2020届高三文科数学总复习习题：9.5 抛物线及其性质 Word版含答案

姓名，年级：时间：
§9.5抛物线及其性质
【考点集训】
考点一抛物线的定义及其标准方程
1。

(2019届广东顶级名校期中联考，3）已知抛物线x2=ay(a≠0）的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5，且|MF|=7，则焦点F到准线l的距离是( )
A.2 B。

3 C.4 D。

5
答案 C
2.（2018河南中原名校12月联考,11）已知双曲线C1:x2
a2—y2
b2
=1(a〉0，b>0）的离心率为3，若抛物线
C2:x2=2py（p〉0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为（)
A.x2=8√3
3
y B。

x2=4y C.x2=12y D。

x2=24y
答案 D
3。

(2018云南玉溪模拟,14）已知F是抛物线y=x2的焦点，M、N是该抛物线上的两点，|MF|+|NF｜=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.
答案5
4
考点二抛物线的几何性质
1。

（2015陕西，3,5分）已知抛物线y2=2px(p>0）的准线经过点(-1，1），则该抛物线焦点坐标为( )
A。

(—1，0） B。

(1，0）C。

(0,—1） D.（0，1）
答案 B
2。

（2017广东中山一调，5)已知抛物线x2=2py（p>0）的准线与椭圆x2
6+y2
4
=1相切,则p的值为（)
A.4 B。

3 C.2 D。

1
答案 A
3.(2019届安徽皖中地区9月调研，9)抛物线E:y2=2px（p〉0)的焦点为F,点A（0,2），若线段AF的中点B在抛物线上，则|BF｜=（）
A。

5
4B.5
2
C。

√2
2
D。

3√2
4
答案 D
考点三直线与抛物线的位置关系
1.（2019届安徽皖东第二次联考,8)若抛物线x2=2y在点(a,a2
2
)（a〉0）处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8,则此切线方程是（）
A。

x—4y-8=0 B。

4x-y-8=0
C.x-4y+8=0 D。

4x—y+8=0
答案 B
2.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，则|AB｜=（）
A。

√30
3
B.6
C.12 D。

7√3
答案 C
3.(2019届福建福州9月质检,9）抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴上,直线x —y=0与抛物线C 交于A 、B 两点,若P （1,1）为线段AB 的中点,则抛物线C 的方程为（ ） A.y=2x 2 B 。

y 2=2x C 。

x 2=2y D 。

y 2=-2x 答案 B
4.(2018广东深圳二模,15）设过抛物线y 2=2px(p 〉0）上任意一点P （异于原点O)的直线与抛物线y 2=8px （p>0)交于A ，B 两点,直线OP 与抛物线y 2=8px （p>0)的另一个交点为Q,则S
△ABQ S △ABO
= 。

答案 3
炼技法
【方法集训】
方法1 求抛物线的标准方程的方法
1.（2018河南顶级名校12月联考，7)已知直线l 过抛物线y 2=-2px(p>0）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是（ ） A 。

y 2=—12x B.y 2=—8x
C 。

y 2=—6x D.y 2=-4x 答案 B
2。

（2019届湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到圆(x —2)2+y 2=1上的点的最小距离与其到直线x=—1的距离相等，则P 点的轨迹方程是( ）
A 。

y 2=8x
B 。

x 2
=8y C 。

y 2=4x D.x 2=4y 答案 A
3.(2017河北六校模拟,14）抛物线C:y 2=2px(p 〉0）的焦点为F,点O 是坐标原点，过点O,F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为 . 答案 y 2=16x
方法2 抛物线定义的应用策略
1.（2014课标Ⅰ，10,5分）已知抛物线C:y 2=x 的焦点为F,A(x 0，y 0)是C 上一点,|AF|=54
x 0，则x 0=( ) A 。

1 B.2 C.4 D 。

8 答案 A
2.过抛物线y 2=2px(p 〉0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于B 、C 两点，l 与抛物线的准线交于点A,且｜
AF|=6，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BC|=( ) A 。

8 B.132
C.6
D 。

92
答案 D
3。

（2019届河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y 2
=8x 的焦点为F ，点A （6,3）,P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△PAF 周长的最小值为 . 答案 13
方法3 与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法
1.（2018福建莆田模拟,6)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=8x 的焦点，过F 作直线l 与C 交于A ，B 两点.若｜AB ｜=10，则△OAB 的重心的横坐标为( ） A 。

43
B.2
C.83
D 。

3
答案 B
2.（2018湖北武汉模拟,9)过点P （2,-1)作抛物线x 2
=4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA,PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点,则△PEF 与△OAB 的面积之比为（ ) A 。

√32 B 。

√33 C.12
D 。

34
答案 C
3.(2019届河南洛阳期中检测，20）已知抛物线C ：x 2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点P 的纵坐标为3，且|PF|=4,过M(m,0）作抛物线C 的切线MA （斜率不为0)，切点为A 。

(1)求抛物线C 的方程；
(2)求证：以FA 为直径的圆过点M 。

解析 （1）∵｜PF ｜=y P +p 2，∴4=3+p 2，∴p=2。

∴抛物线C 的方程为x 2=4y.（4分） （2）证明：设
A (x 0,x 02
4)（x 0≠0）,切线
MA 的斜率为k(k≠0）.
∵x 2
=4y ，∴y=x 2
4，
∴y’=x 2,∴k=x 0
2。

(5分)
∴切线MA 的方程为y —x 024=x 02(x —x 0），即y=x 02x-x 02
4.(6分）
∵切线过M （m ，0）,∴x 0m
2
—x 02
4=0.
又∵x 0≠0，∴x 0=2m.(8分)
∵F(0,1),M（m ，0)，A (x 0,x 02
4)（x 0≠0），
∴MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-m ，1）·(x 0-m,x 02
4
)=(—m,1)·（m,m 2
）=0，（10分)
∴∠FMA=90°，
因此，以FA 为直径的圆过点M 。

（12分)
过专题
【五年高考】
A 组 统一命题·课标卷题组
1.（2016课标全国Ⅱ,5，5分）设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，曲线y=k x （k 〉0)与C 交于点P ，PF⊥x 轴,则k=（ ) A.12
B.1
C 。

32
D.2
答案 D
2.（2018课标全国Ⅰ,20,12分）设抛物线C ：y 2=2x ，点A(2，0）,B(—2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点。

(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程； (2）证明：∠ABM=∠ABN.
解析 (1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2，2）或(2,—2).
所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=—1
2
x-1.
(2）证明:当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y=k(x-2）（k≠0),M（x 1，y 1),N （x 2，y 2)，则x 1〉0，x 2〉0. 由{
y =k(x -2),
y 2=2x
得
ky 2-2y —4k=0，可知y 1+y 2=2k
，y 1y 2=—4.
直线BM,BN 的斜率之和为 k BM +k BN =y 1
x
1
+2+y 2
x
2
+2
=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)
(x 1+2)(x 2+2)
.①
将x 1=y 1k +2,x 2=y
2k +2及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2）=
2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k
=-8+8
k =0。

所以k BM +k BN =0,可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.
3。

(2016课标全国Ⅲ，20,12分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点,交C 的准线于P,Q 两点。

（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR∥FQ;
（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 解析 由题设知F (12
,0)。

设l 1:y=a ，l 2:y=b ，易知ab≠0,
且A (a 2
2,a),B (b 2
2,b)，P (-12,a)，Q (-12,b),R (-12,a+b
2
).
记过A ，B 两点的直线为l,则l 的方程为2x —(a+b ）y+ab=0。

(3分）
(1）证明:由于F 在线段AB 上,故1+ab=0. 记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则
k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-ab a =-b=k 2。

所以AR∥FQ。

(5分）
(2)设l 与x 轴的交点为D （x 1,0），则S △ABF =12｜b —a ｜|FD ｜=12|b —a ｜|x 1-12|,S △PQF =|a -b|2。

由题设可得2×12｜b-a ｜|x 1-12|=|a -b|
2
，
所以x 1=0（舍去)或x 1=1.
设满足条件的AB 的中点为E(x,y ）。

当AB 与x 轴不垂直时,
由k AB =k DE 可得2
a+b =y x -1
（x≠1）.
而a+b 2
=y ，所以y 2
=x-1（x≠1）.
当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合。

所以，所求轨迹方程为y 2=x —1。

(12分）
B 组 自主命题·省(区、市）卷题组
考点一 抛物线的定义及其标准方程
1。

(2014辽宁,8,5分)已知点A （—2,3)在抛物线C:y 2
=2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ） A 。

-43 B.-1 C.—34 D 。

—12
答案 C
2.(2016浙江，19，15分）如图,设抛物线y 2=2px(p 〉0)的焦点为F,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于｜AF ｜—1。

（1）求p 的值;
(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M。

求M的横坐标的取值范围.
解析（1）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离，由抛物线的定义得p
2
=1,即p=2.
（2)由（1）得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0）,可设A(t2,2t)，t≠0,t≠±1.
因为AF不垂直于y轴,可设直线AF：x=sy+1（s≠0），由{y2=4x,
x=sy+1
消去x得y2-4sy—4=0，
故y1y2=-4,所以，B(1
t2,-2
t )。

又直线AB的斜率为2t
t2-1,故直线FN的斜率为-t2-1
2t。

从而得直线FN:y=—t2-1
2t （x-1),直线BN:y=-2
t
.
所以N(t2+3
t2-1,-2
t )。

设M(m，0)，由A，M，N三点共线得
2t t2-m =2t+
2
t
t2-t
2+3
t2-1
,
于是m=2t2
t2-1
.
所以m<0或m>2。

经检验，m〈0或m〉2满足题意。

综上,点M的横坐标的取值范围是（—∞,0)∪（2，+∞）。

思路分析(1）利用抛物线的定义来解题；（2）由(1）知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程，联立可得N点坐标，最后利用A,M,N三点共线可得k AN=k AM,最终求出结果.
考点二抛物线的几何性质
1.（2016四川，3，5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）
A。

(0，2）B。

(0,1）C。

(2,0） D.（1，0)
答案 D
2。

(2014安徽,3，5分）抛物线y=1
4
x2的准线方程是( ）
A.y=-1
B.y=-2
C.x=-1 D。

x=-2
答案 A
3。

(2018北京，10,5分）已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为。

答案（1,0）
4。

(2017天津,12,5分）设抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°，则圆的方程为 。

答案 （x+1）2+（y —√3)2
=1
考点三 直线与抛物线的位置关系
1.（2014湖南,14，5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=—1的距离相等。

若机器人接触不到过点P （—1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 . 答案 (—∞，-1)∪（1，+∞）
2。

(2015浙江，19,15分)如图，已知抛物线C 1:y=14
x 2
,圆C 2:x 2
+(y-1)2
=1,过点P （t ，0）（t>0)作不过原点O 的直线PA,PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点。

（1）求点A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积。

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点。

解析 （1)由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y=k(x —t),
由{y =k(x -t),y =1
4
x 2
消去y ，整理得x 2-4kx+4kt=0，
由于直线PA 与抛物线相切，得k=t. 因此，点A 的坐标为(2t,t 2).
设圆C 2的圆心为D （0,1),点B 的坐标为(x 0，y 0),由题意知：点B,O 关于直线PD
对称,故{y 0
2
=-
x 02t
+1,
x 0t -y 0=0,
解得{
x 0=2t
1+t 2
,y 0=
2t 2
1+t 2
. 因此，点B 的坐标为(2t 1+t 2,2t
2
1+t 2).
（2）由（1）知｜AP ｜=t·√1+t 2， 和直线PA 的方程tx-y —t 2=0。

点B 到直线PA 的距离是d=2
√2，
设△PAB 的面积为S （t),所以S(t)=12
|AP|·d=t 3
2。

C 组 教师专用题组
考点一 抛物线的定义及其标准方程
1.(2013课标Ⅰ,8，5分）O 为坐标原点,F 为抛物线C ：y 2=4√2x 的焦点，P 为C 上一点，若｜PF|=4√2，
则△POF 的面积为（ ） A.2 B 。

2√2 C.2√3 D 。

4 答案 C
2.(2011课标,9，5分)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点,|AB|=12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )
A 。

18
B 。

24
C 。

36 D.48 答案 C
3。

(2017山东,15，5分)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2
a 2-y
2
b
2=1(a 〉0,b 〉0）的右支与焦点为F 的抛物
线x 2=2py （p>0）交于A ，B 两点.若|AF|+｜BF|=4|OF ｜，则该双曲线的渐近线方程为 . 答案 y=±√22x
考点二 抛物线的几何性质
1.(2013课标Ⅱ，10,5分)设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。

若|AF|=3｜BF|,则l 的方程为( ） A.y=x-1或y=-x+1
B.y=√33（x-1)或y=—√33（x —1）
C.y=√3(x-1)或y=—√3（x —1） D 。

y=√22(x-1)或y=—√22（x —1）
答案 C
2.(2014陕西,11,5分）抛物线y 2=4x 的准线方程为 。

答案 x=-1
3.（2014上海,4，4分)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 29+y 2
5=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 。

答案 x=-2
考点三 直线与抛物线的位置关系
1。

(2015四川,10，5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点,与圆(x —5)2+y 2=r 2(r 〉0）相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是（ ) A.（1,3) B 。

(1,4） C.（2，3） D.(2，4) 答案 D
2.(2014四川,10,5分）已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（ ) A 。

2 B 。

3 C.17√28 D.√10
答案 B
3.(2014浙江，22，14分)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2=4y 上,F 为抛物线C 的焦点,点M 为AB
的中点，PF
⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 。

（1)若|PF
⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，求点M 的坐标; (2)求△ABP 面积的最大值。

解析 （1)由题意知焦点F （0,1）,准线方程为y=-1. 设P(x 0,y 0），由抛物线定义知|PF ｜=y 0+1,得到y 0=2, 所以P(2√2，2)或P(—2√2,2）.
由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,分别得M (-2√23,23)或M (2√23,2
3
)。

(2)设直线AB 的方程为y=kx+m,点A(x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）. 由{
y =kx +m,
x 2=4y
得
x 2-4kx —4m=0,
于是Δ=16k 2
+16m>0，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4m, 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2+m ）. 由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得（—x 0，1-y 0)=3(2k,2k 2+m-1）, 所以{
x 0=-6k,y 0=4-6k 2-3m,
由x 02
=4y 0得
k 2=-15m+4
15
.
由Δ>0,k 2≥0,得-13〈m≤43。

又因为｜AB|=4√1+k 2·√k 2+m , 点F （0,1)到直线AB 的距离为d=1+k ,
所以S △ABP =4S △ABF =8｜m —1｜√k 2+m =√15√3m 3-5m 2+m +1。

记f(m ）=3m 3—5m 2+m+1(-13<m ≤4
3
)。

令f ’(m)=9m 2
—10m+1=0,解得m 1=19
，m 2=1.
可得f(m ）在(-13,19)上是增函数,在(19,1)上是减函数，在(1,4
3)上是增函数.
又f (19)=256243〉f (4
3
)，
所以,当m=19时, f(m)取到最大值256243，此时k=±√55
15。

所以,△ABP 面积的最大值为256√5
135
.
4.(2014福建，21，12分)已知曲线Γ上的点到点F （0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2。

（1)求曲线Γ的方程;
（2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y=3分别与直线l 及y 轴交于点M,N.以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线,切点为B.试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时,线段AB 的长度是否发生变化?证明你的结论.
解析 (1)解法一:设S （x ，y)为曲线Γ上任意一点,
依题意，点S 到F （0,1)的距离与它到直线y=—1的距离相等，
所以曲线Γ是以点F （0，1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x 2
=4y.
解法二:设S （x,y)为曲线Γ上任意一点， 则｜y —(—3)|—√(x -0)2+(y -1)2=2,
依题意，知点S （x ，y)只能在直线y=—3的上方，所以y>-3, 所以√(x -0)2+(y -1)2=y+1，
化简得,曲线Γ的方程为x 2=4y 。

(2）当点P 在曲线Γ上运动时,线段AB 的长度不变.证明如下： 由(1）知抛物线Γ的方程为y=14x 2，
设P （x 0,y 0）(x 0≠0）,则y 0=14x 0
2,
由y’=12x ，得切线l 的斜率k=y’|x=x 0=1
2
x 0，
所以切线l 的方程为y —y 0=12x 0(x —x 0）,即y=12x 0x —14x 0
2。

由{y =12x 0x -1
4x 02
,y =0得A (12x 0
,0).
由{y =12x 0x -1
4x 02
,y =3
得M (12x 0+6
x 0
,3)。

又N （0,3）,所以圆心C (14x 0+3
x
,3),
半径r=12｜MN ｜=|14x 0+3
x
|,
|AB|=√|AC|2-r 2
=√[12x 0-(14x 0+3x 0
)]2+32-(14x 0+3
x
)2
=√6。

所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变。

5。

(2014湖北,22,14分）在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F （1,0)的距离比它到y 轴的距离多1。

记点M 的轨迹为C.
(1)求轨迹C 的方程;
（2）设斜率为k 的直线l 过定点P （-2,1）.求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.
解析 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1，即√(x -1)2+y 2=｜x ｜+1, 化简整理得y 2=2（|x|+x)。

故点M 的轨迹C 的方程为y 2={4x,x ≥0,
0,x <0.
(2）在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x,C 2：y=0(x 〈0）， 依题意，可设直线l 的方程为y —1=k(x+2). 由方程组{
y -1=k(x +2),
y 2=4x,
可得ky 2—4y+4（2k+1）=0。

①
（i ）当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=14.
故此时直线l ：y=1与轨迹C 恰好有一个公共点(14,1)。

(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=—16(2k 2+k-1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0），则 由y-1=k （x+2),令y=0，得x 0=-2k+1k .③
若{Δ<0,
x 0
<0,由②③解得k<—1或k>12，
即当k∈（-∞，—1）∪(12,+∞)时，直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点,
故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点。

若{Δ=0,x 0<0或{Δ>0,x 0
≥0, 由②③解得k∈{-1,12}或-12
≤k<0, 即当k∈{-1,12
}时,直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点. 当k∈[-12
,0)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点。

故当k∈[-12,0)∪{-1,12
}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. 若{Δ>0,
x 0
<0,由②③解得—1〈k<—12或0〈k<12， 即当k∈(-1,-12)∪(0,12)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.
综合(i ）（ii)可知,当k∈(—∞，-1)∪(12
,+∞)∪{0｝时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点;当k∈[-12,0)∪{-1,12}时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k∈(-1,-12)∪(0,12
)时,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.
6。

(2014大纲全国,22,12分）已知抛物线C ：y 2
=2px(p>0）的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q,且｜QF ｜=54
｜PQ|. （1）求C 的方程;
(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l'与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上,求l 的方程。

解析 (1）设Q(x 0，4），代入y 2=2px 得x 0=8p
. 所以|PQ ｜=8p ，|QF ｜=p 2+x 0=p 2+8p
. 由题设得p 2+8p =54×8p ,解得p=—2（舍去)或p=2. 所以C 的方程为y 2=4x 。

（5分)
（2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x=my+1(m≠0).代入y 2=4x 得y 2—4my-4=0。

设A （x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=—4。

故AB 的中点为D(2m 2+1，2m ）,｜AB|=√m 2+1|y 1-y 2｜=4(m 2+1）。

又l’的斜率为-m ，所以l’的方程为x=—1m y+2m 2+3.
将上式代入y 2=4x,并整理得y 2+4m y-4(2m 2+3)=0.
设M （x 3，y 3）,N （x 4,y 4)。

则y 3+y 4=-4m ,y 3y 4=—4(2m 2+3)。

故MN 的中点为E (2m 2+2m 2+3,-2m ),｜MN|=√1+1m 2｜y 3-y 4|=4(m 2+1)√2m 2+1
m 2。

（10分)
由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于｜AE|=|BE ｜=12|MN|,从而14
|AB ｜2+｜DE|2=14
|MN|2, 即4（m 2+1)2+(2m +2m )2+(2m 2+2)2=4(m 2+1)2(2m 2+1)m 4,
化简得m 2-1=0,解得m=1或m=—1。

所求直线l 的方程为x —y —1=0或x+y-1=0.（12分)
7.(2012课标全国,20，12分）设抛物线C ：x 2
=2py （p 〉0）的焦点为F ，准线为l 。

A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点.
(1)若∠BFD=90°，△ABD 的面积为4√2,求p 的值及圆F 的方程；
(2）若A,B,F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ，n 距离的比值。

解析 （1）由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，｜BD|=2p,圆F 的半径｜FA ｜=√2p.
由抛物线定义可知A 到l 的距离d=｜FA|=√2p 。

因为△ABD 的面积为4√2，所以12｜BD|·d=4√2，即12
·2p·√2p=4√2, 解得p=—2（舍去）或p=2。

所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+(y —1)2=8。

（2）因为A,B ，F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°.
由抛物线定义知｜AD ｜=｜FA|=12
|AB ｜, 所以∠ABD=30°,m 的斜率为√33或-√33。

当m 的斜率为√33时,由已知可设n ：y=√33x+b,代入x 2=2py 得x 2—2√33px —2pb=0。

由于n 与C 只有一个公共点，故Δ=43p 2+8pb=0。

解得b=-p 6
. 因为m 在y 轴上的截距b 1=p 2，所以|b 1||b|=3,所以坐标原点到m,n 距离的比值为3。

当m 的斜率为—√33
时,由图形对称性可知，坐标原点到m,n 距离的比值为3.
8。

（2010全国Ⅰ，22,12分）已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点K （-1，0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D 。

(1）证明：点F 在直线BD 上；
（2)设FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =89
,求△BDK 的内切圆M 的方程. 解析 设A(x 1，y 1）,B(x 2，y 2)，D(x 1,-y 1）,l 的方程为x=my-1（m≠0)。

(1）证明：将x=my —1代入y 2=4x 并整理得y 2—4my+4=0,
从而y 1+y 2=4m,y 1y 2=4.①
直线BD 的方程为y-y 2=y 2
+y
1x 2-x 1·(x -x 2), 即y —y 2=4y 2-y 1·(x -y 224)。

令y=0，得x=y 1y 24=1.所以点F(1，0）在直线BD 上。

(2)由（1)知，
x 1+x 2=（my 1—1)+(my 2-1）=4m 2—2,
x 1x 2=（my 1—1)(my 2-1)=1。

因为FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1,y 1），FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 2—1,y 2）,
FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-1）（x 2—1）+y 1y 2
=x 1x 2—（x 1+x 2）+1+4=8-4m 2，
故8—4m 2=89,解得m=±43
. 所以l 的方程为3x+4y+3=0,或3x-4y+3=0.
又由①知y 2—y 1=±√(4m)2-4×4=±43
√7， 故直线BD 的斜率为4y 2-y 1=±√7, 因而直线BD 的方程为3x+√7y-3=0,或3x —√7y —3=0.
因为KF 为∠BKD 的平分线，故可设圆心M （t ，0）(—1<t 〈1)，M （t,0)到l 及BD 的距离分别为3|t+1|5，3|t -1|4。

由3|t+1|5=3|t -1|4得t=19
或t=9(舍去)， 故圆M 的半径r=3|t+1|5=23。

所以圆M 的方程为(x -19)2+y 2=49. 【三年模拟】
时间：60分钟 分值:65分
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.(2019届安徽淮北第一中学期中考试,11)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上，其上的点P(m,-3）到焦点的距离为5,则抛物线的方程为（ ）
A.x 2=8y
B.x 2=4y
C 。

x 2=—4y D.x 2=-8y
答案 D
2.（2019届贵州贵阳重点中学第一次联考，11）已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,准线为l ，P 是l 上一
点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP
⃗⃗⃗⃗⃗ =3FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜=（ ) A.3 B.2 C.52 D 。

83
答案 D
3。

（2019届福建泉州五中11月月考，9）已知抛物线C ：y 2=4x ，那么过抛物线C 的焦点,长度不超过2 015的整数的弦的条数是（ )
A.4 024 B 。

4 023
C.2 012 D 。

2 015
答案 B
4.（2019届湖南湖北八市十二校第一次调研，9）已知点A(0,2),抛物线C ：y 2=2px （p 〉0）的焦点为F ，
射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM||MN|=√55，则p 的值等于（ ）
A.18 B 。

14 C.2 D.4
答案 C
5。

（2019届湖北武汉重点中学期初调研，12)已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点,则｜FN ｜=( ）
A 。

4
B 。

6 C.8 D.10
答案 B
6。

（2019届广东韶关第一中学9月月考，11）直线l 过抛物线y 2=ax （a 〉0）的焦点F 且与抛物线交于
A,B 两点,则|AF|·|BF||AF|+|BF|=( ）
A.a 2 B 。

a 4
C 。

2a
D 。

4a 答案 B
7.（2019届广东佛山第一中学9月月考，11)已知P 为抛物线y=ax 2(a≠0)准线上一点,过点P 作抛物线的切线PA ，PB,切点分别为A,B 。

若切线PA 的斜率为13
，则切线PB 的斜率为( ） A 。

-a B 。

-3 C 。

—13 D 。

-1a
答案 B
8。

(2017江西新余、宜春联考,11）抛物线y 2=2px(p 〉0)的焦点为F ，准线为l ，A,B 是抛物线上的两个
动点，且满足∠AFB=2π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N,则|MN||AB|
的最大值是（ ) A.√3 B 。

√32 C.√33
D.√34
答案 C
二、填空题（共5分）
9。

(2017安徽黄山二模，14）已知抛物线C:y 2=8x,焦点为F,点P （0，4)，点A 在抛物线上,当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时,延长AF 交抛物线于点B,则△AOB 的面积
为 。

答案 4√5
三、解答题(共20分)
10.（2018广东惠州调研,20）已知圆x 2+y 2=12与抛物线x 2=2py(p>0）相交于A,B 两点，点B 的横坐标为2√2,F 为抛物线的焦点。

(1）求抛物线的方程；
（2）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为P 1，P 2,P 3，P 4，求｜P 1P 2｜-｜P 3P 4|的值。

解析 (1）设B （2√2,y 0),由题意得{
(2√2)2+y 02=12,(2√2)2=2py 0, 解之得{y 0=2,p =2,所以抛物线的方程为x 2=4y 。

（2）设点P 1（x 1，y 1）,P 2(x 2，y 2)，P 3（x 3,y 3）,P 4(x 4，y 4)，由题意知P 1，P 3在圆上，P 2,P 4在抛物线上。

因为直线l 过点F 且斜率为1,所以直线l 的方程为y=x+1.
联立{y =x +1,x 2+y 2=12,得2x 2+2x —11=0,所以x 1+x 3=—1，x 1x 3=—112
， 所以|P 1P 3｜=√1+12√(x 1+x 3)2-4x 1x 3=√2×√(-1)2-4×(-112)=√46。

由{y =x +1,x 2=4y,得x 2-4x —4=0，所以x 2+x 4=4,x 2x 4=—4。

所以｜P 2P 4|=√1+12√(x 2+x 4)2-4x 2x 4=√2×√42-4×(-4)=8.
由题意易知|P 1P 2｜=|P 1P 3｜-|P 2P 3｜①，
｜P 3P 4｜=|P 2P 4｜—|P 2P 3｜②,
①-②得|P 1P 2｜-|P 3P 4|=｜P 1P 3|-|P 2P 4｜,
∴|P 1P 2｜—|P 3P 4｜=√46-8.
11。

(2019届广东佛山第一中学9月月考，20)已知抛物线C:y 2=2px （p>0)的焦点为F ，抛物线C 上的点M
（2，y 0)到F 的距离为3.
（1）求抛物线C 的方程;
(2)斜率存在的直线l 与抛物线相交于相异的两点A(x 1，y 1)，B （x 2,y 2),且x 1+x 2=4。

若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点G ，且GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5，求直线l 的方程.
解析 (1)由抛物线定义知|MF ｜=2+p 2
, 所以2+p 2
=3，解得p=2， 所以，抛物线C 的方程为y 2=4x.
（2)设线段AB 的中点坐标为（2，m ）,则y 1+y 2=2m.
因为直线l 的斜率存在,所以m≠0，
k AB =y 2
-y 1x 2-x 1=y 2-y 1y 224-y 124
=2m ， 所以直线AB 的方程为y-m=2m （x —2），即2x —my+m 2-4=0.
由{2x -my +m 2-4=0,y 2=4x,得y 2—2my+2m 2—8=0,
其中Δ>0，即m 2<8,{y 1+y 2=2m ①,y 1y 2=2m 2-8②,
线段AB 的垂直平分线方程为y-m=—m 2
（x —2），令y=0，得x=4, 所以G （4，0)，所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1—4,y 1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 2-4,y 2)。

因为GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5,所以（x 1—4）(x 2—4)+y 1y 2=5，
即x 1x 2—4(x 1+x 2）+16+y 1y 2=5，也即y 12y 2216-4×4+16+y 1y 2=5③,
把②代入③得（m 2—4）2+8(m 2—4)—20=0,
化简，得(m 2+6)（m 2-6)=0，
所以m 2=6〈8,所以m=±√6。

所以直线l 的方程为2x —√6y+2=0或2x+√6y+2=0.。