复变函数在信号处理分析中的应用

复变函数在信号分析处理中的应用
班级021161
姓名张秋实
学号02116013
前言
复变函数学了一个学期了，不敢说自己学习十分认真努力，也不敢说自己理解这个学科，有自己的见解，很多对复变函数的理解仅仅建立在人云亦云的基础之上。

而且，对于信号的分析处理这门更加复杂，更需要科研精神的学科，我之前根本就没有多少的关注，对此我感到十分惭愧。

基于以上几点，这篇文字对于我来说没有多少东西是真正属于我的，大部分为参考资料和前人的论文得来的，希望老师理解。

何为复变函数？何为信号分析？
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。

解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

而复变函数在工程领域有很多的应用，其中在电气电子领域中，用的比较多的就是在信号的分析和处理上了。

那么什么是信号分析与处理呢？
为了充分地获取信息和有效利用信息，必须对信号进行分析和处理。

信号分析就是通过解析方法或者测试方法找出不同信号的特征，从而了解其特性，掌握它随时间或频率变化的规律的过程。

通过信号分析，可以将一个复杂的信号分解成若干个简单信号的分量之和，或者用有限的一组参量去考察信号的特性。

信号分析是获取信号源或信号传递系统特征信息的重要手段，人们往往通过对信号特征的深入分析，得到信号源或者系统特征、运行情况甚至故障等信息，这正是故障的诊断基础。

而信号分析的基本方法有：时域分析法；频域分析法；复频域分析法。

时间信号的频域分析和复频域分析中，复变函数的应用比较典型。

一、连续时间信号的频域分析
在时域中，将信号分解为不同时延、强度的冲激信号；在频域中，信号可以分解为不同频率、相位及振幅的简单信号（傅氏变换与反变换）。

频率特性是信号的第二个特性，频率特性就是通过变换将时间变量转变为频率变量，在频域中分析信号的方法。

（一）周期信号的频谱分析——傅里叶级数 1、三角形式的傅里叶级数
对于周期为T1、角频率为w1且满足狄里赫利条件的周期函数f(t),展开成三角形式的傅里叶级数为：
()0111()cos sin
n n n f t a a n t b n t ωω∞
==++∑
其系数
1) 0
01()d t T t
a f t t T
+=⎰直流分量
2) 0
12()cos d t T n t
a f t n t t T ω+=⎰余弦分量的幅度 偶函数
3) 00
12()sin d t T n t b f t n t t T ω+=⎰正弦分量的幅度 奇函数
周期信号可分解为直流，基波)(1ω和各次谐波（1ωn ：基波角频率的整数倍）的线性组合。

1~ωn C n 关系称为幅度频谱
ωφ~n 关系称为相位频谱
可画出相应的频谱图。

2、复指数形式的傅里叶级数
周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为复指数形式，通过欧拉公式，可将三角形式的傅里叶变换表示为：
上式表明，任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，
()0jn t
n n f t F e ω∞
=-∞
=
∑
()0T
2T 2
1jn t n F f t e dt
T ω--=⎰
其各分量的复数幅度（或相量）为Fn 。

3、周期矩形脉冲信号的频谱
三角形式：
复数形式：
2
τ
()
t f t
T
A
2
τ-T
-τ
π
2n
n a A = 02T πω⎛⎫= ⎪
⎝
⎭
0n ωT
A τ
2T
A τ
02 2A Sa n T ττω⎛
⎫ ⎪⎝
⎭τ
π
2n
F 02T πω⎛
⎫= ⎪
⎝
⎭0n ωT
A τ
02A Sa n T ττω⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
4、周期信号的频谱特点：
离散性：离散频谱，周期越大，谱线越密。

当周期趋近于无穷大，即变为非周期信号时，谱线就变为了连续频谱了。

谐波性;
收敛性：周期信号频谱的收敛速度与信号波形有关。

信号三个量对频谱的影响：信号的周期T 改变，幅度减小，谱线变密，但包络线零点位置不变；信号的持续时间改变，幅度改变，谱线密度不变，零点位置向左移动（靠近原点），有效频带变窄；信号的幅度改变，仅影响频谱的幅度，成正比例关系。

（二）、非周期信号的频谱分析——傅里叶变换 1、 从傅里叶级数到傅里叶变换：
当 ，上式将成为ω 的函数，用 或 表示，
即
()020
2
2 T
jn t n n
T n F F TF f t e dt
F ωπω--===⎰
∞→T ()
ωj F ()
ωF ()()⎰
∞
∞
--∞
→=
=dt
e t
f TF j F t j n T ωωlim
它就是非周期信号谐波振幅与周期的乘积，也就是单位频率的谐波振幅，称为f(t)的频谱（密度）函数。

2、傅里叶变换与傅里叶反变换：
以上两积分式称为傅里叶变换对，并满足一一对应关系。

傅里叶反变换式表明：一个非周期信号可以看作无限多个幅度为无限小的等幅的复指数谐波之和，这样，由周期信号的分解就推广到了非周期信号的分解。

3、典型非周期信号的傅里叶变换：
非周期方波：
()()⎰
∞
∞
--=
dt
e
t f j F t
j ωω()()()⎰
⎰
∞
∞-∞
∞-==
t
j t
j e d j F d e j F t f ωωπ
ωωωωπ
221()
t f 2
τ
-
2
τ
t
A
o ()
F j ωω
τ
A o
单边指数信号：
双边指数信号：冲激信号：
()t f
t
1
o
o
ω
()ωj
F
α
1
()ω
ϕ
ω
o
2
π
-
2
π
o
()ωj
F
α
2
()t f
t
1
o
()ωj
F
ω
1
o
()t f
t
()1 o
冲激偶信号：
单位阶跃信号：
直流信号：
4、傅里叶变换的性质： 线性特性：若：
()
t f t
()
1o
()
1()
ωj F ω
o
()
ωj F t
1
o
()
ωj F ω
o
()
π()
π2o
()
ωj F ω
()t f t
1
o
()()
ωj F t f 11↔()()
ωj F t f 22↔
则有 奇偶特性：若
f(t)是实偶函数，其频谱 F(jw)也为实偶函
数.若f(t)是实奇函数，其频谱 F(jw)为虚奇函数.偶函数的频谱为偶函数。

奇函数的频谱为奇函数。

对称互易特性：
若 则有： 时频展缩特性：
若 则： （对时域的压缩对应于频域的扩展，信号时域中压缩了 a 倍，在频域中频谱就扩展 a 倍，反之亦然。

） 延时特性（时移特性）： 若： 则有
信号经系统传输，要受到系统函数 的加权，输出波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。

如数字电视在有线网络中传输，无限带宽的信号要通过有限带宽的信道进行传输,其结果必定会对信号波形产生失真。

频移特性： 若： 则有
该特性用于调制和解调。

时域卷积特性：
()()()()
ωωj F a j F a t f a t f a 22112211+↔+()()ωj F t f ↔
()()ωj F t f ↔()⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛↔ωωa j F a a j F a at f 1 1 1()()
ωj F t f ↔()()
ωωj F e
t t f t j 0
0±↔±()()
ωj F t f ↔()()
00
ωωω F e t f t j ↔±()()
ωωj F e t t f t j 0
0±↔±
⑴ 时域卷积特性：变卷积运算为积分运算 若 则有
⑵ 频域卷积特性：又称为乘积特性，与上有互易关系。

有：
时域微分和积分特性：
频域微分和积分特性：
（三）、周期信号的傅里叶变换
1、三角信号：
()()()()
ωωj F t f j F t f 2211 , ↔↔()()()()
ωωj F j F t f t f 2121↔*()()()()[]
ωωπ
j F j F t f t f 212121*↔()()()ωωj F j t f dt
d n n n ↔()()
ωω
ττj F j d f t
1 =⎰
∞
-()0
0=F ()()()ωω
j F d d t f jt n n n
↔-()()()()
1
1
0 ωδπj F
t f jt
t f -↔-+
()()⎰∞
∞-=
210ω
ωπ
d j F f ()()[]
002000sin ωωδωωδπ
ωωω+---↔--=
j j
t
j e t
j e
t
2、一般周期信号：
周期信号的频谱是以Ω间隔的冲激序列，每个冲激函数强度为2πFn 。

可见，信号的频谱与其指数频谱的形状相同，只是谱线变成了冲激，强度增加2π倍。

冲激信号序列的频谱仍是一个周期冲激信号序列，所不同的是：一个在时域中，间隔为 T ，强度为1 ；一个是在频域中，间隔为Ω，
强度也为Ω。

（ ） 二、连续信号的复频域分析：
除了在时间域及频率域里可以分析信号特性外，还可以在复频域
中分析信号特性。

借助于傅里叶变换的理念以及在做傅里叶变换变换时的局限性，引出了拉普拉斯变换：
拉普拉斯变换就是信号乘以衰减因子的傅里叶变换，是傅里叶变换的推广，傅里叶变换是拉普拉斯的特例。

即：
(
)(
)[]
02
000cos ωωδωωδπωωω++-↔-+=
t j e t
j e
t ()()[]
00ωωδωωδπ--+=
j ()
(
)
∑∞
-∞
=Ω-↔n n n F t f ωδπ2()T dt e t T F T
T t jn n 1122
=
=⎰
-Ω-δ()()⎰
∞
∞
--= dt
e
t f j F t
j ωω()() 0st F s f t e dt
-
∞
-=⎰
()()⎰
∞
∞
--=
21
ω
π
ωσd e s F e t f t j t ()()⎰∞+∞
-=
j j st ds
e s F j
t f σσ
π 21
拉普拉斯变换的收敛域：满足绝对可积时， 中 的取值范围。

通过当t 趋于无穷时，上式等于0来求得 的取值范围。

当收敛域包括jw 轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在； 当收敛域不包括jw 轴时，拉普拉斯变换存在而傅里叶变换不存在。

拉普拉斯变换的性质：（类比傅里叶变换的性质）
线性特性；时移特性；时域微分和积分特性；复频域微分和积分特性； 初值和终值定量。

初值和终值定量：
（1）初值定理：若)(t f 及其各阶导数存在，不包含δ(t)及其各阶导数， 且有)()(s F t f → ,则)(lim )0(s sf f s ∞
→+=
(2)终值定理：若当 ∞→t 时的极限存在，且有)()(s F t f →，则有：
)(lim )(0
s sF f s →=∞
()t e t f σ-σσ
（ 注意： )(∞f 不存在， )(lim 0
s sF s →也可能存在，故此定理只适用于)(∞f 存在的情况。

） 拉普拉斯反变换： （1）查表法
（2）部分分式法：如果象函数为有理分式：
110
11)()
()(a s a s b s b s b s A s B s F m m m
m m m m +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==
--++，而且)(s F 分母)(s A 多项式
能够因式分解，那么就可以采用部分分式法求)(s F 的反变换。

假分式 （长除法）)(s F =s
A s
B s p 1)(+ )(s F 单根 ∑
=-=n
i i
i
s s k s F 1)(（单边指数函数） 重根 )
()
()()(221s A s B s F s F +
= )())!
1(()(11211t u e t r K t K K s F t
s r r --+
⋅⋅⋅++↔ （3）级数法：对一些)(s F 中含有非整数幂的无理函数，不能展开成简单的部分分式，那么以上介绍的几种方法均不适用，但是如果 能展开成形如
∑n n
s k 或
n n s k ∑的级数，那么可以依1
!)(+↔
n n s
n t u t
或 n n s t ↔)()(δ 进行变换。

应用举例——压气机喘振声音信号的快速傅里叶变换分析（参考）
对压气机的喘振声音信号进行了试验，并进一步利用快速傅里叶变换对实验数据进行了频谱分析，得到了可以表征压气机进入传真时声音的特征信号，为实际生产中使用声音信号监测压气机状态以及故障诊断提供了良好的理论基础和依据。

测得压气机运行工况两次进入喘振区域的总体图像。

图中的第一个通道显示的信号为动态压力传感器的压力信号，第二至第四的三个信号所显示的信号为PCB的声音传感器采得的声音信号。

图中所显示的横坐标为时间，纵坐标为压力信号的幅值。

从图中可以清晰的看到，声音信号在整个过程中有两个明显的变化的过程，这表征着压气机进入了喘振区域。

傅里叶分析可以分析出采集所得的时域信号的频谱和能量谱特征。

把原始信号中每次压气机进入喘振和进入喘振前5S的声音信号截取出来进行对比处理，然后对截取的信号进行傅里叶变换，第一次接近喘
振边界前5s和喘振时，声音传感器所测得信号的傅里叶变换见图4和图5.
图6和图7是第二次接近喘振和喘振时，声音传感器所采集到的信号进行傅里叶变换图，与第一次喘振一样，也可以认为喘振的频率在50Hz以内。

压气机发生喘振时不同传感器所采得的信号幅值有一定的差别，但是在傅里叶变换所得到的频谱中并没有明显的差别，可以确定第一喘振的频率在50Hz以内。

声音传感器的数据对第一次喘振的声音信号进行功率谱的分析，结果如图8所示。

从图中可以看出，在50Hz一下的信号频率尤其是在20Hz以下的低频区域出现了明显的能量聚集。

通过此次压片机特性的试验和分析结果，可得以下结论：
（1）在压片机运行工况进入喘振是，声音信号有着明显变化，所以可以通过声音信号识别压片机是否进入了喘振状态。

（2）压片机进入了喘振状态下的声音信号的特征频率在50Hz一下，根据相应的功率谱可以更准确地确定发生喘振的频率。

上述总结了连续时间信号的频域分析和复频域分析，并分析了信号的特点，在信号处理及分析中发挥着重要的作用。

参考书籍：
信号处理原理及应用（第二版）清华大学出版社
信号与信息处理基础中国铁道出版社
语音信号处理中的傅里叶变换。