9A1 最小瓶颈支撑树和斯坦纳树

最小瓶颈支撑树和斯坦纳树MBST and Steiner Tree
设( G, W ) 是无向连通赋权图，G的所有支撑树中权值最大的边的权值最小的支撑树称为G的最小瓶颈支撑树（minimal bottleneck spanning tree, MBST）
A
E C D 2
35910F B 478A E C D 2359F B 4A
E C D 2
39F B 78A E C D 5
9F B 478MST
⏹定理
❑无向连通赋权图的最小支撑树一定是最小瓶颈支撑树，但最小瓶颈支撑树不一定是最小支撑树
⏹证明 —— MST 一定是MBST
❑
假设最小支撑树 T 不是最小瓶颈支撑树，设 T 的最大权值边为 e ，则最小瓶颈支撑树 T b 的所有边的权值都小于 w (e )
❑删除 T 中的 e 形成两棵数 T 1 和 T 2 ❑由于 T b 连通，因此存在 T b 的边 e '，连接 T 1 中某顶点和 T 2 中某顶点。

于是用 e ' 连接 T 1 和 T 2 后得到得到新的支撑树，但其总权值小于 T ，与 T 是最小支撑树产生矛盾 e T 2 e'
T 1
⏹证明—— MBST不一定是MST
❑考虑一个无向连通赋权图，图中仅存在一条桥而且权值最大，则图中每个支撑树
（无论是否最小支撑树）都是最小瓶颈支撑树
w
⏹设( G=(V, E), W ) 是无向连通赋权图，R V，在G的所有包含R中所有顶点的子图中，总权值最小的树称为G的斯坦纳树（Steiner tree）
⏹当R = V时，斯坦纳树问题即是最小支撑树问题
a
d
c b
2
1 1 1
2 2 a d c
b 1 1 1
a
d
c b
4
3 3 3
4 4 a d c b 4 4
⏹虽然斯坦纳树问题与最小支撑树问题具有相似之处，然而斯坦纳树问题则难得多
❑属于NPC问题，事实上，它是卡普
（Richard Manning Karp）证明的第一批21个NPC问题之一
E nd。