过20分支的学生人数是3600，
~分钟内的学生的”概率是
事件“平均每天参加体育锻炼时间在020
故选B．
11．A
【解析】试题分析：因为样本数据的平均数是,所以的平均数是
；根据（为非零常数，），以及数据的方差为可知数据的方差为，综上故选A.
考点：样本数据的方差和平均数．
视频 12．D
【解析】 设棱长为,a BC 的中点为E ，连接1,A E AE ，
由正三棱柱111ABC A B C -中，个棱长都相等，
可得1,A E BC AE BC ⊥⊥， 所以二面角1A BC A --的平面角为1A
EA ∠， 在Rt ABC ∆中， AE =，所以11tan AA A EA AE ∠===， 即二面角1A BC A --D . 点睛：本题主要考查了二面角的平面角及其求法，解答此类问题的关键在于通过取BC 的中点E ，得出二面角1A BC A --的平面角为1A
EA ∠，进而放置在三角形中求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生推理与运算能力.
13．4或-4
【解析】 因为//a b ，且0x >，
存在0λ>使a b λ=，所以8,⎛ ⎝ ，即216x = ，解得4x =±. 14．232
【解析】 由图可知： 64.576.5~段的频率为()10.010.030.050.050.0720.-++++⨯=， 则频数为4000.58232⨯=人．
15．310
【解析】 根据分层抽样的方法，可得
2361854x y ==，解得1,3x y ==， 所以若从高校,B C 抽取的人中选2人作专题发言，共有10种情况，
则这二人都来自高校C 共有3种情况，所以概率为()310
P C =． 点睛：本题主要考查了分层抽样和古典概型及其概率的计算问题，其中解答中涉及分层抽样的方法的计算，古典概型及其概率计算的公式的应用，试题比较基础，属于基础题，解答中牢记古典概型及其概率的求解是解答的关键．
16．①②③
【解析】 由()()()2,1,4,4,2,0,1,2,1AB AD AP =--==--,
在①中， 2240AP AB ⋅=--+=，所以AP AB ⊥，所以AP AB ⊥，所以是正确的； 在②中， 4400AP AD ⋅=-++=，所以AP AD ⊥，所以AP AD ⊥，所以是正确的； 在③中，由于AP AB ⊥， AP AD ⊥，且AB AD A ⋂=，可知AP 是平面ABCD 的法向量，所以是正确的； 在④中， ()2,3,4BD AD AB =-=,
假设存在实数λ使得AP BD λ=，则12{23 14λ
λ
λ-==-=，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③.
点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.
17．()-
【解析】试题分析：分别求出命题,P Q 下的a 的取值，根据P Q ∨为真命题，则命题P 和Q 中至少有一个真命题，分成三种情况讨论，即可求解实数a 的取值范围．
试题解析：
(1)命题P ：函数()()x f x 2a 5=-是R 上的减函数，
∴02a 51<-<∴5a 3.2
<< 命题Q ： x R ∈时，不等式2x ax 20-+>恒成立，∴2Δa 80=-<，解得
a -<
∵P Q ∨是真命题，故P,Q 至少一个为真.∴若P 真Q 真：
5a 2
<<
∴若P 真Q 假： a 3<∴若P 假Q 真： 5a 2-<≤.
综上所得a 的取值范围为： ()-.
18．（1）()()2,1,22,1,2c c =--=-或；（2（32 【解析】试题分析：由已知()2,1,2BC =--，设()2,,2c λλλ=--，则()()()22
229λλλ-+-+=，由此能求出c 的坐标； （2）由已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-，由此能求出
（3）由已知()()()()221280ka b ka b k k k +⋅-=-+--=，从而求出k 的值. 试题解析：
（1）∵()()1,1,2,3,0,4B C --,∴()2,1,2BC =-- ，且//c BC ，∴设()2,,2c λλλ=--且()()()222229λλλ-+-+= 解得1λ=±，∴()()2,1,22,1,2c c =--=-或； （2）∵()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4,,A B C a AB b AC ---==
∴()()1,1,0,1,0,2a b ==-∴10-=； （3）()1,,2ka b k k +=-， ()22,,4ka b k k -=+-
∵ka b +与2ka b -垂直，∴()()()()2
21280ka b ka b k k k +⋅-=--+-= 或2k =. 19．(1) 0.5.4ˆ0y
x =+；(2)2.4千万元. 【解析】试题分析：
(1)结合题意首先求得样本中心点，然后利用系数公式可得回归直线方程为0.5.4ˆ0y
x =+；
(2)结合（1）中的结论结合回归方程的预测作用可估计利润额的大小为2.4千万元.
试题解析：
（1）设回归直线的方程是： ˆˆˆy
bx a =+，
∴
，
0.4a =
∴y 对销售额x 的回归直线方程为0.5.4ˆ0y
x =+； （2）当销售额为4（千万元）时，利润额为0.540 2.4ˆ.4y
=⨯+=（千万元） 20．(1)见解析(2) 甲乙的平均分分别为85分，85分；甲乙的方差分别为31.6，50 (3) 甲的成绩更稳定
【解析】试题分析：（1）茎叶图保留了原始数据便于记录和表示； （2）平均数反映了数值的平均水平，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散的程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，波动性越小．
试题解析：
（1）
（2）甲乙的平均分分别为85分，85分；
（3）我认为选择甲比较好，因为甲乙的平均分一样，证明平均成绩一样，但是甲的方差小于乙的方差，则证明甲的成绩更稳定。

考点：茎叶图，平均数与方差．
21．（1
（2
【解析】试题分析：（1）作出集合A Ω及所对应的区域，记事件=M “从区域Ω中任取一点P ，而该点落在区域A 上”，根据几何概型，利用面积比，即可求解概率；
（2）事件=N “从区域Ω中的所有格点中任取一点P ，而该点是区域A 上的格点”，得出基本事件的总数，和事件N 所包含的基本事件的个数，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解事件的概率．
试题解析： 作出集合ΩA 及所对应的区域（如图）： 矩形OABC ΔBCD 与
则：（1）记事件M= “从区域Ω中任取一点P ，而该点落在区域A 上” 则事件M 符合几何概型，即（2）事件N= “从区域Ω中的所有格点中任取一点P ，而该点是区域A 上的格点” 则事件N 符合古典概型，区域Ω中的格点个数:当横坐标分别为0,1,2时,纵坐标可以为0,1,2,3中的任一个,此时有3412⨯=个；而区域A 上的格点有（0，3），（1，2），（2，3），（1，2）共4个，
点睛：本题主要考查了事件概率的计算问题，其中解答中涉及到几何概型及其概率的计算，古典概型及其概率的计算公式的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中正确作出集合Ω的区域，判断好概率的概型，恰当地选择概率的计算方法是解答的关键．
22．（1）见解析；（2
【解析】试题分析：（1）根据三线合一得出AO AD ⊥，利用面面垂直的性质，即可求得AO ⊥平面ABCD ；
（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBE 和平面ABE
的法向量，则两法向量
的夹角的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值.
试题解析：
（1）∵PAD ∆是等边三角形， O 为AD 的中点，∴PO AD ⊥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ∴PO ⊥平面ABCD ；
（2）取BC 的中点F ∵底面ABCD 是正方形，∴OF AD ⊥ ∴,,PO OF AD 两两垂直，以O 为原点，以,,OA OF OP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
则，∴()()(1,1,3,2,1,0,0,0,EP EB OP =-==显然平面EBA 是一个法向量为(0,0,OP =设平面PBE 的一个法向量为(),,n x y z = 则0{ 0n EP n EB ⋅=⋅=，∴30 z =令1x =，得3,22,3OP n OP ⋅=-==∴,OP =-∵二面角P EB A --为锐角，∴二面角P EB A --的余弦值
点睛：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间角的求解问题，其中解答中涉及平面与平面垂直的性质的应用，利用空间向量在立体几何空间角的求解中的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，解答中利用空间向量准确计算是解答的关键.。