高中数学第三章3.2第3课时空间向量与空间角距离优化练习新人教A版选修2

学 习 资 料 专 题
第3课时 空间向量与空间角、距离
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →
＝(1，2，－1)，
平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →
·n
|PC →
|·|n |
＝－12
，
所以〈PC →
，n 〉＝120°，
所以PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°， 所以PC 与平面ABCD 所成角为30°，故选A. 答案：A
2．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( ) A.
6
4 B ．
104
C.32
D.
34
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°，
设B 1C 1＝1，CC 1＝3＝DD 1. ∴C 1D 1＝3，则有
B 1(3，0,0，)，
C (3，1，3)，C 1(3，1,0)，
D (0,1，3)．
∴B 1C →
＝(0,1，3)，
C 1
D →
＝(－3，0，3)．
∴cos 〈B 1C →，C 1D →
〉＝B 1C →·C 1D
→
|B 1C →||C 1D →|
＝326＝64.
答案：A
3．已知直二面角α­l ­β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33
C.63
D ．1
解析：∵平面α⊥平面β，且AC ⊥l ，BD ⊥l ，故AC ⊥平面β，BD ⊥平面α，依题意建立坐标系如图所示，在Rt △ACD 中，可得CD ＝2，故A (0,0,1)，B (1，2，0)，C (0，0,0)，
D (0，2，0)，
则CA →＝(0,0,1)，CB →＝(1，2，0)，CD →
＝(0，2，0)． 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·CA →＝0，
n ·CB →＝0
⇒x ＝－2y ，z ＝0，
令y ＝1，可得n ＝(－2，1,0)， 故所求距离d ＝|CD →
·n ||n |＝23＝6
3.故选C.
答案：C
4.如图所示，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直)中，AA 1＝AB ＝AC ，
AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ
与AM 所成的角为( ) A.π
6 B.π4 C.π3 D.π2
解析：以A 为坐标原点，AC ，AB ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建
立如图所示的空间直角坐标系， 设AA 1＝AB ＝AC ＝2，
则AM →＝(2,0,1)，Q (1,1,0)，P (0,1,2)，QP →
＝(－1,0,2)， 所以QP →·AM →
＝0， 所以QP 与AM 所成角为π
2.
答案：D
5．已知正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
C.23
D.13
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA
1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，
C (0，1,0)，
D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)，DC →
＝
(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·DB →＝0，
n ·DC 1→＝0，
即
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝0，
y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设
直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC
→|n |·|DC →|＝23，故选A. 答案：A
6．设A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，D (1，1,1)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为________． 解析：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ·AB →＝0，n ·AC →
＝0，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，y ，z ，0，＝0，
x ，y ，z
－1，1，
＝0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
z ＝0，y ＝x .
令x ＝1，则n ＝(1,1,0)，
∴cos 〈n ，AD →〉＝1×0＋1×1＋0×12·2＝1
2，
∴〈AD →，n 〉＝π
3
.
∴直线AD 与平面ABC 的夹角θ＝π2－π3＝π
6.
答案：π6
7．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________. 解析：设平面α的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 记A (3,0,0)，B (0,4,0)，
C (0,0，a )(a ＞0)，则AB →＝(－3,4,0)，AC →
＝(－3,0，a )
由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧ n 1·AB →＝0，
n 1·AC →＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，
取z ＝3得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝a ，y ＝3a
4，
n 1＝(a ，3a
4
，3)，而n 2＝(0,0,1)是平面xOy 的一个法向量，
则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2
|n 1||n 2|
＝
39＋2516
a 2
×1＝22，又a ＞0，解得a ＝12
5. 答案：125
8．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与ACD 垂直．则B 与D 之间的距离为________．
解析：由B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ，则可求得AM ＝1
2
，
BM ＝
32，CN ＝12，DN ＝32
. MN ＝1.由于BD →＝BM →
＋MN →＋ND →
，
∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＋1
2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫322
＋2(0＋0＋0)＝52， ∴|BD →|＝102.
答案：
102
9.如图所示，已知在四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2， (1)求证：AO ⊥平面BCD ；
(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．
解析：(1)证明：因为BO ＝DO ，AB ＝AD ，所以AO ⊥BD . 因为BO ＝DO ，BC ＝CD ， 所以CO ⊥BD .
在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，而AC ＝2，所以AO 2
＋CO 2
＝AC 2
， 所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD .
(2)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，
0)，A (0，0,1)，BA →
＝(－1,0,1)， CD →
＝(－1，－3，0)，所以cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →
|BA →||CD →|＝2
4，所以异面直
线AB 与CD 所成角的余弦值为24
.
10.如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD
＝120°，∠ACB ＝90°. (1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)若二面角D ­PC ­A 的余弦值为
5
5，求点A 到平面PBC 的距离． 解析：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，
∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .
(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，
∴AE ⊥AB ，又PA ⊥底面ABCD ，
∴PA ⊥AE ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0，0，
h )， C ⎝
⎛⎭⎪⎫32，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－12，0，B (0,2,0)，
AP →＝(0,0，h )，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，PC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12，－h PD →
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，－12，－h ，求得平面PAC 与平面PDC 的一个法向量分别为n 1＝(h ，－3h,0)，
n 2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫h ，0，
32. ∵cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝5
5
，
∴h ＝ 3.
又可求得平面PBC 的一个法向量n 3＝(3，3，2)， 所以，点A 到平面PBC 的距离为
d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪AP →·n 3|n 3|＝234＝32.
[B 组 能力提升]
1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( ) A ．－
105 B.
105 C ．－155
D.
155
解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，
B (2，2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)．
∴BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →
＝(－2,0,1)． 设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴n ⊥BD →，n ⊥BB 1→，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2x －2y ＝0，2z ＝0.∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－y ，
z ＝0.
令y ＝1，则n ＝(－1,1,0)．
∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →
|n ||BE →|＝10
5，设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，BE →〉|＝10
5.
答案：B
2．正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ⊥平面ABCD .若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．90°
解析：建系如图，设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,1)，D (1,0,0)，
C (1,1,0)．
平面PAB 的法向量为n 1＝(1,0,0)． 设平面PCD 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·PD →＝0，n 2·CD →＝0，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －z ＝0，
y ＝0.
令x ＝1，则z ＝1.
∴n 2＝(1,0,1)，cos 〈n 1，n 2〉＝
12
＝2
2
. ∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22
. ∴此角的大小为45°. 答案：B
3．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．
解析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a ，n 所成的角为β， sin θ＝|cos β|＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪－2，3，
，0，17×17＝6
17. 答案：6
17
4．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1＝9，BC ＝63，N 为BC 的中点，则直线D 1C 1与平面
A 1
B 1N 的距离是________．
解析：∵C 1D 1∥平面A 1B 1N ，
∴所求距离等于D 1到平面A 1 B 1N 的距离，
不妨令|AB |＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(63，0,9)，
B 1(63，1,9)，N (33，1,0)， A 1B 1→
＝(0,1,0)，
B 1N →＝(－33，0，－9)．
设平面A 1B 1N 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·A 1B 1→＝0，n ·B 1N →＝0，即⎩⎨
⎧
y ＝0，
－33x －9z ＝0.
取z ＝－3，则n ＝ (3,0，－3)，
又D 1A 1→
＝(63，0,0)，故D 1到平面A 1B 1N 的距离为 d ＝|D 1A 1→
·n ||n |＝3×6332
＋02＋－32
＝9.
答案：9
5.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平
面BCD ，AE ⊥平面ABD ，且AE ＝ 2. (1)求证：DE ⊥AC ；
(2)求DE 与平面BCE 所成角的正弦值．
解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，
z 轴建立空间直角坐标系A ­xyz ，
则E (0,0，2)，B (2,0,0)，
D (0,2,0)，
取BD 的中点F ，并连接CF ，AF ，由题意可得CF ⊥BD 且AF ＝CF ＝2， 又∵平面BDA ⊥平面BDC ， ∴CF ⊥平面BDA ，
所以C 的坐标为C (1,1，2)，
∴DE →＝(0，－2，2)，AC →
＝(1,1，2)， ∴DE →·AC →
＝(0，－2，2)·(1,1，2)＝0， 故DE ⊥AC .
(2)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z ) 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·EB →＝0，
n ·CB →＝0，
即⎩⎨
⎧
2x －2z ＝0，
x －y －2z ＝0，
∴⎩⎨
⎧
z ＝2x ，y ＝－x .
令x ＝1得n ＝(1，－1，2)， 又DE →
＝(0，－2，2)， 设DE 与平面BCE 所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，DE →〉|＝|n ·DE →
||n ||DE →|
＝6
3.
6．(2016·高考全国Ⅰ卷)
如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D ­AF ­E 与二面角C ­BE ­F 都是60°.
(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；
(2)求二面角E ­BC ­A 的余弦值．
解析：
(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ， 所以AF ⊥平面EFDC .
又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .
(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .
以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G ­xyz .
由(1)知∠DFE 为二面角D ­AF ­E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．
由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面E FDC .
又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF . 由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，
所以∠CEF 为二面角C ­BE ­F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．
所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →
＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·EC →＝0，
n ·EB →＝0，
即⎩⎨
⎧
x ＋3z ＝0，
4y ＝0，
所以可取n ＝(3,0，－3)．
设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·AC →＝0，
m ·AB →＝0，
同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－219
19
.故二面角E ­BC ­A 的余弦值为－219
19.。