北京市顺义区中考数学一模压轴题的拓展试探

北京各区一模压轴题的拓展试探
说明：兹对 北京各区模拟试题的第八、1二、2二、23、24、25题谈些明白得与熟悉，或叫做拓展与试探，望批评指正。

2．顺义一模
第8题：
2021顺义一模如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 起身，沿AB 匀速运动到点B ，运动时刻为t ，别离以AP 和PB 为直径作半圆，那么图中阴影部份的面积S 与时刻t 之间的函数图象大致为D
A ．
B ．
C ．
D ．
分析：定性断势，定量求式，二者结合。

设参：AB=2，v=1，求式
第12题：
2021顺义一模如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，那么菱形ABCD 的面积是 ，连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形
122AC C D ，使2160D AC ∠=°；……，按此规律所作的第n 个菱形的面
积
为 ． 32，21
(3)2
n -
模型：60度的菱形〔两个等边三角形〕
※24
3a S ABC
=∆等边 ※顶角为120度的等腰三角形三边关系3:1:1
分析：第1个：边长1
第2个：边长3 第3个：边长3
第n 个：边长1
(3)n -
第n 个菱形的面积：21
(3)2
n -．
第22题：
2021顺义一模如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、别离是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，别离与BA CD 、的延长线交于点M N 、，那么BME CNE ∠=∠〔不需证明〕．
〔提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，依照三角形中位线定理，证明HE HF =，
C 1
D 1
D 2
C 2
D
A
B
从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．〕
〔补充〕问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、别离是BC AD 、的中点，连结EF ，别离交DC AB 、于点M N 、，判定OMN △的形状，请直接写出结论．
问题二：如图3，在ABC △中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E F 、别离是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，假设60EFC ∠=°，连结GD ，判定AGD △的形状并证明．
〔1〕等腰三角形
〔2〕判定：AGD ∆是直角三角形
证明：如图连结BD ，取BD 的中点H ，连结HF HE 、，
F 是AD 的中点，
∴HF AB ∥，1
2
HF AB =， ∴13∠=∠．
同理，1
2
HE CD HE CD =∥，， ∴2EFC ∠=∠．
AB CD =，
∴HF HE =， ∴12∠=∠．
60EFC ∠=°，
∴360EFC AFG ∠=∠=∠=°， ∴AGF ∆是等边三角形． AF FD =，
∴AD GF 2
1
=，
∴90AGD ∠=°
即AGD △是直角三角形．
拓展练习：
全国初中数学联赛初二初赛如图，四边形ABCD 中，DC AB =，E 、F 别离为AD 与BC 的中点，连结EF 与BA 的延长线相交于N ，与CD 的延长线相交于M . 求证：CMF BNF ∠=∠
A C
B D F
E N
M O E B C D H A F N M
1 2 图1 图2 图3 A B C D F G E F N E
M A C
B D A B
C
D F G H E
1
2 3
分析：连结AC ,取AC 的中点K..连结EK,FK. 可证
第23题：
2021顺义一模关于x 的方程2
(32)220mx m x m -+++= 〔1〕求证：不管m 取任何实数时，方程恒有实数根.
〔2〕假设关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.
〔1〕分类证明
〔2〕m 只能取1，2 因此抛物线的解析式为2
54y x x =-+或2
286y x x =-+
第24题：
2021顺义一模如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角极点E 与正方形ABCD 的极点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G 〔1〕求证：EF EG =；
〔2〕如图2，移动三角板，使极点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变， 〔1〕中的结论是不是仍然成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由；
〔3〕如图3，将〔2〕中的“正方形ABCD 〞改成“矩形ABCD 〞，且使三角板的一边通过点B ，其他条件不变，假设AB a =，BC b =，求EF
EG
的值． 〔1〕证
Rt Rt FED GEB △≌△.
〔2〕成立.证Rt Rt FEI GEH △≌△. 〔3〕证Rt Rt FEN GEM △∽△.
.EF EN b
EG EM a
==
拓展练习：
2021东城一模如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点M ，正方形MNPQ 与正方形ABCD 全等，射线MN 与
N
P
F 2
1
H
G
E Q
P
N
B
D
M
C
A
F E Q P
N
M
D C
B A A B
C
D M MQ 只是A 、B 、C 、D 四点且别离交ABCD 的边于
E 、
F 两点. 〔1〕求证：ME=MF ；
〔2〕假设将原题中的正方形改成矩形，且24BC AB ==，其他条件不变，探讨线段ME 与线段MF 的数量关系.
〔1〕略
时.
2
1
=MF ME 〔2〕解：①当MN 交BC 于点E ，MQ 交CD 于点F ②当MN 的延长线交AB 于点E ，MQ 交BC 于点F 时.
2=MF
ME
③当MN 、MQ 两边都交边BC 于E 、F 时. 11
12
2=+MF
ME ④当MN 交BC 边于E 点，MQ 交AD 于点F 时.延长FM 交BC 于点G. 22
111ME MF +=
综上所述：ME 与MF 的数量关系是
21=MF ME 或2=MF ME 或11
12
2=+MF
ME .
第25题：
2021顺义一模如图，抛物线2
3y ax bx =++与y 轴交于点A ，且通过(1,0)(5,8)B C 、两点，点D 是抛物线极
点，E 是对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于点D 对称． 〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕求证：AFE CFE ∠=∠；
〔3〕在抛物线的对称轴上是不是存在点P ，使AFP ∆与FDC ∆相似．如有，请求出所有符合条件的点P 的坐标；假设没有，请说明理由．
解：〔1〕2
43y x x =-+
〔2〕由〔1〕可得抛物线极点(2,1)D - 直线AC 的解析式为3y x =+
由E 是对称轴与直线AC 的交点，那么(2,5)E 由F 与E 关于点D 对称 ，那么(2,7)F -
证法一：
从点,A C 别离向对称轴作垂线,AM CN ，交对称轴于,M N 在Rt FAM ∆和Rt FCN ∆中
090AMF CNF ∠=∠=，
21310515AM CN
MF NF
==== 因此Rt FAM ∆∽Rt FCN ∆ 因此AFE CFE ∠=∠
证法二：直线AF 的解析式为53y x =-+ 点 (5,8)C 关于对称轴的对称点是(1,8)Q - 将点(1,8)Q -代入53y x =-+可知点Q 在直线AF
∠=∠
因此AFE CFE
-或(2,19)〔3〕P的坐标为(2,3)。